备战2023年江苏连云港中考数学仿真卷（五）

备战2023年江苏连云港中考数学仿真卷（五）

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．（3分）的相反数是　　

A． B．5 C． D．

【答案】

【详解】的相反数是5．

故选：．

2．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】从正面看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．

故选：．

3．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【详解】、无法计算，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，正确；

、，故此选项错误；

故选：．

4．（3分）某班30名学生的身高情况如下表

关于身高的统计量中，不随、的变化而变化的有　　

A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数

【答案】

【详解】由题意得：，

所以众数为1.53，中位数也是1.53，

所以众数、中位数不会随着、的变化而变化，

故选：．

5．（3分）若，是两个连续的整数且，则　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】

【详解】，

，

，是两个连续的整数且，

，，

，

故选：．

6．（3分）过直线外一点作直线的平行线，下列尺规作图中错误的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【详解】、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．

、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点且与直线的平行直线，本选项不符合题意．

、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．

、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．

故选：．

7．（3分）定义新运算：☆，例如：2☆，则下列关于函数☆的说法正确的是　　

A．点在函数图象上 

B．图象经过一、三、四象限 

C．函数图象与轴的交点为 

D．点、在函数图象上，则

【答案】

【详解】☆，

☆．

．当时，，故本选项不符合题意；

．图象经过一、二、三象限，故本选项不符合题意；

．函数图象与轴的交点为，故本选项不符合题意；

．点、在函数图象上，则，故本选项符合题意；

故选：．

8．（3分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点在以为圆心，1为半径的上，是的中点，已知长的最大值为，则的值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】连接，

由对称性得：，

是的中点，

，

长的最大值为，

长的最大值为，

如图，当过圆心时，最长，过作轴于，

，

，

在直线上，

设，则，，

在中，由勾股定理得：，

，

（舍或，

，，

点在反比例函数的图象上，

；

故选：．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．（3分）64的平方根是　　．

【答案】

【详解】，

的平方根是．

故答案为：．

10．（3分）使分式有意义的的取值范围是 　　．

【答案】

【详解】分式有意义，则，

解得．

故答案为：．

11．（3分）因式分解：　　．

【答案】

【详解】

，

故答案为：．

12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是、、，则顶点的坐标是 　　．

【答案】

【详解】四边形是平行四边形，

，，，，

的顶点、、的坐标分别是、、，

轴，，

顶点的坐标为．

故答案为：．

13．（3分）小红用图中所示的扇形纸片制作一个圆锥形容器（接缝忽略不计）的侧面，已知扇形纸片的半径为，圆心角为，那么这个圆锥形容器底面半径为 　　．

【答案】

【详解】，

设圆锥的店面半径为，则母线长，

根据题意可得，

，

，

解得：．

故答案为：

14．（3分）某景点的“喷水巨龙”口中处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，，垂足为．已知，，则该水流距水平面的最大高度为 　　．

【答案】9

【详解】根据题意，设抛物线解析式为，

将点、代入，得：，

解得，

抛物线解析式为，

所以当时，，即，

故答案为：9．

15．（3分）若二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是 　　．

【答案】

【详解】，

对称轴为直线，

二次函数的图象不经过第三象限，

，，

解得．

故答案为：．

16．（3分）如图，在矩形和中，，，，将绕着点顺时针旋转，连接，，当最大时，的面积为 　　．

【答案】

【详解】如图，以为圆心，长为半径构造．

作为．

最大时，与相切，即，

，

，

，

，，，

，

，

，

，

的面积为：，

故答案为：．

三．解答题（共11小题，满分102分）

17．（6分）计算：．

【答案】

【详解】原式

．

18．（6分）解不等式组：．

【答案】

【详解】，

由①得：，

由②得：，

不等式组的解集为．

19．（6分）解方程：．

【答案】

【详解】 方程的两边都乘以，得

．

解得，

经检验：是原分式方程的解 ．

20．（8分）为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

（1）请补全频数分布直方图．

（2）求表示户外活动时间0.5小时的扇形圆心角的度数．

（3）本次调查中，学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？试通过计算说明．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）户外活动的平均时间符合要求

【详解】（1）调查人数（人；户外活动时间为1.5小时的人数（人；

补全频数分布直方图如图所示，

（2）户外活动时间0.5小时的扇形圆心角为；

（3）．

，

户外活动的平均时间符合要求．

21．（10分）如图，高铁车厢一排有5个座位，其中座、座靠窗，座、座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的．

（1）甲的座位靠窗的概率是 　　；

（2）求甲、乙两人座位相邻（座位、不算相邻）的概率．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）甲的座位靠窗的概率是，

故答案为：；

（2）根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种，

甲、乙两人座位相邻的概率为．

22．（10分）如图，在中，平分且交于点，连接，，，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）连接交于点，求的面积．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：平分，

，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

，

，，

，

是以的直角三角形，

，

四边形是矩形；

（2）解：四边形是平行四边形，

，，

，

，

的面积．

23．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在中，和分别为外接圆和内切圆的半径，和分别为其外心和内心，则．下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）

