中考数学模拟汇编二46综合型问题

这是一份中考数学模拟汇编二46综合型问题，共65页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

46.综合型问题

A组
一 选择题
1．（南京市雨花台中考一模）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是
A．（3，1）　 B．
C． D．（1，3）
（第1 题）
答案：B
2．（南京市雨花台中考一模）如图，矩形ABCD中，，，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是




A． B． C． D．
(第2题)
答案：C

O
（第3题）
P
3．（南京市溧水县中考一模）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动，设运动时间为x(秒)，∠APB＝y(度)，右图函数图象表示y与x之间函数关系，则点M的横坐标应为（ ▲ ）
A．2 B．
C． D．＋2

答案：C



二 填空题

三 解答题
1. (杭州市金山学校中考模拟)（6分）（根据杭州启正中学2010学第二学期九下期初摸底卷第14题改编）
已知关于的函数的图像与坐标轴只有2个交点，求的值.
【答案】 (6分)
解：分情况讨论：
（ⅰ）时，得.
此时与坐标轴有两个交点，符合题意. ……………………………1分
（ⅱ）时，得到一个二次函数.
① 抛物线与x轴只有一个交点，…………………1分
解得…………………………………………………………2分
② 抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0,0）…………………1分
把（0,0）带入函数解析式，易得………………………………1分



2．(上海市杨浦区中考模拟)已知抛物线①经过点A（-1,0）、B（4,5）、C（0,-3），其对称轴与直线BC交于点P。
（1）求抛物线①的表达式及点P的坐标；
（2）将抛物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线②恰好过点P，求上下平移的方向和距离；
（3）设抛物线②的顶点为D，与y轴的交点为E，试求∠EDP的正弦值。
1







【答案】解：（1）据题意设抛物线的表达式为，------------------1分
则，解得，∴抛物线的表达式为----------2分
∴对称轴为直线---------------------------------------------------------------------1分
据题意设直线BC的解析式为，则，
∴直线BC的解析式为，∴P（1，-1）---------------------------------1分
（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m个单位得抛物线②，
则抛物线②的表达式为-------------------1分
∵抛物线②过点P，∴，∴--------------------------1分
∴再将它向上移动2个单位可得到抛物线----1分
1
P
D
E
x
y
H
（3）∵抛物线①向右移动1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线②，
∴抛物线②的表达式是即，∴D（2,-2），E（0,2）---------------2分
∵P(1,-1)，∴直线DP过点O，且与x轴夹角为45°，
过点E作EH⊥DP于点H，∴∠EOH= 45°
∵E（0,2）,∴EH=，而ED=
∴sin∠EDP=--------------------------2分

3. （双柏县中考模拟）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.
（1）求的值；
（2）求直线AC的函数解析式。
（3）在线段上是否存在点，使与相似.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.








【答案】解：（1）的顶点坐标为（0，0），
的顶点坐标，
. 3分
（2）由（1）得.
当时，
.
.
. 4分
当时，，
点坐标为.
设直线AC的函数解析式为y=kx+b,于是


故所求直线AC的函数解析式为y = 7分
（3）存在.
由（2）知，为等腰直角三角形，，
连接，过点作于点，
.
①若，则
，即.
，
.
，
.
点在第三象限，
. 10分
②若，则
，即.
，
.
点在第三象限，
.
综上①、②所述，存在点使与相似，且这样的点有两个，其坐标分别为. 12分

4. （杭州市余杭中考模拟）（本小题满分12分）
已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=―2 .
⑴求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（参考资料：抛物线对称轴是直线x＝）





（第24题图1）
（第24题图2）











【答案】（本题12分）
解：解：（1）∵抛物线（）的对称轴为直线．
∴，∴，
∴． 2分
∴． 1分
（2）探究一：当时，有最大值．
∵抛物线交轴于两点，交轴于点，
∴，，，
∴． ……………………………………………………………………1分
当时，作轴于，
则．
∵，
∴．
∵


2分
∴ 1分
∴当时，有最大值，． 1分
探究二：
存在．分三种情况：
①当时，作轴于，则，
∴．
∴，，
∴．
∵轴，轴，
∴，∴，
∴．
∴，．
此时，又因为，
∴，∴，∴．
∴当时，存在点，使，
此时点的坐标为（0，2）． 2分（结论1分，过程1分）
②当时，则，
∴，∴．
∵，∴．
∴与不相似，此时点不存在． 2分（结论1分，过程1分）
③当时，以为直径作，则的半径，
圆心到轴的距离．∵，∴与轴相离．
不存在点，使．
∴综上所述，只存在一点使与相似．
14分（结论1分，过程1分）
（其它方法可参照此答案给分）



5. (杭州市金山学校中考模拟) （10分）（根据2010中考数学考前知识点回归＋巩固 专题13 二次函数题目改编）
如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为 顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．






【答案】（本题10分）
解：（1）；．………………………………………2分
（2）在中，，
．
设点的坐标为，其中，
∵顶点，
∴设抛物线解析式为．
①如图①，当时，，
．
解得（舍去）；．
．
．
解得．
抛物线的解析式为 …………………………………………………2分
②如图②，当时，，
．
解得（舍去）．……………………………………………………………………2分
③当时，，这种情况不存在．…………………………………1分
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
（3）存在点，使得四边形的周长最小．
如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．……………………………………1分
，．
．
．
又，
，此时四边形的周长最小值是．……………………………………………………………………………………2分


6．(杭州市金山学校中考模拟)（ 14分）（根据历城市中考第一次模拟考试数学试卷改编）
已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE。
(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。
_____________________，______________________ 。
(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点。
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。
②求抛物线的解析式。
E
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。






图1















【答案】（ 14分）
（1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB……………………………………………4分
（2）①（1，－4a）…………………………………………………………1分
②∵△OAD∽△CDB
∴…………………………………………………………1分
∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0）…………………………………2分
又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1，
∴ ∴　　∵　　∴
故抛物线的解析式为：………………………………2分
③存在，设P（x，－x2+2x+3）
∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形
∴PN=AN
当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，
∴P（－2，－5）………………………………………………………………………2分
当x>0（x>3）时，x－3= －(－x2+2x+3)， x1=0，x2=3(都不合题意舍去) …………1分
符合条件的点P为（－2，－5）………………………………………………1分

7. （萧山区中考模拟）【改编】（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）， 已知点坐标为（，）。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.






