中考一轮综合复习导学案（18）命题、四边形、多边形

这是一份中考一轮综合复习导学案（18）命题、四边形、多边形，共16页。学案主要包含了知识网络，要点梳理，2021中考汇编等内容，欢迎下载使用。
中考一轮综合复习导学案（18）
模块十八：命题、四边形、多边形
【教材涉及章节：初一下第5.3节命题 初二上第11.3节 多边形 初二下第18章 平行四边形】
涉及到2021大连中考题题：
【知识网络】

【要点梳理】
知识点一、命题
命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.
知识点二、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

凸多边形
凹多边形
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：





❤重点讲解❤：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
知识点三、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
❤重点讲解❤：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
知识点四、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
❤重点讲解❤：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
要点四、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
❤重点讲解❤：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点五、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
❤重点讲解❤：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点六、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点七、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【2021中考汇编】
一、选择题
1. （2021•湖南省衡阳市）下列命题是真命题的是（　　）
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B．正六边形的每一个内角为120°
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形 D．对角线相等的四边形是矩形
2. （2021•怀化市）以下说法错误的是（　　）
A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补
3. （2021•岳阳市） 下列命题是真命题的是（ ）
A. 五边形内角和是 B. 三角形的任意两边之和大于第三边
C. 内错角相等 D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
4. （2021•四川省达州市）以下命题是假命题的是（　　）
A．的算术平方根是2 B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
5. （2021•四川省广元市）下列命题中，真命题是（ ）
A. B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形 D. 已知抛物线，当时，
6. （2021•四川省凉山州）下列命题中，假命题是（ ）
A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C. 若，则点B是线段AC的中点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
7. （2021•泸州市）下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8. （2021•遂宁市）下列说法正确的是（　　）
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 在代数式，，，，，中，，，是分式
D. 若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
9. （2021•绥化市）下列命题是假命题的是（ ）
A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
10. （2021•呼和浩特市）以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队③两个正六边形一定位似④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11. (2021•内蒙古包头市)下列命题正确的是（　　）
A. 在函数中，当时，y随x的增大而减小
B. 若，则
C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 各边相等的圆内接四边形是正方形
12. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤
13.（2021•山东省泰安市）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
14. （2021•四川省南充市）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C﹣B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为9．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15. （2021•四川省眉山市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
16. (2021·安徽省)如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
17.（2021•海南省）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
18. （2021•重庆市A）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
19. （2021•四川省成都市）．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
20. （2021•四川省南充市）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　）
A． B．2 C．+1 D．2﹣1
21.（2021•广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c则正确的是：（ ）
A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③
22. （2021•浙江省宁波市） 如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A B. C. D.
23. （2021•浙江省温州市）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（　　）
A． B． C． D．
24. （2021•重庆市B）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
25．（2021•湖北省江汉油田）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
26.(2021•内蒙古包头市)如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则值为（ ）
A. B. C. D.
27.（2021•深圳）在矩形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．4 B．3 C．2 D．1
28. （2021•湖南省常德市）一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（　　）边形．
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
29. （2021•株洲市）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（ ）
A. B. C. D.
30. （2021•江苏省连云港）正五边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
31. （2021•江苏省南京市）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A. 1，1，1 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 2，2，2
32. （2021•江苏省扬州） 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）
A. B. C. D.
33. （2021•四川省眉山市）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（　　）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
34. (2021•四川省自贡市) 如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，的度数是（ ）
A. 72° B. 36° C. 74° D. 88°
35. （2021•北京市）下列多边形中，内角和最大的是（　　）

A. B． C． D．

36. （2021•福建省）如图，点F在正ABCDE五边形的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（　　）
A．108° B．120° C．126° D．132°
37. （2021•云南省）一个10边形的内角和等于（　 　）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
38. （2021•山东省济宁市）如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（　　）
A．72° B．45° C．36° D．35°
39. （2021•贵州省铜仁市）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形D. 正六边形
40. （2021•襄阳市）正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
41. （2021•绥化市）已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形
42. （2021•河北省）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．随点O位置而变化
43.（2021•株洲市） 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）
A. B. C. D.
44.（2021•山东省泰安市）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN； ②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM； ③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
45. （2021•陕西省）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则（　　）

A． B． C． D．
46.（2021•河北省）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　）

A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是




47. （2021•泸州市）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（ ）
A. 61° B. 109° C. 119° D. 122°
48. （2021•四川省南充市）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（　　）
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
49. （2021•天津市）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
50. （湖北省恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（　　）
A．30 B．60 C．65 D．
51.（2021•湖北省荆门市）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设
∠1＝30°，那么∠2＝（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
52.（2021•山东省威海市） 如图，在平行四边形ABCD中，AD-3，CD=2．连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC=2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A. B. C. 6 D.
53.（2021•浙江省衢州卷）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
54.（2021•贵州省贵阳市）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
55.（2021•湖南省娄底市）如图，点在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
二、填空题
1. （2021•江苏省无锡市）下列命题中，正确命题的个数为 　 　．
①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似
2.（2021•四川省广元市）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．

3. （2021•遂宁市）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确是_____（填写序号）
4. （2021•天津市）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________．
5. （2021•湖南省张家界市） 如图,在正方形外取一点,连接,,,过点作的垂线交于点,若,.下列结论:①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为 .
6. （2021•福建省）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：
①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB，BC的距离一定相等；③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边AB的距离的最大值为2．
其中正确的是 　 　.（写出所有正确结论的序号）
7. （2021•广西贺州市）如图．在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接、则的长为________．

8.（2021•湖北省黄石市） 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．
（1）若正方形的边长为2，则的周长是______．
（2）下列结论：①；②若是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．
9. （2021•湖南省衡阳市）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 　 　厘米．
10. （2021•长沙市）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．

