北师大版数学八年级上册应用二元一次方程组(基础)知识讲解 (含答案)

应用二元一次方程组（基础）知识讲解

【学习目标】

1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；

2．熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题.

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系

1.和差倍分问题：

增长量＝原有量×增长率  较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

2.增收节支问题：

（1）增长（递减）率公式：

原来的量×（1+增长率）=后来的量；  原来的量×（1-递减率）=后来的量；

（2）利润公式：

利润=总收入-总支出 ；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 

（3）银行利率公式：

利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.

月利率＝年利率×.

要点诠释：

　 增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．

3.行程问题：
　速度×时间=路程.
　顺水速度=静水速度+水流速度.
　逆水速度=静水速度-水流速度.

4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思想

    列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、鸡兔同笼问题

1. （2020•茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【思路点拨】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．

【答案与解析】

解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得

，

故选C

【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

举一反三：

【变式】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.

【答案】

解：设每个篮球元，每个羽毛球元.根据题意列方程组：

解得 

答：每个篮球20元，每个羽毛球2元.

类型二、增收节支问题

2.（2020•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　         　．

【思路点拨】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有

 根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．

【答案与解析】

解：根据题意得：.

【总结升华】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的能力，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．

举一反三

【变式】小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价.由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？

【答案】

上衣成本＋裤子成本＝500元

上衣利润＋裤子利润＝157元

分析：设上衣的成本价为ｘ元，裤子的成本价为ｙ元：

解：设上衣的成本价为x元，裤子的成本价为y元，则上衣利润为    　　　　　　　　元，

　裤子利润为[0.9(1+40%)y-y]元，依题意得

整理得:       

②－① ×26,得9x=2700,

 ∴x =300.

把其代入①，得y=500－300=200

答：上衣成本300元，裤子成本200元.

3. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？

【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元.

【答案与解析】

解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：

解得：
答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．

【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.

类型三、里程碑上的数（数字问题）

4.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．

【思路点拨】本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143．

【答案与解析】

解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y．则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得：

，解方程组，得．

故这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49．

答：这个两位数为49．

【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．

【变式】（2020•黑龙江）为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y=40，

当x=1，则y=（不合题意）；

当x=2，则y=5；

当x=3，则y=（不合题意）；

当x=4，则y=（不合题意）；

当x=5，则y=（不合题意）；

当x=6，则y=（不合题意）；

当x=7，则y=（不合题意）；

当x=8，则y=0；

所以有2种分组方案．故选：C．

类型四、行程问题

5. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．

 (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度各是多少？

 (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?

【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．

(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．

“同时开出同向而行”可用下图表示．

(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．

【答案与解析】

解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．

根据题意，得，

解得

答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．

(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，

根据题意，得60(x+1)+100x＝480．

解得．

    答：快车开出小时两车相遇．

【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．