【答案】解：（1）设抛物线为.
∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.
∴抛物线为. ……………………………3分
(2) 答：与⊙相交 …………………………………………………………………1分
证明：当时，，.
∴为（2，0），为（6，0）.∴.…………………1分
设⊙与相切于点，连接，则.
∵，∴.
又∵，∴.∴∽.……1分
∴.∴.∴.…………………………1分
∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………1分
解：如图，过点作平行于轴的直线交于点。
可求出的解析式为.…………………………………………1分
设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.
∴.
∵,
∴当时，的面积最大为.
此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………3分

















8．（浙江金衢十一校联考）（10分）如图，抛物线F：y＝ax 2＋bx＋c的顶点为P，抛物线F与轴交于点A，过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F ′：
y＝a′x 2＋b′x＋c′，抛物线F ′ 与x轴的另一个交点为C．
（1）当a＝1，b＝－2，c＝3时，
①写出点D的坐标 ▲ ； ②求b : 的值；
（2）若a、b、c满足b 2＝ac，探究b : 的值是否为定值？
若是定值请求出这个定值；若不是请说明理由．

【答案】 （1）①D（1，0）-----------（3分）
② 1:2--------------（3分）
（2）将　，ｙ＝０代入得b : ＝２:５---------（４分）


9. （浙江新昌县模拟）如图，二次函数的图象与轴交于A,B两点(点在点左侧)，顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E 作轴的平行线，交的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形，设正方形与重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；（2）求当点在边上，在边上时的值；（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．











备用图1
备用图2


【答案】（1）=,顶点C的坐标为（） 2分
=，故点(1,0)(4,0)
C
设AC直线为，得，解得 3分
（2）可求得BC直线为,当在边上，在边上时
点E坐标为（）,点F坐标为（）
得EF=,
而EF=FG, 2分
方法一：因为抛物线的对称轴和等腰三角形的对称轴重合
所以FG=
=
解得 3分
方法二：抽取如图三角形，设正方形边长为，
图1
从∽得，得， 2分
即,得 1分
（3）点E坐标为（）随着正方形的移动，
重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：
① 点F在BC上时，如图1重叠部分是,
此时时，点F坐标为（）
1分
②点F在AC上时，点F坐标为（）又可分三种情况:
Ⅰ.如图2，时重叠部分是直角梯形EFKB,此时
1分


Ⅱ.如图3，,点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH.
此时，，
点H坐标为（），点M坐标为（）

,,
=()
= (如果不化成一般式不扣分)1分


Ⅲ.如图4, 点G在BC上或BC上方时, 重叠部分是正方形EFGH,
此时
1分
直接分类给出表达式不扣分.





10．(浙江舟山市模拟)（本题12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且满足6a-3b=2.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
（第24题图）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围
②当S=时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，

则 解得



∴抛物线的解析式为: ………………… 2分


(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) ………………… 2分


②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） ………………… 2分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）………………… 2分

若R点存在，分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题意. ………………… 1分

【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. ………………… 1分

【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线上. ………………… 1分

综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意. ………………… 1分


11. (珠海市香洲区模拟)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）[图14(2)、图14(3)为解答备用图.
(1)k=_______，点A的坐标为___________，点C的坐标为_____________.
(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.


【答案】

12．解：（1）， A（-1，0）， B（3，0）． ……3分
（2）如图14（2）抛物线的顶点为M（1，-4）， ……4分
连结OM．则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，
∴ 四边形 ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． ……6分

(说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．)
（3）如图14（3），设D（m，），连结OD．
则 0＜m＜3， ＜0．
且 △AOC的面积=，△DOC的面积=，






12. （浙江新昌县模拟） 将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角得到正方形，如图1所示.
（1）当=45时(如图2)，若线段与边的交点为，线段与的交点为，可得下列结论成立 ①；②，试选择一个证明.
（2）当时,第（1）小题中的结论还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.

（3）在旋转过程中，记正方形与AB边相交于P,Q两点，探究的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与之间的关系;如果不变，请直接写出的度数.




【答案】（1）若证明①
当=45时,即,又
∴ ,同理
∴ 2分
在Rt和Rt中，有
∴ 2分
若证明②
法一证明:连结,则
∵是两个正方形的中心，∴

∴ 2分
∴
即∴ 2分
法二：证明，同①先证明
得
∵∴即 2分
在和中有



∴≌
∴ 2分
（2）成立 1分
证明如下：法一证明:连结,则
∵是两个正方形的中心，∴

∴ 2分
∴
即∴ 2分

法二
如图，作,垂足分别为E,F
则 ,
在Rt和Rt中，有
∴
2分
∵∴即
在和中有

∴≌
∴ 2分
（3）在旋转过程中,的度数不发生变化， 1分
2分



（第21题图）
13．(浙江舟山市模拟)（本题10分）如图，已知Rt△，，的平分线交于点，的垂直平分线分别交于点，．
（1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两个等腰梯形．那么，构成菱形的四个顶点是 ▲ 或 ▲ ；构成等腰梯形的四个顶点是 ▲ 或 ▲ ；
（第22题图）
（2）请你各选择其中一个图形加以证明。

【答案】解：（1）构成菱形的四个顶点是B、E、D、F或E、D、C、G 2分
构成等腰梯形的四个顶点是B、E、D、C或E、D、G、F； 2分
（2）证出一个得3分







（ⅰ）∵垂直平分 （ⅱ）∵菱形
∴， ∴∥ ……… 1分
∴ ∵
∵平分 ∴ ……… 1分
∴ ∴四边形是等腰梯形．……1分
∵
∴≌
∴ ………… 2分
∴ ……… 1分
∴四边形是菱形．
或（ⅲ）∵等腰梯形 （ⅳ）∵菱形，
∴ ∴
∵ ∵
∴ ∴
∵∥ ∵
∴四边形是平行四边形 ∴≌
∵ ∴
∴四边形是菱形． ∵∥
∴四边形是等腰梯形．



14. (珠海市香洲区模拟)设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE作第二个正方形AEGH，如此下去…
(1)记正方形ABCD的边长为=1，按上述方法所作的正方形边长依次为，请求出的值；
(2)根据以上规律写出的值.



