2023年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷（含答案解析）

2023年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷

1.  的倒数是(    )

A.  B. 2023 C.  D.

2.  KN95型口罩能过滤空气中的粒径约为的非油性颗粒．用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，已知，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图所示的正六棱柱的俯视图是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，则估计木箱中蓝色卡片有(    )

A. 18张 B. 12张 C. 6张 D. 10张

6.  把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  给出下列判断，正确的是(    )

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形

8.  已知函数，，的图象交于一点，则k值为(    )

A. 2 B.  C. 3 D.

9.  某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元，商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图是二次函数的图象，对于下列说法：其中正确的有(    )
①，
②，
③，
④，
⑤当时，y随x的增大而减小，
 

A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个

11.  一元二次方程的解是______ .

12.  分解因式：______.

13.  如图，将沿BC边上的中线AD平移到的位置，已知的面积为18，阴影部分三角形的面积为8，若，则的值为______.

14.  如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，若，则__________
 

15.  如图，在正方形ABCD中，把BA绕点B顺时针旋转，把CD绕点C逆时针旋转，它们交于点M，连接BM、CM并延长，分别交AD于点E、F，连接BD交CF相交于点H，连接下列判断中，其中正确结论为______ 填序号
①；②∽；③：；④

16.  计算：

17.  某数学社团开展实践性研究，在一公园南门A测得观景亭C在北偏东方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得观景亭C在游船码头B的北偏东方向．求南门A与观景亭C之间的距离．参考数据：，

18.  如图，在中，，点D在AB边上且，连接CD，E是CD的中点，过点C作，交AE的延长线于点F，连接
求证：；
求证：四边形BDCF是菱形.

19.  我市某小区为了解疫苗接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了还需注射一针的疫苗；B类——接种了还需注射二针的疫苗；C类——接种了还需注射三针的疫苗；D类——还没有接种.图1与图2是根据此次调查得到的统计图不完整请根据统计图回答下列问题：

此次抽样调查的人数是多少人？
接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少.

20.  如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为
求反比例函数的解析式；
若，请直接写出x的取值范围______ ；
在x的负半轴上有点P，使是等腰三角形，请直接写出______ .

21.  如图，四边形ACBD内接于，AB是的直径，CD平分交AB于点E，点P在AB延长线上，
求证：PC是的切线；
求证：

22.  如图1，的半径为1，，点P为上任意一点，则BP的最小值为______ ；
如图2，已知矩形ABCD，点E为AB上方一点，连接AE，BE，作于点F，点P是的内心，求的度数；
如图3，在的条件下，连接AP，CP，若矩形的边长，，，求此时CP的最小值.
 

23.  如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点为D，且

求抛物线的解析式；
若在线段BC上存在一点M，过点O作交CB的延长线于H，且，求点M的坐标；
点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：的倒数是
故选：
根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：
故选：  

3.【答案】B 

【解析】解：，，
，
，

故选：
由，的度数，可得出，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数．
本题考查了平行线的判定与性质，牢记“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

4.【答案】D 

【解析】解：从上面看可得到一个正六边形．
故选：
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了简单几何体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

5.【答案】B 

【解析】解：设木箱中蓝色卡片有x张，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有12张．
故选：
根据蓝色卡片的频率可得摸到蓝色卡片的概率，根据概率公式即可求出蓝色卡片的数量．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由第一个不等式得：；
由得：
不等式组的解集为
故选：
求得不等式组的解集为，所以B是正确的．
不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；<，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
 

7.【答案】D 

【解析】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，
故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，
故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，
故符合题意；
故选：
根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】B 

【解析】解：
依题意，得，解得
交点为代入得，，
解得
故选：
函数，，的图象交于一点，可先通过函数，求出交点，再代入函数即可求出k值．
此题考查的是一次函数的交点问题，两函数相交，交点必在两函数上．
 

9.【答案】D 

【解析】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，
销售单价为x元时，每天的销售量，商家每天销售纪念品获得的利润，
，
故选：
利用每天的销售量销售单价上升的钱数，可找出y关于x的函数关系式，再利用商家每天销售纪念品获得的利润=每个的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于x的函数关系式是解题的关键．
 

10.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质进行分析．
根据二次函数的图象与性质，分别得出a，c，以及的符号进而求出答案．
【解答】
解：①由图象可知：，，
，故①错误；
②由于对称轴可知：，
，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
，故③正确；
④由图象可知：时，，
故④正确；
⑤由图象可得，当时，y随着x的增大而增大，故⑤错误，
故正确的有3个．
故选：  

11.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
所以，
故答案为：，
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

