中考数学模拟汇编二50新概念型问题

这是一份中考数学模拟汇编二50新概念型问题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. （萧山区中考模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2＋b－1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到：32＋（－2）－1＝6．现将实数对(－1，3)放入其中，得到实数m，再将实数对(m，1)放入其中后，得到的实数是_______。
【答案】9
2. (珠海市香洲区模拟)古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A.13=3+10B.25=9+16
C.36=15+21D.49=18+31
【答案】C
二、填空题
1．（南京市江宁区中考一模）中国已经进入一个老龄化社会，“老人”是一个模糊概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老化程度，其中一个人的“老人系数”与龄的关系如图所示， 按照这样的规定，一个龄为70岁的人，他的“老人系数”为 ▲ ．
答案：0.5
三、解答题
1．（杭州市进化一中模拟）（本小题满分10分）
学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad 的值为（ ）A. B. 1 C. D. 2
（2）对于，∠A的正对值sad A的取值范围是 .
（3）已知，其中为锐角，试求sad的值.
【答案】（1）B； ………………………2分
（2）； ………………………3分
(3) 如图，在△ABC中，∠ACB=，sin∠A.
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k，
则AD= AC==4k，………………………2分
又在△ADH中，∠AHD=，sin∠A.
∴，.
则在△CDH中，，.……………2分
于是在△ACD中，AD= AC=4k，.
由正对定义可得：sadA=，即sad ………………………1分
2. （浙江新昌县模拟）定义：已知反比例函数与，如果存在函数()则称函数为这两个函数的中和函数.
（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为，并且其中一个函数满足：当时，随的增大而增大．
（2） 函数和的中和函数的图象和函数的图象相交于两点，试求当的函数值大于的函数值时的取值范围．
【答案】解：(1) 答案不唯一,如与等 4分
(2) 和 的中和函数，
联立方程组，得两个函数图象的交点坐标为（）（） 2分
结合图象得到当的函数值大于的函数值时的取值范围是或 2分
2．（南京市溧水县中考一模）
（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=AC．
（1）如图，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC．
①写出相等的线段（不再添加字母）；
②求∠BCD的度数．
（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段．
答案：解：（1）①AB=DC=AD， AC=BD=BC．……………………………………………2分
②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，……3分
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，………………………………4分
∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，……………………………………………5分
设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2 x°，∠DBC= x°，
∴2 x+2 x+ x=180，解得x=36，
∴∠BCD=72°．…………………………………………………………………6分
（2）
AB=BD=AD =AC，BC = CD． 或 AB= BC= CD=BD=AD，AC，．……8分
3．（南京市建邺区中考一模）（9分）
操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
说明：
方案一图形中的圆过点A、B、C；
方案二直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．
方案一
纸片利用率= eq \f(纸片被利用的面积,纸片的总面积) ×100%
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．
你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．
请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．
说明：
方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
答案：（本题9分）
发现：（1）小明的这个发现正确．1分
理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC＝BC＝ eq \r(5) ，AB＝ eq \r(10)
∴AC2+BC2＝AB2 ∴∠BAC＝90°，2分
∴AB为该圆的直径．3分
解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN．
又∵∠BCN＋∠CBN＝90°，∴∠BCN＋∠ACM＝90°，即∠BAC＝90°，2分
∴AB为该圆的直径．3分
图一
图二
N
（2）如图三：易证△ADE≌△EHF，∴AD＝EH＝1．4分
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(DE,CB) ∴ eq \f(1,4) ＝ eq \f(2,CB) ，∴BC＝8．5分
∴S△ACB＝16．6分
∴该方案纸片利用率＝ eq \f(展开图的面积,纸板的总面积) ×100%＝ eq \f(6,16) ×100%＝37.5% 7分
探究：（3） eq \f(180,361) 9分
B组
50.新概念型问题
1、（广州四中初三第一次模拟测试）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数110换算成十进制数应为：1×22+1×21+0×20=6
按此方式，则将十进制数11换算成二进制数应为___________
答案：1011
2、（广州四中初三第一次模拟测试）如图（1），凸四边形，如果点满足，且，则称点为四边形的一个半等角点．
（1）在图（3）正方形内画一个半等角点，且满足．
（2）在图（4）四边形中画出一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法）．
（3）若四边形有两个半等角点（如图（2）），证明线段上任一点也是它的半等角点．
解：（1）所画的点在上且不是的中点和的端点，即给2分．
（2）画点关于的对称点，延长交于点，点为所求（不写文字说明不扣分）给6分．
（说明：画出的点大约是四边形的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）
（3）连和，根据题意，
，，
．
在上，同理，也在上．8分
在和中，
，，公共，
．10分
所以，，于是关于对称．
设是上任一点，连结，由对称性，得，，
所以点是四边形的半等角点．12分
3. （河南三门峡模拟一）（本题12分）阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）.我们可行出生种计算三角形面积的新方示：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图2，抛物线顶点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△ABC的铅垂高CD及S△ABC;
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）设抛物线的解析式为：
把A（3，0）代入解析式得 a(3-1)2+4=0. 解得
所以 ……………………………………… 2分
设直线AB的解析式为：
由求得B点的坐标为
把，代入得
解得：
所以 …………………………………………………………… 4分
（2）因为C点坐标为（1，4）所以当x＝１时， y2＝2
所以CD＝4-2＝2 ……… 5分
………………………………………………………… 6分
（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则
由S△PAB=S△CAB 得：
化简得：
解得 ………………………………………………………………… 10分
将代入中，得.
所以存在符合条件的P点,其坐标为 ……………………………… 12分