【答案】
解：⑴
……2分
……3分
……4分

5. (珠海市香洲区模拟)已知，如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.
(1)求证：BE=DG；
(2)∠若B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.








【答案】
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴． ……1分
∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．
∴． ……2分
∴．
∵，
∴． ……3分
∴． ……4分
(2）当时，四边形是菱形． ……5分
∵，，
∴四边形是平行四边形． ……6分
∵中，，
∴，
∴． ……7分
∵，
∴．
∴． ……8分
∴四边形是菱形． ……9分




15.（南京市玄武区中考一模）.如图24，已知抛物线过点C（3，8），与轴交于A，B两点，与y轴交于点D（0，5）．
(1)求该二次函数的关系式；
(2)求该抛物线的顶点M的坐标，并求四边形ABMD的面积；






解：（1）根据题意，得
C=5
-9+3b+c=8………………………………2分
∴b=4，c=5 …………………….3分
M
∴这个二次函数的关系式为：……………4分
（2）的顶点坐标为M（2,9）…………….5分
令y=0， 得
N
A（-1,0） B(5,0)
∴S四边形ABMD=S△ADO+S梯形ODMN+S△MNB

16．（南京市下关区秦淮区沿江区中考一模）
(10分)如图直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(0，3)，点M在线段AB上．
(1)如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为2，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．









答案：(1)直线OB与⊙M相切． ……………………1分
理由：
设线段OB的中点为D，连结MD．……………………2分
因为点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝2．
所以MD⊥OB，点D在⊙M上．……………………4分
又因为点D在直线OB上，……………………5分
所以直线OB与⊙M相切．
(2) 解法一：可求得过点A、B的一次函数关系式是y＝x＋3，………………7分
因为⊙M与x轴、y轴都相切，
所以点M到x轴、y轴的距离都相等．……………………8分
设M(a，－a) (－4＜a＜0) ．
把x＝a，y＝－a代入y＝x＋3，
得－a＝a＋3，得a＝－．……………………9分
所以点M的坐标为(－，)．……………………10分
解法二：连接ME、MF．设ME＝x(x＞0)，则OE＝MF＝x，…………6分
AE＝x，所以AO＝x．………………8分
因为AO＝4，所以，x＝4．
解得x＝．……………………9分
所以点M的坐标为(－，)．……………………10分
17. （南京市浦口区中考一模）（8分）如图，已知线段是的中点，直线于点，直线于点，点是左侧一点，到的距离为
（1）画出点关于的对称点，并在上取一点，使点、关于对称；
（保留画图痕迹，不要求写画法）

（2）与有何位置关系和数量关系？请说明理由.







解：（1）如图， ······················································2分
（2）与平行且相等． 3分
证明：设分别交、于点、．
∵P、关于对称，点在上，∴
又∵，∴--------------------------------4分
∵，，∴．
∴四边形是矩形．
∴---------------------------------------------------------------------------6分
∴P、关于对称，
∵、关于对称，
∴
∴
∴---------------------------------------------------------------------------------------8分
18．（南京市浦口区中考一模）（10分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°．
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．
（1）当BO＝AD时，求BP的长；
（2）在点O运动的过程中，线段 BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时BP＝MN；若不能，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围.

(参考数据：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°3.5)








答案：

解：（1）∵AD//BC,BO=AD
∴四边形AB0D为平行四边形-------------------------------------------------------------------------1分
∴AB//OD, ∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5
在RtOCD中， , BO=BC-CO=3.-----------------2分
在RtPOB中，BO=PO, ∴BP=-------------------------------------------3分
（2）不存在.---------------------------------------------------------------4分
如图,过A点作AE⊥BC交BC于E点.若BP = MN，则△BOP≌△MON--------------------------------5分
∴∠BOP=∠MON=180°- 2∠B = 74°
DC=AE= -------------------------------------------------------------------------6分
在RtOCD中，. BO=BC-CO=
在△POB中,BP=
因为AB=5,所以BP>AB.
又因为P点在边AB上，即BP＜AB.
所以BP与MN不可能相等.--------------------------------------------------------------------------- 8分
（3）当⊙O与⊙C外切，CN 取值范围为 0< CN < 6 ------------ 9分
当⊙O与⊙C内切，CN 取值范围为 ------------- 10分
19．（南京市六合区中考一模）
（9分）如图1，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为2cm的菱形DEFG两
边DG、DE分别在AC、AB上．若菱形DEFG以1cm/s的速度沿射线AC方向平移．
（1）经过 ▲ 秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上；
（2）求菱形DEFG的面积；
（3）设菱形DEFG与△ABC的重合部分为Scm2，菱形DEFG平移的时间为t秒．求
S与t的函数关系式．