故答案为：
直接提取公因式2m，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

13.【答案】2 

【解析】解：如图，

、，且AD为BC边的中线，
，，
将沿BC边上的中线AD平移得到，
，
∽，
则，即，
解得负值舍去，
故答案为：
由、且AD为BC边的中线知，，根据∽知，据此求解可得．
本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
 

14.【答案】62 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
如图，连接BC，证明，求出，可得结论．
【解答】
解：如图，连接

是直径，
，
，
，
故答案为：  

15.【答案】①②④ 

【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
由题意知：，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
∽，
故②正确；
令，
，，
，，
，
：：：，
故③错误；
，
，
作于N，
令，
，，
，
，

故④正确．
故答案为：①②④．
由正方形的性质，相似三角形的判定方法，锐角的正切，三角形的面积公式即可解决问题．
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

 

【解析】分别根据零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及数的开方法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：过点C作于E，如图所示：
设，，
在中，，
即，
，
在中，，
即，
，
解得：，，
，
，
答：南门A与观景亭C之间的距离约为 

【解析】过点C作于E，设，，由题意可构建方程组求出x，y，再由勾股定理即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用-方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题．
 

18.【答案】证明：，
，
是CD的中点，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，
，
，
，
四边形BDCF是平行四边形，
，，
，
四边形BDCF是菱形． 

【解析】由，得，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明≌，得；
由，，得，可证明四边形BDCF是平行四边形，由，，得，即可证明四边形BDCF是菱形．
此题考查菱形的判定与性质，掌握平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识是解题的关键．
 

19.【答案】解：此次抽样调查的人数为：人；
接种B类疫苗的人数的百分比为：，
接种C类疫苗的人数为：人；
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男和一女的结果有12种，
恰好抽到一男和一女的概率为 

【解析】由A类的人数除以所占百分比即可求解；
由接种B类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出此次抽样调查的人数所占的百分比，再由此次抽样调查的人数乘以接种C类疫苗的人数所占的百分比即可；
画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】 

【解析】解：点在上，
，
，
在上．
，
反比例函数的解析式为：；
当，观察图象可知x的取值范围为：时，
故答案为：；
解得或，
，
，
当时，
；
，
故答案为：
把点代入得到，把代入，求得，于是得到结论；
在第一象限写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的x的值即可；
解方程组得到，根据勾股定理得到，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接OC，

是直径，
，
，
，
，
，，
，
，
是半径，
是的切线；
证明：，，
∽，
，
平分，
，
，，
，
，
 

【解析】连接OC，根据，可证，则，且OC是半径，即可证明；
首先证明∽，得，再由，，得，则有，从而证明结论．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：当A、B、P三点共线，且点P在线段AB上时，BP有最小值，BP最小值为：
，
故答案为：；
，
，
，
点P是的内心，
，

，


；
如图，作的外接圆，连接AQ，BQ，CQ，
过Q作，交CB的延长线于M，

设的半径为r，
由可知CP的最小值为：，
点P是的内心，
，
，，
≌，
，
优弧所对的圆周角为，
，
又，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由作图可知，，
，
，
，
，
故CP的最小值为：
当A、B、P三点共线，且点P在线段AB上时，BP有最小值；
点P是的内心，故有，利用三角形内角和定理即可求解；
如图，作的外接圆，连接AQ，BQ，CQ，过Q作，交CB的延长线于M，设的半径为r，由可知CP的最小值为：，由易证优弧所对的圆周角为，即，结合已知解直角三角形得；同理求出QM和CQ即可解决．
本题考查了三角形内角和、内心及角平分线的性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形；解题的关键掌握内心的概念，构造三角形外接圆模型．
 

23.【答案】解：抛物线顶点为D，且
抛物线解析式为，
把点代入得，
，
抛物线的解析式为；
，令，则，
解得或，
，，
设直线BC的解析式为，
直线BC经过点，，
，
解得，
直线BC的解析式为，
设点M的坐标为，
如图1，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，

则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，
，
点在直线上，
，
解得：，
把代入得：，
点M的坐标为；
分两种情况讨论：
①当CD为菱形的边时，
如图2，过C作于E，

，，
，
，
点的坐标为或；
②当CD为菱形的对角线时，
如图3，设点，，

，，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或 

【解析】由顶点为得抛物线解析式为，把点代入即可求解；
由待定系数法得直线BC的解析式为，设点M的坐标为，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，证≌，得，则，再由点在直线上，得，解得，即可解决问题；
分两种情况讨论，①当CD为菱形的边时，②当CD为菱形的对角线时，分别求出点Q的坐标即可．
本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法与菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．