11. （2021•株洲市）《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度．
12.（2021•株洲市）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC=__________．
13. （2021•江苏省连云港）如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．


14. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC = 70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM = 15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF =，则对角线BD的长为 ▲ .（结果保留根号）
15. （2021•上海市） 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
16. （2021•山西）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8，AC=6，OE//AB，交 BC 于点 E，则 OE 的长为
17. （2021•四川省凉山州）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
18. （2021•泸州市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________．
19. （2021•四川省南充市）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 　　．

20.（2021•青海省）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　 　．
21.（2021•浙江省绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为 　　cm（结果保留根号）．
22.（2021•浙江省台州）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
23.（2021•湖北省十堰市）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
24.（2021•北京市）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）．
25.（2021•广西贺州市）如图，在矩形中，，分别为，的中点，以为斜边作，，连接，．若，则________．
26. （2021•呼和浩特市）已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为最__________，最大值为__________．
27. (2021•内蒙古包头市) 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________．

28. （2021•襄阳市）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则______．
29. （2021•贵州省贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 　　．
30. （2021•绥化市）在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则______．
31.（2021•四川省眉山市）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 　　．
32. （2021•陕西省）正九边形一个内角的度数为 　　．（2021•湖北省黄冈市）正五边形的一个内角是 　　度．
33. （2021•上海市）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．


34. （2021•新疆） 四边形的外角和等于_______.
35. （2021•浙江省湖州市）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是 度．

36.（2021•江苏省盐城市）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　　．
37. （2021•广西玉林市）如图、在正六边形中，连接线，，，，，与交于点，与交于点为，与交于点，分别延长，于点，设．有以下结论：①；②；③重心、内心及外心均是点；④四边形绕点逆时针旋转与四边形重合．则所有正确结论的序号是______．
38. （2021•浙江省衢州卷）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则的度数为________．
39. （2021•江苏省扬州）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．
40.（2021•山东省临沂市）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是 　　．
41.（2021•山东省菏泽市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 　　．

42.（2021•浙江省丽水市） 一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是__________．
43.（2021•青海省）如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为　 　．
44.（2021•浙江省嘉兴市）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　　．
45.（2021•黑龙江省龙东地区）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．
三、解答题
1. （2021•辽宁省本溪市）在▱中，，平分，交对角线于点G，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得线段．
（1）如图1，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系；
（2）如图2，当时，过点B作于点，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）当时，连接，若，请直接写出与面积的比值．

2. （2021•宿迁市）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．

3. （2021•山东省临沂市）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
（1）求证：AG＝GH； （2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

4. （2021•陕西省）问题提出
（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AD＝6，E是AD的中点，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由．

5. （2021•湖北省宜昌市）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC； ②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值．


6. （2021•广东省）如题图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，，．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，，求的面积．


7. （2021•四川省广元市）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．

（1）求证：；
（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．

8. （2021•浙江省嘉兴市）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

9. （2021•浙江省绍兴市）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF
（1）若EF⊥BD，求DF的长；
（2）若PE⊥BD，求DF的长；
（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．


10. （2021•浙江省温州市）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时

11. （2021•湖北省荆门市）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．


12. （2021•海南省）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．
（1）求证：△DCE≌△DAF；
（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC．
①求证：HD＝HB；
②若DK•HC＝，求HE的长．

13. （2021•广西玉林市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．

14. （2021•广西贺州市）如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．






15. （2021•江苏省无锡市）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．


16. （2021•齐齐哈尔市）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．

（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．




17. （2021•深圳）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值.

（1）①__________；②__________.
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②.
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）
求①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）

18. （2021•浙江省衢州卷）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：．
【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．






19. （2021•绥化市）如图所示，四边形为正方形，在中，的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．

20.（2021•呼和浩特市）如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．

（1）求证：；
（2）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状（无需说明理由）



21. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．

（1）求证：是矩形；
（2）求的长．

22. （2021•株洲市）如图所示，在矩形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求线段的长度．


23. （2021•湖南省衡阳市）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．




24. （2021•湖南省邵阳市）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．




25. （2021•江苏省连云港）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．





26. （2021•江苏省扬州）如图，在中，的角平分线交于点D，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．




27. （2021•山东省泰安市）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．



28. （2021•遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．




29. (2021•四川省自贡市) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．


30. （2021•湖北省恩施州））如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．





31. （2021•浙江省金华市）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．




32. （2021•江苏省盐城市）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 　 　后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．




33. （2021•湖北省十堰市）如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、．

（1）求证：四边形菱形；
（2）若，求的长．

34. （2021•湖南省张家界市）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角（），所得的直线分别交，于点，.
（1）求证：≌；
（2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由.











35. （2021•福建省）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．




36. （2021•襄阳市） 如图，为的对角线．
（1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，．求证：四边形为菱形．



37.（2021•吉林省长春市）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度.
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度.
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P.求证：.
（2）若，则线段AP的长为 .



38. （2021•贵州省贵阳市）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．



39.（2021•湖北省武汉市）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．



40. （2021•怀化市）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．



41. （2021•岳阳市）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．



42. （2021•宿迁市）在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)．
求证：BE=DF．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．






43. （2021•山东省聊城市） 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．



44. （2021•湖南省永州市）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求证：△AEC≌△BFD．
（2）判断四边形DECF的形状，并证明．



45.（2021•四川省广元市）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．

（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．





46. （2021•新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．
求证：（1）；
（2）四边形AEFD是平行四边形．





47.（2021•浙江省绍兴市）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠DAB，∠ABC的平分线AE，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．