答案：解：（1）1．…………………………2分
（2）方法一：
如图，连接GE、AF，交于点O，并延长AF 交BC于点H．
∵由AG=AE得∠AGE=∠AEG，由AB=AC得∠B=∠C，
∴∠AEG=∠C= ．
∴GE∥BC， ∴=，得GE= ．………………3分
∵菱形AEFG中，GE⊥AF，可得AH⊥BC，故CH=BC=3．
∴Rt△ACH中，AH==4．
∴=，得AO=，于是AF=．……………………4分
∴S菱形AEFG=´GE´AF= ． …………………………5分
方法二：易求S△ABC=12．………………3分
由△AGE∽△ABC得=()2　，即=()2　　．……………4分
所以，S△AGE=得S菱形AEFG= ．…………………………5分
（3）①当0≤t≤1时，S= ．…………………………6分
②当1 AD=t，则CE=5–t–2=3–t，EN=EC=3–t，
故FN=2–（3–t）=t–1 ．
由△FMN∽△ABC可得=()2 ．
即=()2，所以S△FMN=(t–1)2 ．
所以S= S菱形AEFG–S△FMN= – (t–1)2．……………7分
③当3 由△DMC∽△ABC可得=()2．
即=()2，所以S=(5–t)2．……………………8分
④当t>5时，S=0．…………………………9分
20．（南京市溧水县中考一模）（9分）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．







解：（1）取中点，连结，
为的中点，，． 1分
又，． 2分
，得； 3分
（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
， 又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2……4分
PD=AB=2，PE= x-4，DE2= PD2+ PE2，…………………………………………………5分
∴（x+2）2=22+（x-4）2，解得：．
∴线段的长为．…………………………………………………………………………6分
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得． 7分
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得； 8分
②当时，，．
．又，．
，即=，得x2=[22+（x-4）2]．
解得，（舍去）．即线段的长为2． 9分
综上所述，所求线段的长为8或2．

21．（南京市建邺区中考一模）（9分）已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求m的取值范围；
（2）当点A的坐标为，求点B的坐标；
（3）当BC⊥CD时，求m的值．
解：（1）∵二次函数的图象与x轴相交于A、B两点
∴b2－4ac＞0，∴4+4m＞0， 2分
解得：m＞－1 3分
（2）解法一：
∵二次函数的图象的对称轴为直线x＝－＝1 4分
∴根据抛物线的对称性得点B的坐标为（5，0） 6分
解法二：
把x=－3，y=0代入中得m=15 4分
∴二次函数的表达式为
令y=0得 5分
O
y
x
A
B
C
D
E
解得x1=－3，x2=5
∴点B的坐标为（5，0） 6分

（3）如图，过D作DE⊥y轴，垂足为E．∴∠DEC＝∠COB＝90°，
当BC⊥CD时，∠DCE +∠BCO＝90°，
∵∠DEC＝90°，∴∠DCE +∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠BCO．
∴△DEC∽△COB，∴＝． 7分
由题意得：OE＝m+1，OC＝m，DE＝1，∴EC＝1．∴ ＝．
∴OB＝m，∴B的坐标为（m，0）． 8分
将（m，0）代入得：－m 2+2 m + m＝0．
解得：m1＝0（舍去）， m2＝3． 9分

22.（南京市建邺区中考一模）（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．
（1）当x= ▲ s时，DE⊥AB；
（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；
（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．







答案：（本题12分）
解：（1） 2分
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A＝∠B＝45°，AB=4，∴∠ADE＋∠AED＝135°；
又∵∠DEF＝45°，∴∠BEF＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEF；
∴△ADE∽△BEF 4分
∴＝，
∴＝，∴y＝－x2+x 5分
∴y＝－x2+x＝－( x－2)2+
∴当x＝2时，y有最大值＝ 6分
∴点F运动路程为cm 7分
A
B
C
D
E
F
第11题（3）①图










（3）这里有三种情况：
①如图，若EF＝BF，则∠B＝∠BEF；
又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠ADE＝45°
∴∠AED＝90°，∴AE＝DE＝，
∵动点E的速度为1cm/s ，∴此时x＝s；
②如图，若EF＝BE，则∠B＝∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠AED＝45°
∴∠ADE＝90°，∴AE＝3，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x＝3s；
第11题（3）②图
第11题（3）③图










③如图，若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，∴∠ADE＝∠AED
∴AE＝AD＝3，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x＝3s；
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为s或3s或3s．
（注：求对一个结论得2分，求对两个结论得4分，求对三个结论得5分）
23．（南京市鼓楼区中考一模）（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4．点M是AC上动点（与点A不重合），设AM＝x，过点M作AC的垂线，交直线AB于点N．
（1）当△AND的面积为时，求x的值；
（2）以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由．





答案：（本题10分）
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∠B＝90°，∴tan∠BAC＝＝．
∴tan∠BAC＝．∵∠BAC是锐角，∴∠BAC＝30°．
在Rt△AMN中，AM＝x，∠AMN＝90°，
∴MN＝AM·tan∠BAC＝x，AN＝＝．………………………2分
∴S△ADN＝·AD·AN＝·4·＝．∴x＝2． ………………………3分
（2）设DN交AC于点E．
当点E、M重合时，x＝AM=×4=2 ………………………4分
①当0＜x＜2时，点M在△ADN的内部．
过D作DF⊥AC，垂足为F．
∴DF＝AD·sin60°＝4×＝2．
∵S△AMN＝×x×x＝x2，S△ADN＝×4×x＝x，
S△ADM＝× x×2＝x，
∴S△DMN＝S△ADN－S△AMN－S△ADM＝x－x2－x＝x－x2．
设S△DMN＝S矩形ABCD，x－x2＝×4×4＝2，2x－x2＝12．
∴x2－2x＋12＝0．∵ (－2)2－4×1×12＜0，∴该方程无实数根． ………6分
②当2＜x≤8时，点M在△ADN的外部．
∴S△DMN＝S△AMN＋S△ADM －S△ADN＝x2＋x－x＝x2－x．
设S△DMN＝S矩形ABCD，x2－x＝2， x2－2x＝12．
∴x2－2x－12＝0．∴x1＝1－＜0，舍去，x2＝1＋．
∵3＜＜4，∴4＜1＋＜5．
∴x＝1＋满足条件．
∴当S△DMN＝S矩形ABCD时，x＝1＋．…………………………………10分