延长交于点，过点作的直径，连接，．

，（同弧所对的圆周角相等），

．，①

如图②，在图1（隐去，的基础上作的直径，连接，，，

是的直径，．

与相切于点，，

．

（同弧所对圆周角相等），

．

，②

由（2）知：

又

，

任务：（1）观察发现：，　　（用含，的代数式表示）；

（2）请判断和的数量关系，并说明理由．（请利用图1证明）

（3）应用：若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为　　．

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）、、三点共线，

故答案为：；

（2）

理由如下：

如图1，连接，

点是的内心

，

，，

（3）题干结论可得：；将，代入得：

，

，

故答案为：．

24．（10分）如图，某工程队从处沿正北方向铺设了184米轨道到达处．某同学在博物馆测得处在博物馆的南偏东方向，处在博物馆的东南方向．（参考数据：，，，．

（1）请计算博物馆到处的距离；（结果保留根号）

（2）博物馆周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到处时，只需沿北偏东的方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）

【答案】（1）博物馆到处的距离约为米；（2）博物馆周围至少225米内不能铺设轨道

【详解】（1）如图1，过点作于点，

在中，，

是等腰直角三角形，

，

设米，则米，

在中，，，

米，

米，

，

解得：，

（米，

答：博物馆到处的距离约为米；

（2）如图2，过点作于点，

由题意得：，，

，

由（1）可知，米，

在中，（米，

答：博物馆周围至少225米内不能铺设轨道．

25．（10分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有、两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中轴表示一次性购票人数，轴表示每张票的价格，如：一次性购买场比赛门票10张，票价为400元张，若一次性购买场比赛门票80张，则每张票价为200元．

（1）若一次性购买场比赛门票10张，则每张票价为 　　元（直接写出结果）．

（2）若一次性购买场比赛门票张，需支付门票费用多少元？（用的代数式表示）

（3）该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看、两场比赛，共花费32160元，若观看场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了场比赛？

【答案】（1）420；（2）；（3）有99人或72人观看了比赛

【详解】（1）当时，设一次性购买场门票张，每张票价为元，

设解析式为，

将点和代入，

得，

解得，

，

当时，．

故答案为：420．

（2）当一次性购买场比赛门票张，设每张票价为元，

设，

将点，代入，

得，

解得，

，

一次性购买场比赛门票张，需支付门票费用为：．

（3）设有人观看了场比赛，

观看场比赛的人数不足50人，总共有120人，

观看场比赛的人数大于70人，

观看场比赛的每张票240元．

①当观看场比赛的人数小于等于30的时候，每张票400元，

，

解得．

②当观看场比赛的人数大于30小于50的时候，每张票元，

，

解得或（舍去），

综上，有99人或72人观看了比赛．

26．（12分）如图，平面直角坐标系中，二次函数图象交轴于点、，交轴于点，图象对称轴交轴于点．点是线段上一动点，从向运动，是射线上一点．

（1）直接写出、两点的坐标：　　，　　；

（2）求直线的函数表达式；

（3）如图①，在点运动过程中，若中有一个内角等于，求的长；

（4）如图②，点在二次函数图象上，在点开始运动的同时，点在抛物线对称轴上从点向上运动，点运动速度是点运动速度的2倍，连接，则的最小值为 　　．

【答案】（1），0，2，0；（2）；（3）的长度为或3；（4）

【详解】（1）在中，令得：

，

解得或，

，，

故答案为：，0，2，0；

（2）在中，令得，

，

设直线的函数表达式为，将代入得：

，

解得，

直线的函数表达式为；

（3），，，

，，，

①若，如图：

则，

，

又，

，

，即，

，

，

，；

；

②若，过作于，如图：

，

，

，

，

，

，即，

，

，

，

综上所述，的长度为或3；

（4）抛物线的对称轴为直线，

设，则，

，，

又，，

，，

，

作、，如图：

则，

当、、共线时，取最小值，最小值为的长度，

由勾股定理得，

的最小值为，

故答案为：．

27．（14分）问题提出

（1）如图1，点为线段外一动点，且，，填空：当点位于　的延长线上　时，线段的长取得最大值，且最大值为　　（用含，的式子表示）．

问题探究

（2）点为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，，找出图中与相等的线段，请说明理由，并直接写出线段长的最大值．

问题解决：

（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点的坐标．

②如图4，在四边形中，，，，若对角线于点，请直接写出对角线的最大值．

【答案】（1）的延长线上，；（2）①见解析，②9；（3）①，，；②

【详解】（1）点为线段外一动点，且，，

当点位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为，

故答案为：的延长线上，；

（2）①，

理由：与是等边三角形，

，，，

，

即，

在与中，

，

，

；

②线段长的最大值线段的最大值，

由（1）知，当线段的长取得最大值时，点在的延长线上，

最大值为；

（3）①如图1，连接，

将绕着点顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形，

，，

的坐标为，点的坐标为，

，，

，

线段长的最大值线段长的最大值，

当在线段的延长线时，线段取得最大值，

最大值，

，

最大值为；

如图2，过作轴于，

是等腰直角三角形，

，

，

，．

②如图4中，以为边作等边三角形，

，

，，，

，

，

欲求的最大值，只要求出的最大值即可，

定值，，

点在以为直径的上运动，

由图象可知，当点在上方，时，的值最大，最大值，

的最大值为．

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