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中考一轮综合复习导学案（19）圆
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这是一份中考一轮综合复习导学案（19）圆，共18页。学案主要包含了知识网络，要点梳理，2021中考汇编等内容，欢迎下载使用。
中考一轮综合复习导学案（19）
模块十九：圆
【教材涉及章节：初三上第24章 圆】
涉及到2021大连中考题题：
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
❤重点讲解❤：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
❤重点讲解❤：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
❤重点讲解❤：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
❤重点讲解❤：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
设的半径为，圆心距.
(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离
.
(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含
(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.
(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.
(5)和有两个公共点相交.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
❤重点讲解❤：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
❤重点讲解❤：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【2021中考汇编】
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
2. （2021•湖北省黄冈市）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3. （2021•湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D．再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7° C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5. （2021•长沙市）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. （2021•江苏省连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. （2021•山东省聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
8. （2021•山东省泰安市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（ ）
A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
9. （2021•湖北省宜昌市）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
10. （2021•广东省）如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
11. （湖北省荆州市）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
12. （2021•四川省凉山州）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
13. （2021•泸州市）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
14. （2021•四川省眉山市）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
15. （2021•四川省南充市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
16. （2021•青海省）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
17. (2021•四川省自贡市) 如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A. 9.6 B. C. D. 19
18. （2021•浙江省金华市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
19. （2021•浙江省丽水市） 如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
20. 2021•浙江省绍兴市）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
21. 2021•重庆市B）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
22. （2021•重庆市A）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
23. （湖北省十堰市）如图，内接于是的直径，若，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
24. （2021•海南省）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
25. （2021•广西玉林市） 学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A. 两人说的都对 B. 小铭说的对，小燕说的反例不存在 C. 两人说的都不对 D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
26. （2021•吉林省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
27. （2021•湖北省黄石市）如图，、是上的两点，，交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
28. （2021•山东省临沂市）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
29. （2021•山东省泰安市）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
30. （2021•上海市）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外
C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外
31. （2021•山西）如图，在eO 中，AB 切eO 于点 A，连接 OB 交eO 于点 C，过点 A 作 AD//OB 交eO 于点 D，连接 CD.若ÐB = 50° ，则ÐOCD 为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
32.（2021•四川省凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
33. （2021•泸州市）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A. B. C. D.
34. （2021•浙江省嘉兴市）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
35. （2021•湖北省荆门市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30° B．35° C．45° D．55°
36. （2021•福建省）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（ ）
A． B． C． D．
37. （2021•吉林省长春市）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
38. （2021•广西贺州市）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D. 1
39. （2021•贵州省贵阳市）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（ ）
A．144° B．130° C．129° D．108°
40. （2021•湖南省娄底市）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
41. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长
为半径画弧，得，连接 AC、AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. p B. p C. D.
42. （2021•河北省）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
43. （2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
44．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2π D．
45.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
46.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A. B. C. D. 1
47. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A. B. C. D.
48. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
49. （四川省自贡市)如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
50. （2021•青海省）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
51. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
52. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则：的比值为（ ）
53. （2021•云南省）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若0A＝3，则劣弧BD的长是（ ）
A． B．π C． D．2π
54. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
55. （2021•湖北省江汉油田）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. D.
56. （2021•呼和浩特市）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
57. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
1.(2021·安徽省) 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
2. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____．
3. （2021•湖南省常德市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____．
4. （2021•长沙市） 如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
5. （2021•江苏省连云港）如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
6. （2021•江苏省南京市）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
7. （2021•湖北省随州市）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______．
8. （2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．
9. （2021•湖南省娄底市）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
10.（2021•江苏省盐城市）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ ．
11. （2021•湖南省张家界市）如图,内接于⊙,,点是的中点,连接,,,则 .
