2022-2023学年天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023-1高三年级第一次月考数学试卷

一､选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）

1. 设全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解

详解】由题意得，则，

故选：C

2. 已知，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解.

【详解】若时，则,因此，

若时，比如，但不满足，

因此“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.

【详解】因为，定义域为R

所以

所以为奇函数，且，排除CD

当时，，即，排除A

故选：B.

4. 已知函数是偶函数，则的值是（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解

【详解】函数的定义域为，

因为函数是偶函数，

所以，

所以，

，所以，

得，

故选：A

5. 已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C.  D. 0

【答案】A

【解析】

分析】由偶函数可得，由可得对称性，再化简整理可得周期，进而根据性质转换到，再代入解析式求解即可.

【详解】由题，因为偶函数，所以，又，所以,即，所以是周期函数，，故

故选：A

6. 已知函数，则（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】，，，所以.

故选：B．

7. 已知且，则a的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得，即得.

【详解】令，

则，，又，

∴，即，

∴.

故选：C.

8. 设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】先由定义证为奇函数，结合均值不等式可证，得在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为对恒成立．

令，用导数法求最小值，即有.

【详解】因为，所以，所以为R上的奇函数．

因为，所以在R上单调递增．

不等式可转化为，

所以，即对恒成立．

令，则，

令，则．

当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．

所以，即，

所以，且当时，取最小值0，

故，即实数a的最大值为0．

故选：D.

【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；

2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.

一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.

当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.

9. 已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由在上的最大值为，讨论可求出，从而，若有4个零点，则函数与有4个交点，画出图象，结合图象求解即可

【详解】若，则函数在上单调递增，

所以的最小值为，不合题意，则，

要使函数在上的最大值为．

如果，即，则，解得，不合题意；

若，即，则解得即，

则．

如图所示，若有4个零点，则函数与有4个交点，

只有函数的图象开口向上，即．

当与）有一个交点时，方程有一个根，

得，此时函数有二个不同的零点，

要使函数有四个不同的零点，与有两个交点，则抛物线的图象开口要比的图象开口大，可得，

所以，即实数a的取值范围为．

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出的值，然后将问题转化为函数与有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题

二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10. 复数_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的除法运算直接求解.

【详解】解：.

故答案为:.

11. 已知函数的导函数，满足，则等于_______________.

【答案】

【解析】

【分析】求导，令，可解得，进而可得.

【详解】由，得，

令，得，解得，

所以，

故答案为：.

12. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.

【答案】##20立方米

【解析】

【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.

【详解】设用水量为立方米，水价为元，

则，

整理得到：，

当时，；时，；

故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，

令，则（立方米），

故答案为：.

13. 函数是定义在上的奇函数，满足，当，时，，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，分析可得，则函数是周期为4的周期函数，由此可得，结合函数的解析式计算可得答案．

【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，满足，

则，

则有，则函数是周期为4的周期函数，

则，

又由当，时，，则，则，

故答案为：．

14. 已知函数，则不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】

【分析】分别在条件，下化简不等式，再求其解，由此可得不等式的解集.

【详解】当时，即时，，所以不等式可化为，所以且，所以满足条件的不存在，

即当时，不等式无解，

当时，即时，，此时不等式可化为，得或，解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：.

15. 已知正数满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】把平方得到，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.

【详解】解：由，得，

则

，

当且仅当，即，，即时取“等号”，

所以当时，

的最小值为．

故答案为：

三､解答题（本大题共5小题，共75分）

16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）若，求的值；

（2）若，的面积为，求边a，b的值.

【答案】（1）   

（2），或，

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由同角三角函数的基本关系求出，即可求出、，最后利用两角和的余弦公式计算可得；

（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.

【小问1详解】

解：因为，

由正弦定理得，

即，

因为，，所以，

由为三角形内角得；

由，则，

所以，

，

；

【小问2详解】

解：因为的面积，所以①，

由余弦定理得，则②，

由①②解得，或，

17. 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，.

（1）求证：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

（3）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）正弦值为1

【解析】

【分析】(1)由四棱柱的性质证明，根据线面平行判定定理证明平面；

(2)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量利用空间向量求解线面角；

(3)求平面的法向量，利用向量夹角公式求二面角的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.

【小问1详解】

在四棱柱中，，，故四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

因为平面，，平面，

所以，，

因为，，所以，，所以，，因为，所以，又，

所以为等腰直角三角形，所以，因为，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

设平面的法向量为

∴，即，令，则，，∴

设直线与平面所成角为，

∴.

所以直线与平面所成角的正弦值是.

【小问3详解】

平面的法向量为，

因为平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以为平面的法向量，所以平面的法向量为

∴，∴

所以，二面角的正弦值为1.

18. 已知是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）关于的方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m的值，进而求出函数的解析式即可；

(2)利用分离参数法将原不等式转化为在上恒成立，结合函数的单调性求出即可；

(3)令，将原方程转化为直线与函数的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.

【小问1详解】

依题意得，解得，

经检验，符合题意.

当时，，则，

因为是定义在R上的奇函数，所以，

即当时，；

【小问2详解】

当时，恒成立，即恒成立．

设，易知在上是减函数，，

所以，即实数a的取值范围为；

【小问3详解】

方程在上有两个不相等的实根，

即函数在上有两个零点，

令，

则关于t的方程在上有两个不相等的实根，

由于，

则直线与的图象有两个交点．如图，

因为在上单调递减，在上单调递增，

且，，，所以，

解得，即实数n的取值范围为．

19. 设函数，，其中，为自然对数的底数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，；

（3）若不等式在时恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；

（2）构造函数，求导分析单调性与最值，证明当时，即可；

（3）结合（1）（2）讨论的正负判断，同时结合与1的大小关系，构造函数，求导放缩判断单调性，进而证明即可.

【小问1详解】

定义域为，．

当时，，在内单调递减；

当时，由，得．当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

综上所述，当时，内单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

【小问2详解】

令，则．

当时，，单调递增，，

所以，从而．

【小问3详解】

由（2）得，当时，．

当时，时，，不符合题意．

当时，，由（1）得，

当时，，不符合题意．

当时，令，．

在区间上单调递增．

又因为，所以当时，，即恒成立．

综上，．

【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.

20. 已知，设函数是的导函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上存在两个不同的零点，

①求实数a范围；

②证明：．

注，其中是自然对数的底数．

【答案】（1）   

（2）① ；②证明见解析

【解析】

【分析】(1)把代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程；

(2)①可设，因为，所以与零点相同，可根据的单调性与极值情况来确定的范围；

②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出与的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.

【小问1详解】

当时，，所以．根据点斜式可得曲线在处的切线方程为．

【小问2详解】

①当时，等价于．

设，则．

当时，单调递减；当时，单调递增；

所以，当时，，

因为在区间上存在两个不同的零点，

所以，解得．

当时，取，则，

故，又，

所以在区间和上各有一个零点．

综上所述：．

②设，

则，它是上的增函数．

又，所以，于是在上递增．

所以，即，当时取等号．

因为，所以，解得．(1)

因为，所以，

结合知．

处理1：设函数，则，

所以当时，递减，当时，递增，

所以，所以．

处理2：因为，所以，即，当时取等号，

所以．

由①可知，在上单调递增，且，所以，即．

因为在上是减函数，且，

且．

综上可知：．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理