24、（朝阳区一模） 已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
图②
图①


考查内容: 综合型问题
答案：(1)BD=BM. ……………………………………………………………………………2分
(2)结论成立.
证明:连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC.………………………………… 3分
∴DM=FM, DE=FC.
∴AD=ED=FC.
作AN⊥EC于点N.
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4分
∵CF∥ED，∴∠1=∠FCM.
∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.
∴△BCF≌△BAD. …………………………………………………………………………5分
∴BF=BD，∠5=∠6.
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.
∴△DBF是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6分
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形.
∴BD=BM. ……………………………………………………………………………… 7分

25、(海淀一模) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．
求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．












考查内容:
答案：
（1）k=1； ……………………….……………………………2分
（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.
由题意，tan∠BAC=，
∴ .
∵ D、E、B三点共线，
∴ AE⊥DB.
∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,
∴ ∠QBC=∠EAQ.
∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴ ∠ECA=∠BCG.
∴ .
∴ .
∴ GB=DE.
∵ F是BD中点，
∴ F是EG中点.
在中，,
∴ . .…………………………….……………………………5分
（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，
∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,
∴AC=12，AB=.
∵M为AB中点，∴CM=,
∵AD=，
∴AD=.
∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM== 2.

∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=.
.…………………………….……………………………6分
情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，
连结MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为.
………….……………………………7分
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.
.………….……………………………8分
26、(海淀一模) 已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线与直线的一个公共点为.
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；
（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.












考查内容:
答案：（1）由题意，可得及，解得，
所以，抛物线的解析式为，直线的解析式为. …………………………2分
（2）设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，则

所以，当时，的长度取得最大值为4. ………………………………4分
（3）易知点M的坐标为（1，-1）.过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为.因为点M在直线上，解得b =3,即直线MN的方程为，将其代入，可得

即
解得 ，
易得 ，
所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3,3）. …………5分
如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，
显然四边形MNHG是平行四边形.可得点G（1,2），H（3,6）.



所以，梯形AOMN的面积. ……………………7分

27、(怀柔一模) 如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.
（1）求的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 过C2顶点Ｍ的
直线记为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为
(1, 2)，求点N的横坐标；
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.

(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)
考查内容：
答案：
解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，
∴ 把点A坐标代入得 =1 ……………………………………（2分）
∴ 抛物线C1的解析式为
设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) …………………………（3分）
（2）①如图1:
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，
∴ ME＝4. ………………………………（4分）
设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ , ∴ …………（5分））
∴ 点N的横坐标为．
② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，
直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．
过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,
设Ｎ（x，0）
∵ A (2, 4) ∴ G (, 2)
∴ NQ= ＮF = GQ=2 MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF
∴
∴
∴ . ………………………………………………………（7分）
当点D移到与点B重合时,如图3
直线与DG交于点D,即点B
此时点N的横坐标最小.
∵ B(－2, －4) ∴ H(－2, 0), D(－2, －4)
设N（x，0）
∵ △BHN∽△MFN， ∴
∴ ∴


∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤………………………………（8分）
(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)


28、(广东化州二模) （本小题满分12分）
如图在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2厘米，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上．抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A ，B和点 D(4， )
　(1)求抛物线的解析式；
　 (2)如果点P由点A开始沿AB边以2厘米/秒的速度向点B移动，同时点Q由B点开始沿BC边以1厘米/秒的速度向点C移动．若P、Q中有一点到达终点，则另一点也停止运动，设P、Q两点移动的时间为t秒，S=PQ2(厘米2)
　　 写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围，当t为何值时，S最小；
　(3)当s取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
　(4)在抛物线的对称轴上求出点M，使得M到D，A距离之差最大？写出点M的坐标．

考查内容：
答案：(1) ………………2分
(2)S=PQ2=5t2－8t＋4(0≤t≤1)，当时，S最小 ………………5分
　　(3)若以BQ为一条对角线，四边形PBRQ为平行四边形，
　　时，，在中，
　　当时，．
　　∴R在抛物线上．
　　若PB为对角线，当时，
　　在中，当时，，
　　∴不在抛物线上，
综上可知，抛物线上存在
使以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形． ………10分
　　(4)M(1，) ………………12分
29、(黄冈张榜中学模拟) （满分11分）“低碳生活”作为一种健康、环保、安全的生活方式，受到越来越多人的关注。某公司生产的健身自行车在市场上受到普遍欢迎，在国内市场和国外市场畅销，生产的产品可以全部售出。该公司的生产能力为10万辆，在国内市场每台的利润（元）与销量x（万台）的关系如图所示；在国外市场每台的利润(元)与销量x（万台）的关系为
.
（1） 求国内市场的销售总利润z（万元）关于销售量x（万台）的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2） 求该公司每的总利润w（万元）关于国内市场的销量x（万台）的函数关系式，并帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为多少万台时，公司的利润最大？






考查内容：
答案：解：（1）由图知：
则
(2)该公司在国外市场的利润
该公司的生产能力为10万辆，在国内市场销售t万辆时，在国外市场销售(10－t)万辆，则，

＝
设该公司每的总利润为w（万元），则

＝
当0≤t≤4时，w随t的增大而增大，当t＝4时，w取最大值，此时w＝2680.
当4≤t≤10时，当t＝时，w取最大值，此时w＝.
综合得：当t＝时，w的最大值为。此时，国内的销量为万辆，国外市场销量为万辆，总利润为万元。
30、(平顶山二模) （11分）如图1，已知抛物线经过原点0和x轴上另一个点E,顶点M的坐标是（2，4）; 矩形ABCD的顶点A与点0重合，AD、AB分别在x轴和y轴上，且AD=2 ，AB=3.
（1）求该抛物线所参应的函数表达式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2）.
①当t=时，判断点P时否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的图形面积为S，试部S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