12. （2021•宿迁市） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________．
13. （2021•岳阳市）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．
14. （2021•江苏省南京市） 如图，是五边形外接圆的切线，则______．
15. （2021•陕西省）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切） ．
16. （2021•湖北省荆州市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝ ．
17. （2021•青海省）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙的半径是 ．
18. （2021•浙江省杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT，则PT= ．
19. （2021•浙江省温州市）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝ 度．
20. （2021•浙江省温州市）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2） ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′,以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时。圆的最小面积为 ．
21. （2021•北京市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．
22. （2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
23. （2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
24. （2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
25. （2021•山东省泰安市）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 ．
26. （2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米．（圆周率用π表示）
27. （2021•广东省）如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
28. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 寸．
29. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
30. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）
31. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ．
32. （2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
33. （2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 ．
34. （2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
35. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
36.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
37. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
38.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm2；
39.（2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 ；
40. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
41. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm．
42. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
43. （2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
44.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
45. （2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．
46. （2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．
47. （2021•黑龙江省龙东地区）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm．
48. （2021•绥化市）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
40. ．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
三、解答题
1.(2021·安徽省)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
2. （2021•甘肃省定西市）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
3. （2021•长沙市）如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求的值；
（2）求值；
（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．
4. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°
5. （2021•绥化市）如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
6. （2021•山东省临沂市）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
7. （2021•山东省泰安市））如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
8. （2021•上海市）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
9. （2021•四川省广元市）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
10. （2021•浙江省杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
11. （2021•深圳）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
12. （2021•浙江省湖州市）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
13. （2021•浙江省金华市）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．
14. （2021•浙江省宁波市）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
15. （2021•湖北省荆门市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
16. （2021•北京市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
17. （2021•甘肃省定西市）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
18.（2021•湖南省常德市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线；
（2）若，，求的长．
19.（2021•湖南省衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．
20.（2021•怀化市）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
21.（2021•江苏省连云港） 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．
（1）求证：是切线；
（2）延长、相交于点E，若，求的值．
22. （2021•宿迁市）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD．
（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AB=40，求的半径．
23.（2021•山东省聊城市）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
24.（2021•湖北省随州市）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB=BC；
（2）若的直径为9，．
①求线段的长；
②求线段的长．
25.（2021•湖北省宜昌市）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．
26.（2021•山东省菏泽市）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．
27. （2021•四川省成都市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
28.（2021•四川省乐山市）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
29. （2021•四川省凉山州）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是的切线；
（2）若的半径为5，，求．
30.（2021•泸州市）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC
（1）求证：；
（2）若，于点，，，求的值
31. (2021•四川省自贡市)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求EF的长．
32. （2021•天津市） 已知内接于，点D是上一点．
（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作切线，与的延长线交于点E，求的大小．
33. （2021•湖北省恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．
34.（2021•浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
35.（2021•江苏省盐城市）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．
36.（2021•广西贺州市）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
37. （2021•江苏省无锡市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
38.（2021•齐齐哈尔市） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分；
（2）若，．求OB的长．
39.（2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
40. （2021•河北省）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
41. （2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
42. （2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
43. （2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
44. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
45. （2021•襄阳市） 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
46. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
47. （2021•湖北省黄石市）如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若，且，求切线的长．
48. （2021•四川省达州市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
49. （2021•湖南省张家界市）如图，在中，=90°，=30°，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交⊙于点，连接.
（1）求证：为⊙的切线；
（2）若=2，求弧的长.
50. （2021•江苏省扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
中考一轮综合复习导学案（19）
模块十九：圆
【教材涉及章节：初三上第24章 圆】
涉及到2021大连中考题题：
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
❤重点讲解❤：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
❤重点讲解❤：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
❤重点讲解❤：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
❤重点讲解❤：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
设的半径为，圆心距.
(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离
.
(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含
(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.
(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.
(5)和有两个公共点相交.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
❤重点讲解❤：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
❤重点讲解❤：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【2021中考汇编】
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
2. （2021•湖北省黄冈市）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3. （2021•湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D．再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7° C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5. （2021•长沙市）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. （2021•江苏省连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. （2021•山东省聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
8. （2021•山东省泰安市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（ ）
A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
9. （2021•湖北省宜昌市）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
10. （2021•广东省）如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
11. （湖北省荆州市）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
12. （2021•四川省凉山州）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
13. （2021•泸州市）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
14. （2021•四川省眉山市）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
15. （2021•四川省南充市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
16. （2021•青海省）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
17. (2021•四川省自贡市) 如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A. 9.6 B. C. D. 19
18. （2021•浙江省金华市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
19. （2021•浙江省丽水市） 如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
20. 2021•浙江省绍兴市）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
21. 2021•重庆市B）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
22. （2021•重庆市A）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
23. （湖北省十堰市）如图，内接于是的直径，若，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
24. （2021•海南省）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
25. （2021•广西玉林市） 学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A. 两人说的都对 B. 小铭说的对，小燕说的反例不存在 C. 两人说的都不对 D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
26. （2021•吉林省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
27. （2021•湖北省黄石市）如图，、是上的两点，，交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
28. （2021•山东省临沂市）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
29. （2021•山东省泰安市）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
30. （2021•上海市）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外
C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外
31. （2021•山西）如图，在eO 中，AB 切eO 于点 A，连接 OB 交eO 于点 C，过点 A 作 AD//OB 交eO 于点 D，连接 CD.若ÐB = 50° ，则ÐOCD 为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
32.（2021•四川省凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
33. （2021•泸州市）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A. B. C. D.
34. （2021•浙江省嘉兴市）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
35. （2021•湖北省荆门市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30° B．35° C．45° D．55°
36. （2021•福建省）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（ ）
A． B． C． D．
37. （2021•吉林省长春市）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
38. （2021•广西贺州市）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D. 1
39. （2021•贵州省贵阳市）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（ ）
A．144° B．130° C．129° D．108°
40. （2021•湖南省娄底市）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
41. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长
为半径画弧，得，连接 AC、AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. p B. p C. D.
