2023年广东省佛山市南海区实验中学九年级下学期一模数学试卷（含答案）

2023年广东省佛山市南海区实验中学九年级下学期一模数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是(    )

A． B． C． D．

2．型口罩能过滤空气中的粒径约为的非油性颗粒，用科学记数法表示是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

4．如图所示的正六棱柱的左视图是（    ）

A． B．

C． D．

5．一个盒子里装有仅颜色不同的10张红色和若干张蓝色卡片，随机从盒子里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，则估计盒子中蓝色卡片有（    ）

A．50张 B．40张 C．36张 D．30张

6．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．给出下列判断，正确的是（    ）

A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

B．对角线相等的四边形是矩形

C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形

8．已知函数，，的图象交于一点，则值为（    ）．

A．2 B．3 C．-3 D．-2

9．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．如图是二次函数的图象，对于下列说法，其中正确的有（    ）

①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小，

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二、填空题

11．一元二次方程的解是__________．

12．分解因式：__________．

13．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为，若，则的值为___________．

14．如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则__________．

15．如图，在边长为的正方形中，，连接，交于点，，关于对称，连接、，并把延长交的延长线于点，以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是_________．（填序号）

三、解答题

16．计算：．

17．由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1）

18．如图，在中，，点在边上且，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．

(1)求证：；

(2)求证：四边形是菱形；

(3)当时，四边形是__________．

19．为了解某县2015年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：

请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽取的学生有　    　名；补全条形统计图1；

（2）根据调查结果，请估计该县1430名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数是     

（3）某校A等级中有甲、乙、丙、丁4名学生成绩并列第一，现在要从这4位学生中抽取2名学生在校进行学习经验介绍，用列举法求出恰好选中甲乙两位学生的概率。

20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的，两点，直线与轴交于点，点的坐标为．

(1)求反比例函致的解析式；

(2)若，请直接写出的取值范围__________；

(3)在轴上有点，若是等腰三角形，请直接写出点的坐标．

21．如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．

(1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹），连接交于点，并证明：；

(2)若的半径等于，且与相切于点，求劣弧的长度和阴影部分的面积（结果保留）．

22．（1）如图1，的半径为，，点为上任意一点，则的最小值为__________；

（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值．

23．如图，已知抛物线的顶点为点，且与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点．点为抛物线对称轴上的一个动点：

(1)当点在轴上方且时，求的值；

(2)若点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形﹖请求出点的坐标；

(3)若抛物线对称轴上有点，使得取得最小值，连接并延长交第二象限抛物线为点，请直接写出的长度．

参考答案：

1．C

【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．

【详解】解：的倒数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．

2．D

【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．

【详解】解：．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．

3．B

【分析】根据得出，进而根据平行线的性质得出，即可求解．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．

4．C

【分析】利用正六棱柱的形状结合三视图进而结合观察角度不同分别得出即可．

【详解】由几何体可知，该几何体的三视图依次为：

主视图为：

左视图为：

俯视图为：

故选：C．

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．

5．B

【分析】根据频率估计概率，然后根据概率公式列出方程，解方程即可求解．

【详解】解：设盒子中蓝色卡片张，根据题意可得，

，

解得：，

经检验，时原方程的解，

则估计盒子中蓝色卡片有张；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．

6．B

【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．

【详解】解：，

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：，

解集表示在数轴上，如图所示，

故选：B．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．

7．D

【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的判定方法，即可得出结论．

【详解】解：A. 一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；

B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；

C. 对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意；

D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了特殊四边形的判定方法，解题关键在于掌握各特殊四边形的判定方法．

8．A

【分析】先联立得出，代入，即可求解．

【详解】解：依题意

解得：，即函数，交于，

∵经过

∴

解得：，

故选：A．

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求两直线交点坐标，掌握一次函数的性质是解题的关键．

9．D

【分析】设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，根据题意列出函数关系式即可求解．

【详解】解：设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，

根据题意得，

则，

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．

10．C

【分析】根据二次函数图象的开口方向以及与轴的交点，判断①，根据对称轴，判断②，根据二次函数与轴有交点判断③，根据时，，判断④，根据函数图象直接判断⑤，即可求解．

【详解】解：①由图象可知：，

∴，故①错误；

②∵对称轴为，

∴，故②正确；

∵抛物线与轴有两个交点，

∴，即，故③正确；

根据函数图象可知：时，，即，故④正确

当时，y随x的增大而先减小后增大，故⑤不正确

故选：C．

【点睛】本题考查二次函数图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．

11．，

【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．

【详解】解：

解得：，，

故答案为：，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

12．

【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

13．

【分析】设与交于点，与交于点，由，及中线的性质得，，可证，则由可得．

【详解】如图，设与交于点，与交于点，

，，且为边上的中线，

，，

将沿边上的中线平移到，

，

，

，

解得（负值舍去），

故答案为：．

【点睛】本题主要考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

14．##度

【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出，同弧所对的圆周角相等得出，进而即可求解．

【详解】解：如图所示，连接，

∵是的直径，

∴,

∵,，

∴

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．

15．①②③

【分析】根据平行线的性质得出，根据轴对称的性质得出，即可判断①；根据轴对称得出，进而得出，证明，即可判断②；设，则，，勾股定理建立方程，解方程，进而根据正弦的定义判断③；根据②的结论即可判断④，进而即可求解．

【详解】解：∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∵，关于对称，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，故①正确；

∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，故②正确；

∵，

∵，

∴，

设，则，，

∴，

即，

解得：，

∴，

∴，故③正确；

由②得，

∴，

∴，故④错误，

故答案为：①②③．

【点睛】本题考查了正方形的性质，求正弦，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．

16．

【分析】根据零次幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值，进行实数的混合运算即可．

【详解】解：原式＝

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键．

17．生命所在点C的深度为1.7m．

【分析】过点C作CE⊥AB于点E，然后根据三角函数进行求解即可．

【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：

由图可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°，

∵∠EBC=∠BAC+∠BCA，

∴∠BCA=30°，

∴AB=BC，

∵AB=2m，

∴BC=2m，

∴m，

答：生命所在点C的深度为1.7m．

【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．

18．(1)见解析

(2)见解析

(3)正方形

【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据E是CD的中点，得出，就可证明，根据全等三角形的性质即可得证；

（2）证明四边形是平行四边形，根据是斜边上的中线，得出，即可证明四边形是菱形；

（3）根据条件得出是等腰直角三角形，根据是斜边上的中线，得出，进而得出四边形是正方形，即可求解．

【详解】（1）证明：∵

∴，，

∵E是CD的中点，

∴，

∴，

∴

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴是斜边上的中线，

∴，

∴四边形是菱形．

（3）当时，四边形是正方形，理由如下：

＝， ，

是等腰直角三角形

是边上的中线

，

，

四边形是菱形

四边形是正方形．

故答案为：正方形．

【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

19．（1）100，图见解析；（2）286；（3）树状图见解析，

【分析】（1）用A的人数除以A所占的百分比求出总人数，求出C的人数即可补全图形；

（2）用该校初中毕业的人数乘以A级的人数所占的百分比即可；

（3）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】解：（1）次抽取的学生有（名）；；

补全统计图如图所示；

（2）根据题意得：1430×20%=286（名），

答：该县1430名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数286名．

共有12种等可能的结果，恰好抽到甲乙的有2种结果，

则．

【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

20．(1)

(2)

(3)或或或

【分析】（1）先将点代入一次函数，得出，再代入反比例函数解析式，待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据函数图象进行判断即可求解；

（2）根据题意分类讨论，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质分析即可求解．

【详解】（1）解：∵点在上，

∴，

∴，

∵在上．

∴，

∴反比例函数的解析式为：

（2）解：根据函数图象可知当时，；

故答案为：．

（3）解：∵，∴，

当时，或，

当时，如图1，

过作于，

∵，∴，

∴，

当时，如图2，

过作于，

∴，，

∴，

∵，

∴

∴，

∴

综上所述：点的坐标为：或或或

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，等腰三角形的性质，勾股定理，数形结合是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)，

【分析】（1）作的角平分线交于点，交于点，证明，即可；

（2）与相切，为直径，得出，得出是等腰直角三角形，则，根据圆周角定理得出，进而根据弧长公式与扇形面积公式即可求解．

【详解】（1）解：作的角平分线交于点，交于点，

∴点为所求的劣弧的中点．

证明：连接，

∵，

∴

且

∴

∴

即

（2）解：如图所示，连接，

∵与相切，为直径，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴；

∵，

∴，

∴的长度

∴．

【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，求弧长，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．

22．（1）；（2）；（3）

【分析】（1）根据一点到圆上的距离可得当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，即可求解；

（2）根据点是的内心，得出，，根据三角形内角和定理即可求解；

（3）作的外接圆，连接，，，过作，设的半径为，交的延长线于，由（）可知的最小值为：，证明，结合（2）的结论，则，根据圆周角定理得出优弧所对的圆周角为，则，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，进而即可求解．

【详解】解：当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，

的最小值为：；

故答案为：．

（2）∵，

∴，

∴，

∵点是的内心，

∴，，

∴，

∴；

（3）如图，作的外接圆，连接，，，

过作，交的延长线于，

设的半径为，

由（）可知的最小值为：，

点是的内心，

，

，，

，

由（2）可得，

，

优弧所对的圆周角为，

，

又，，

是等腰直角三角形，

∴，

，，

由作图可知，，

，，

故的最小值为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理，求一点到圆上的距离，三角形内心的性质，三角形外接圆，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．

23．(1)

(2)存在，，，

(3)

【分析】（1）分别令，分别解方程，求得的坐标，进而得出顶点，设对称轴与轴交于点，根据平行线的性质得出，进而根据正弦的定义即可求解；

（2）可设，，，，分情况讨论①以为对角线时，②以为对角线时，③以为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可；

（3）如图所示，过点作于点，交对称轴于点，连接并延长交第二象限抛物线为点，在中，，得出，则当点，，三点共线且垂直时最小，待定系数法求的解析式，联立，进而即可求解．

【详解】（1）解：∵，

令，解得，，

即，，

把代入中，

得，

即，

∵，

∴对称轴是直线，

顶点，

设对称轴与x轴交于点F，

∴，，，

∵，

∴，

在，．

（2）解：存在

∵点在抛物线上，点在对称轴上，

∴可设，，，

①以为对角线时，由平行四边形的对角线互相平分；则，

∴，

解得，即；

同理②以为对角线时，，

解得，即；

③以为对角线时，，

解得，即；

综上所述，存在，，，使得点，，，为顶点的四边形是平行四边形；

（3）解：如图所示，过点作于点，交对称轴于点，连接并延长交第二象限抛物线为点，

在中，，

∴，

∴，

∴要取得最小值，即要最小，

∴当点，，三点共线且垂直时最小，

此时最小，

在，中，，

∴，

∴，即，

∵，

设直线的解析式为：，

则，

解得：，

∴的解析式为：，

联立，

解得或（舍去）

∴，

∴．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，线段最短问题，解直角三角形，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．