考查内容:
答案：
解:(1)所求抛物线的顶点坐标为(2,4),故可设其函数表达式为y=a(x-2)2+4 ……1分
又抛物线过点(0,0),得0=a(0-2)2+4,解得:a= -1
所以,该抛物线的函数表达式为: y=-(x-2)2+4即y=-x2+4x. ………………3分
(2)①点P不在直线ME上. ………………4分
由抛物线的对称性可知:点E的坐标为(4,0).
又点M的坐标为(2,4),设直线ME的表达式为y=kx+b,则有
,所以直线ME的表达式为y=-2x+8. ………………6分
由已知条件可知,当t=时,OA=AP=∴点P的坐标为(,).
∵点P的坐标不满足直线ME的函数表达式y=-2x+8,
∴点P不在直线ME上. ………………7分
②S存在最大值,理由如下: ………8分
由题意可知: OA=AP=t,又∵点A在x轴的非负半轴上,点N在抛物线y=-x2+4x上,
∴点P与点N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t), ∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),
∴PN=AN-AP=-t2+4t-t=-t2+3t.
(i)当PN=0即t=0或t=3时,以点P、N、C、D为顶点的图形是三角形,此三角形的高是AD,底边为CD, ∴S=. ………………9分
(ii)当PN≠0时, 以点P、N、C、D为顶点的图形是四边形.
∵PN∥CD,AD⊥CD
∴.
所以当t=时,S最大值=.
所以,当t=时,以点P、N、C、D为顶点的图形面积有最大值,其最大值为.………11分
31、 (黄冈张榜中学模拟) (满分14分) 如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
1、 求直线AC的解析式；
2、 设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
3、 在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。
直接写出所有满足条件的M点的坐标；
4、 过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的
长度是否发生改变，请说明理由。




考查内容：
答案：
解：(1)
(2)
(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）。
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H。
由AP＝t，可得AE＝.
由可得GH＝，所以GC＝GH＝.
于是，GE＝AC－AE－GC＝＝。即GE的长度不变。
当2＜t≤4时，同理可证。
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值。
32、(宁波江北模拟) （12分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM = x，OA=R，求R关于x 的函数关系式；
（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由。




考查内容：
答案：
.解（1）∵MN切⊙O于点M，∴ ……………………………… 1分
∵
∴ …………………………… 2分
又∵∴△∽△， ……3分
（2）在Rt△中，，设；
∴， ……………………… 4分
由勾股定理得：，……………… 5分
∴，∴； ………………… 6分
（3）解法一：∵，又
且有△∽△， ∴， ∴代入得到； …………… 7分
同理，∴代入得到； ……………………………………9分
∴△CMN的周长为P=
． ………………………………………11分
在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．………… 12分
解法二：在Rt△中，，
设△的周长P′ =； …… 7分
而△∽△，且相似比；…………… 9分
∵，∴△的周长为P =．…… 11分
在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．…………12分

33、（徐汇区诊断卷） （本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）
在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F．
(1) 如图，当点F在线段DE上时，设BE，DF，试建立关于的函数关系式，
并写出自变量的取值范围；
(2) 当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求的值；
(3) 联接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求的值。











考查内容:
答案：(1) 过点作于点．
可得，； ……2分
在Rt△DEG中，
∴，即
∴(负值舍去) （ ）…………………2+1分
（2）设的中点，联结，过点作于点．
；
⊙与⊙外切时，，在中，，
∴化简并解得 ……………2分
⊙与⊙内切时， 在中，，
∴，化简并解得 ……………2分
综上所述，当⊙与⊙相切时，或．
（3）①时， 由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，
∴，即 …1分
在中，= …1分
当点F在线段DE上时，由=3，解得； …1分
当点F在线段DE延长线上时，由=3，解得；1分
②时，过点F作于点Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ
∴， ……………1分
=，（负值舍去）； ……………1分
综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，2、．
34、(天河区) （本小题满分14分）
在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，如图①，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连结DE.
（1）当DE=10时，求证：DE与圆O相切；
（2）求DE的最长距离和最短距离；
（3）如图②，建立平面直角坐标系，当DE =10时，试求直线DE的解析式.





第25题


考查内容：
答案：（1）证明：连结，由题意得，------------1分
，，为公共边
∴
∴-------------------2分
（利用勾股定理逆定理相应给分）
∴
∴与圆相切.-------------------3分

（2）当点运动到与点重合的位置时，
为正方形的对角线，所以此时最长，有：
-----------------4分
当点运动到线段与半圆的交点处时，最短.
-----------------5分
证明如下：
在半圆上任取一个不与点重合的点，连结，.
在中，∵ 即：，
∵ ∴
∵点是任意一个不与点重合的点，∴此时最短. -----------------6分
∴-----------------7分

（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；
-----------------8分
当点E与点A不重合时，过点E作GH ⊥轴，分别交，轴于点，，连结.
则四边形是矩形，且为圆的切线
∴=90°
∴-----------------------9分
又∵
∴∽
∴----------------------10分
设，则有：，
得：，-----------------------11分
解得：， 即：----------------12分
又直线DE过点D(10,10),设直线解析式为，则有：，
解得：，即：
∴当时，直线的解析式为或-----------------------14分

以下两种解法涉及高中知识，仅供参考：
另解2:
（1）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；
（2）当点E与点A不重合时，，

设直线且经过点（10，10），代入求得
所以直线DE的解析式为

另解3:
依题意得:点O的坐标为(0,5),设直线DE的解析式为
由点到直线的距离公式得: ,即 ①
直线DE过点D(10,10),得 ②
由①②解得：，解得
所以直线DE的解析式为
35、 (天河区) （本小题满分14分）
如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为
（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标. （其中点E和点A，点C和点B分别是对应点）
考查内容：
答案：
解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. …………1分
故双曲线的函数表达式为.…………2分
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，
则有 解得，.…………3分
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，…………4分
故，整理得，…………5分
解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．…………6分
因为点A，B都在抛物线（a0）上，
所以 解得 …………7分
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.…………9分
（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，
这时点（8，）是符合条件的点. …………12分
（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）. …………14分
思考：如果不写对应，是否还有点？