42. （2021•河北省）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
43. （2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．12π
44．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2π D．
45.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
46.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A. B. C. D. 1
47. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A. B. C. D.
48. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
49. （四川省自贡市)如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
50. （2021•青海省）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
51. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
52. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则：的比值为（ ）
53. （2021•云南省）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若0A＝3，则劣弧BD的长是（ ）
A． B．π C． D．2π
54. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
55. （2021•湖北省江汉油田）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A. B. C. D.
56. （2021•呼和浩特市）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
57. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
1.(2021·安徽省) 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
2. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____．
3. （2021•湖南省常德市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____．
4. （2021•长沙市） 如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
5. （2021•江苏省连云港）如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
6. （2021•江苏省南京市）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
7. （2021•湖北省随州市）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______．
8. （2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．
9. （2021•湖南省娄底市）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
10.（2021•江苏省盐城市）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ ．
11. （2021•湖南省张家界市）如图,内接于⊙,,点是的中点,连接,,,则 .
12. （2021•宿迁市） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________．
13. （2021•岳阳市）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．
14. （2021•江苏省南京市） 如图，是五边形外接圆的切线，则______．
15. （2021•陕西省）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切） ．
16. （2021•湖北省荆州市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝ ．
17. （2021•青海省）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙的半径是 ．
18. （2021•浙江省杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT，则PT= ．
19. （2021•浙江省温州市）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝ 度．
20. （2021•浙江省温州市）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2） ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′,以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时。圆的最小面积为 ．
21. （2021•北京市）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．
22. （2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
23. （2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
24. （2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
25. （2021•山东省泰安市）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 ．
26. （2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米．（圆周率用π表示）
27. （2021•广东省）如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
28. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 寸．
29. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
30. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）
31. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ．
32. （2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
33. （2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 ．
34. （2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
35. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
36.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
37. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．
38.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm2；
39.（2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O的任意一条直经FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 ；
40. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
41. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm．
42. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
43. （2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
44.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
45. （2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．
46. （2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．
47. （2021•黑龙江省龙东地区）若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm．
48. （2021•绥化市）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
40. ．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
三、解答题
1.(2021·安徽省)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
2. （2021•甘肃省定西市）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
3. （2021•长沙市）如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求的值；
（2）求值；
（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．
4. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°
5. （2021•绥化市）如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
6. （2021•山东省临沂市）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
7. （2021•山东省泰安市））如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
8. （2021•上海市）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
9. （2021•四川省广元市）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
10. （2021•浙江省杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
11. （2021•深圳）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
12. （2021•浙江省湖州市）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
13. （2021•浙江省金华市）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．
14. （2021•浙江省宁波市）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
15. （2021•湖北省荆门市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
16. （2021•北京市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
17. （2021•甘肃省定西市）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
18.（2021•湖南省常德市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线；
（2）若，，求的长．
19.（2021•湖南省衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．
20.（2021•怀化市）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
21.（2021•江苏省连云港） 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．
（1）求证：是切线；
（2）延长、相交于点E，若，求的值．
22. （2021•宿迁市）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD．
（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AB=40，求的半径．
23.（2021•山东省聊城市）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．
24.（2021•湖北省随州市）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB=BC；
（2）若的直径为9，．
①求线段的长；
②求线段的长．
25.（2021•湖北省宜昌市）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．
26.（2021•山东省菏泽市）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．
27. （2021•四川省成都市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
28.（2021•四川省乐山市）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
29. （2021•四川省凉山州）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是的切线；
（2）若的半径为5，，求．
30.（2021•泸州市）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC
（1）求证：；
（2）若，于点，，，求的值
31. (2021•四川省自贡市)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求EF的长．
32. （2021•天津市） 已知内接于，点D是上一点．
（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作切线，与的延长线交于点E，求的大小．
33. （2021•湖北省恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．
34.（2021•浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
35.（2021•江苏省盐城市）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．
36.（2021•广西贺州市）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
37. （2021•江苏省无锡市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
38.（2021•齐齐哈尔市） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分；
（2）若，．求OB的长．
39.（2021•内蒙古通辽市）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
40. （2021•河北省）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
41. （2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
42. （2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
43. （2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
44. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
45. （2021•襄阳市） 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
46. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
47. （2021•湖北省黄石市）如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若，且，求切线的长．
48. （2021•四川省达州市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
49. （2021•湖南省张家界市）如图，在中，=90°，=30°，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交⊙于点，连接.
（1）求证：为⊙的切线；
（2）若=2，求弧的长.
50. （2021•江苏省扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
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