36.（从化市综合测试）如图10，△ABC是等腰直角三角形，AB=，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连结AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连结DE，设BD=．
（1）求证∠DCE=90°；
（2）当△DCE的面积为1.5时，求的值；
（3）试问：△DCE的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，并指出此时的取值，若不存在，请说明理由．








解：（1） ∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE
∴△ACE≌△ABD
∴
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC为斜边
∴
∴
即：∠DCE=90°
（2）∵ AC=AB=，
∴ BC2=AC2+AB2=，
∴ BC=4.
∵ △ACE≌△ABD, ∠DCE=90°
∴ CE=BD=x，而BC=4，∴ DC=4-x，
∴ Rt△DCE的面积为：DC·CE=(4-x)x.
∴ (4-x)x=1.5
即x2-4x+3=0. 解得x=1或x=3.
（3） △DCE存在最大值.
理由如下：
设△DCE的面积为y，于是得y与x的函数关系式为：
y=(4-x)x (0＜x＜4)
=-(x-2)2+2
∵ a=-＜0, ∴ 当x=2时，函数y有最大值2.
又∵ x满足关系式0＜x＜4，
故当x=2时，△DCE的最大面积为2.

37.（广州综合测试一）已知与是反比例函数图象上的两个点．
（1）求的值；
（2）已知点，判断在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，
求出点的坐标；若不存在，请说明理由．



答案：（1）由，得，因此
．
（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．
由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．
当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，
故不符题意．
当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，
过点分别作轴，轴的平行线，交于点．
由于，设，则，，
由点，得点．
因此，
解之得（舍去），因此点．
此时，与的长度不等，故四边形是梯形． 9分













如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．
点的坐标分别为，由勾股定理可得．
因此，从而．作轴，为垂足，
则，设，则，
由点，得点，
因此．
解之得（舍去），因此点．
此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．
如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，
同理可得，点，四边形是梯形．
综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．

（2）另解：
（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．
由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．
当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，
故不符题意．
当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，
∵C(－1,0),B(∴直线BC为
∵AD∥BC
∴设AD为，把A（代入得
∴AD为
由 得：
∴点
此时，与的长度不等，故四边形是梯形．
38. 如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．
⑴ 写出B、C、D点的坐标；（不用写出计算过程）
⑵ 若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式；
⑶ 若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P且∠OMN＝30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线顶点？说明理由。


答案:



（1） ----------6分
(2) 把 分别代入得
解方程组得
∴ （3）连结AP
AP= 在Rt△APM中
∵∠OMN＝30°∴AM= ∴M点坐标为
∴ON=5 N点坐标为
直线MN的解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为
当时
∴直线MN经过抛物线的顶点坐标。




B组
46.综合型问题

1. （广东化州市文楼镇中考模拟一）抛物线的一部分图象如图
设该抛物线与x轴的交点为A（-5,0）和B与y轴的交点为C，若⊿ACO∽⊿CBO
则∠CAB的正切值为（ ）
x
O
（第1题图 ）

A． B． C． D．
答案：C

2. （河南油田模拟一）（10分）近来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度成直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?

解：（1）因为爆炸前浓度成直线型增加，
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知过点（0，4）与（7，46）
∴. 解得,
∴,此时自变量的取值范围是0≤≤7.
(不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中) …………………………3分
因为爆炸后浓度成反比例下降，
所以可设y与x的函数关系式为.
由图象知过点（7,46），
∴. ∴,
∴，此时自变量的取值范围是＞7. …………………………6分
（2）当=34时，由得,6+4=34，=5 .
∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h). …………………………8分
(3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井. …………………………10分

3. （北京丰台区统一练习）已知：如图，在□ EFGH中，点F的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°．
（1）求点H的坐标;
（2）抛物线经过点E、G、H,现将向左平移使之经过点F，得到抛物线,求抛物线的解析式；
（3）若抛物线与y轴交于点A，点P在抛物线的对称轴上运动．请问：是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


解：（1）∵在□ABCD中
∴EH=FG=2 ，G（0，－1）即OG=1………………………1’
∵∠EFG=45°
∴在Rt△HOG中，∠EHG=45°
可得OH=1
∴H（1，0）……………………………………………………2’
（2）∵OE=EH-OH=1
∴E（－1，0），
设抛物线解析式为=+bx+c
∴代入E、G、H三点，
∴=1 ，b=0,，c=－1
∴=－1……………………………………………………3’
依题意得，点F为顶点，∴过F点的抛物线解析式是=－1…………………4’




（3）∵抛物线与y轴交于点A ∴A（0，3），∴AG=4
情况1：AP=AG=4
过点A 作AB⊥对称轴于B
∴AB=2
在Rt△PAB中，BP=
∴(-2,3+)或(-2,3-) ……………………………6’
情况2：PG=AG=4
同理可得：(-2,-1+)或(-2,-1-)…………………8’
∴P点坐标为 (-2,3+)或 (-2,3-)或(-2,-1+)或(-2,-1-).

4. (白云区初中毕业班综合测试)已知关于x的二次函数y＝．
图11
（１）若关于x的一元二次方程的两根的平方和等于９，求k的值，并在直角坐标系（图11）中画出函数y＝的大致图象；
答案

（２）在（１）的条件下，设这个二次函数的图象与x轴从左至右交于Ａ、Ｂ两点．问函数对称轴右边的图象上，是否存在点Ｍ，使锐角△ＡＭＢ的面积等于３．若存在，请求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由；
答案

（３）在（１）、（２）条件下，若Ｐ点是二次函图象上的点，且∠ＰＡＭ＝９０°，求△ＡＰＭ的面积．

答案

（１）∵所给一元二次方程有解，∴根的判别式⊿≥０，………………１分
即≥０，解得k≤；…………………………………２分
设方程的两个根分别为x１、x２，………………………………………………３分
则＝９，即＝９，………………………………４分
又x１＋x２＝－（２k－１），x１·x２＝，………………………………５分
分别代入上式，解得k１＝－１或k２＝３，
∵k≤，∴k＝－１．…………………………………………………………６分
代入函数式中，得y＝，………………………………………………７分
配方可得y＝，
即抛物线的对称轴为x＝，顶点坐标为Ｄ（，－），
大致图象如下（见下图）；




……………………８分






（２）由（１），令y＝０，得＝０，解得x１＝０,x２＝３，
∴Ａ（０，０），Ｂ（３，０）．
这样的点存在．…………………………………………………………………９分
其坐标为Ｍ（２，－２）．……………………………………………………１０分
设Ｍ（xm，ym），而△ＡＭＢ是锐角三角形，故＜xm＜３，
∴ym＜０．故有Ｓ△ＡＭＢ＝＝＝３，
∴＝２，ym＝±２，舍去正值，∴ym＝－２，
当ym＝－２时，＝－２，解得xm＝１或xm＝２，
∵＜xm＜３，∴xm＝１舍去，而＜２＜３，
∴xm＝２满足条件，……………………………………………………………１１分
∴这样的点存在，其坐标为Ｍ（２，－２）；
（３）∵Ｍ（２，－２），∴∠ＭＡＢ＝４５°，∴∠ＢＡＰ＝４５°，
∴ＡＰ所在直线的解析式为：y＝x，
∵Ｐ也在抛物线上，∴，
解得x１＝０（舍去），x２＝４，此时y＝４，
∴Ｐ（４，４），可求得线段ＡＰ长＝４，线段ＡＭ长＝２，
∴Ｓ△ＡＭＰ＝＝８．
……………………………１４分
B
A











5. 抛物线，a＞0，c＜0，．
（1）求证：；
（2）抛物线经过点，Q．
① 判断的符号；
② 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），请说明，．


解：（1），令得，
∴或∴；………………………1′
在中，令得即；………………2′
由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由得或
即且易求出顶点坐标为……………………………………3′
于是，，顶点坐标为。…………………4′
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得；……………………6′
（3）设点P运动秒，则，，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故
∴∴…………………9′
又点Q到直线PF的距离，∴，
于是△PQF的面积总为90。…………………………10′
（4）由上知，，。构造直角三角形后易得
，
……………11′
① 若FP=PQ，即，故，
∵∴∴……………………12′
② 若QP=QF，即，无的满足条件；……………13′
③ 若PQ=PF，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程；………………………14′
综上所述：当时，△PQR是等腰三角形。…………………………14′



6. (浙江嵊州新昌中考数学模拟试题)如图，二次函数的图象与轴交于A,B两点(点在点左侧)，顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E 作轴的平行线，交的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形，设正方形与重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；（2）求当点在边上，在边上时的值；（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．









备用图1
备用图2




答案


（1）=,顶点C的坐标为（） 2分
=，故点(1,0)(4,0)
C
设AC直线为，得，解得 3分
（2）可求得BC直线为,当在边上，在边上时
点E坐标为（）,点F坐标为（）
得EF=,
而EF=FG, 2分
方法一：因为抛物线的对称轴和等腰三角形的对称轴重合
所以FG=
=
解得 3分
方法二：抽取如图三角形，设正方形边长为，
图1
从∽得，得， 2分
即,得 1分
（3）点E坐标为（）随着正方形的移动，
重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：
② 点F在BC上时，如图1重叠部分是,
此时时，点F坐标为（）
1分
②点F在AC上时，点F坐标为（）又可分三种情况:
Ⅰ.如图2，时重叠部分是直角梯形EFKB,此时
1分


Ⅱ.如图3，,点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH.
此时，，
点H坐标为（），点M坐标为（）

,,
=()
= (如果不化成一般式不扣分)1分


Ⅲ.如图4, 点G在BC上或BC上方时, 重叠部分是正方形EFGH,
此时
1分
直接分类给出表达式不扣分.







7（北京平谷区一模）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．
（1）如图①，若直线，上有一动点，当点的坐标为　　　　时，有；
（2）如图②，若直线与不平行，
在过点的直线上是否存在点
，使，若有这样的点，
求出它的坐标．若没有，请简要说明理由.
答案 ．解：（1）……………………………………………………………………….2分
（2）设，
连接，过作于，
于，……………………………………3分
因为，
　　，
　　，新课标第一网
所以.
　　，
　　，．………………………………………………………………….4分
所以坐标或．………………………………………………………....5分
8.（从化综合）已知：如图11，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P(2，)．
（1）求点A的坐标和的值．
（2）请判断的形状并说明理由．
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形 EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求： S与t之间的函数关系式，并求当时对应S的值．　　　 　　　　　　　　


答案解：（1）∵直线 时，当时，
∴A的坐标为 ………2分
又∵点P的坐标为(2，) ，且在直线上
∴
解得： ………4分
（2）∵，
∴OA=4
做PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2
∵ tan∠POA=
∴ ∠POA=60° ………6分
∵ OP=
∴△POA是等边三角形． ………8分

D
（3）① 当0 在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t
∴EF=t，OF=t
∴S=·OF·EF= ………10分

当4 设EB与OP相交于点C
易知：CE=PE=t－4，AE=8－t
∴AF=4－，EF=(8－t)
∴OF=OA－AF=4－（4－t）=t
∴S=(CE+OF)·EF
=(t－4+t)×(8－t）
=－+4t－8 ………12分


S =

当时 ，∵
∴此时S =
= ………14分