上海黄浦区2019-2021年中考数学一模试题按知识点分层-01函数（基础题）

上海黄浦区2019-2021年中考数学一模试题按知识点分层-01函数（基础题）

一、单选题

1．（2021·上海黄浦·统考一模）抛物线不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（2021·上海黄浦·统考一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（    ）

A．-1 B．3 C．4 D．0

3．（2021·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）下列函数中，属于二次函数的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）将抛物线向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·上海黄浦·统考一模）把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（   ）

A． B．

C． D．

6．（2020·上海黄浦·统考一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x1，x2(0＜x1＜x2＜4)时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是(　　)

A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4

二、填空题

7．（2021·上海黄浦·统考一模）已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．

8．（2021·上海黄浦·统考一模）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是________．（不必写定义域）

9．（2021·上海黄浦·统考一模）如果抛物线的顶点为，那么该抛物线的顶点坐标是________．

10．（2021·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）如果抛物线经过点，那么的值是______．

11．（2021·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是________．

12．（2021·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）如果抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线________．

13．（2021·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）沿着轴正方向看，抛物线在轴左侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）．

14．（2020·上海黄浦·统考一模）如果抛物线经过原点，那么的值等于________．

三、解答题

15．（2021·上海黄浦·统考一模）将二次函数的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的．

16．（2021·上海黄浦·统考一模）如图，平面直角坐标系内直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点．

（1）求直线的表达式：

（2）若抛物线经过点C，且其顶点位于线段上（不含端点O、A）．

①用含b的代数式表示a，并写出的取值范围；

②设该抛物线与直线在第一象限内的交点为点D，试问：与能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．

17．（2021·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）已知二次函数的解析式为．

（1）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式；

（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像．

18．（2021·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点（-1，0）、（3，0）、（0，3），抛物线经过、两点．

（1）当该抛物线经过点时，求该抛物线的表达式；

（2）在（1）题的条件下，点为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点的坐标；

（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．

19．（2020·上海黄浦·统考一模）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．

20．（2020·上海黄浦·统考一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．

参考答案：

1．B

【分析】求出抛物线的图象和x轴、y轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．

【详解】解：＝，

即抛物线的顶点坐标是（2，1），在第一象限；

当y＝0时，＝0，

解得：x1＝1，x2＝3

即抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），都在x轴的正半轴上，

当x=0时，y=-3

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3）

∵a＝-1＜0，

∴抛物线的图象的开口向下，

大致画出图象如下：

即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限，

故选：B．

【点睛】本题考查了求函数图象与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x轴交点坐标就要令y=0、求与y轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式．

2．D

【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论．

【详解】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）

∴抛物线的对称轴为直线x==1

而

∴x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0

∴这个被蘸上了墨水的函数值是0

故选D．

【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．

3．C

【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0），a，b，c是常数的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c为常数项，x为自变量，y为因变量，据此解题．

【详解】A．右边不是整式，不是二次函数，故A错误；

B． 右边是二次根式，不是整式，不是二次函数，故B错误；

C．是二次函数，故C正确；

D．是一次函数，故D错误，

故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

4．D

【分析】先利用顶点式得到抛物线的顶点坐标为（0，-3），再利用点平移的坐标规律得到点（0，-3）平移后所得对应点的坐标为（2，-3），然后利用顶点式写出平移后得到的抛物线的解析式．

【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为（0，-3），

∴向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（2，-3），

∴新抛物线表达式是．

故答案为：D．

【点睛】本题考查了二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点，用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数．

5．B

【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．

【详解】抛物线向上平移1个单位，可得，再向右平移1个单位得到的抛物线是．

故选B．

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k (a，b，c为常数，a≠0)，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．

6．C

【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．

【详解】

解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），

∴x0＞4，

∴对称轴为x=m中2＜m＜4，

故选C．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．

7．x=5

【分析】根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．

【详解】解：∵二次函数图像经过点和，

∴该二次函数图像的对称轴是直线x==5

故答案为：x=5．

【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．

8．

【分析】根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求出结论．

【详解】解：由题意可得：y==

故答案为：．

【点睛】此题考查的是求函数关系式，掌握环形面积=大圆面积－小圆面积是解题关键．

9．（-1，1）

【分析】根据抛物线顶点坐标公式即可列出方程组，从而求出b和c的值，即可求出结论．

【详解】解：根据题意可得：

解①，得b=-1

将b=-1代入②，解得：c=1

∴该抛物线的顶点坐标是（-1,1）

故答案为：（-1，1）．

【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点坐标公式是解题关键．

10．4

【分析】将点（2，0）代入抛物线解析式即可求得a的值．

【详解】解：∵抛物线经过点，

得：0=4-a．

解得，a=4，

故答案为：4．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，代入已知量即可求得未知量．

11．

【分析】根据二次函数有最高点，得出抛物线开口向下，即k+1＜0，即可得出答案．

【详解】解：∵抛物线有最高点，

∴抛物线开口向下，

∴k+1＜0，

∴，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．

12．

【分析】根据抛物线的对称性得对称轴为直线．

【详解】∵抛物线经过点和，

∴该抛物线的对称轴是直线，

故答案为：．

【点睛】此题考查抛物线的对称性，掌握抛物线的性质是解题的关键．

13．下降

【分析】画出函数图象，直观判断即可．

【详解】抛物线的图象如图所示：

可以看出，在y轴左侧部分下降，

故答案为：下降

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意画出正确图象是解决问题关键．

14．1

【分析】将点（0，0）代入抛物线方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．

【详解】解：根据题意，知

点（0，0）在抛物线上，

∴0＝m－1，

解得，m＝1；

故答案是：1．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题需知：二次函数图象上的点的坐标，都满足该二次函数的解析式．

15．，．

【分析】由二次函数的平移规律：左加右减，可得平移后的解析式，再画出两个函数的图像，利用图像可得答案．

【详解】解：把二次函数的图像向右平移3个单位可得：

，

，

又

函数图像的顶点坐标为：

而

函数图像的顶点坐标为：

函数与的图像如图示；

由图像可得：当时，函数的函数图像是上升的，而函数的函数图像是下降的．

【点睛】本题考查的是二次函数的图像的平移，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键．

16．（1）；（2）①，0＜＜1；②能，

【分析】（1）根据直线解析式分别求出点A和点B的坐标，然后根据中点求出点C的坐标，然后设直线AC的解析式为y=kx＋d，利用待定系数法即可求出结论；

（2）①将点C的坐标代入即可求出c的值，然后根据题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点，从而求出b和a的关系，然后根据其顶点位于线段上（不含端点O、A）即可求出的取值范围；

②根据题意，画图，设点D的坐标为（x，x＋4），利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式即可求出DC、DB和DA，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出点D的坐标，然后将点D的坐标代入抛物线解析式中即可求出结论．

【详解】解：（1）将y=0代入中，解得：x=-4；将x=0代入中，解得：y=4

∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4）

∵点C是线段的中点

∴点C的坐标为（0，2）

设直线AC的解析式为y=kx＋d

将点A和点C的坐标分别代入，得

解得：

∴直线AC的解析式为；

（2）①将点C的坐标代入中，得

∴抛物线解析式为

由题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点，

∴

∴

∴抛物线的解析式为，其对称轴为直线

∵其顶点位于线段上（不含端点O、A）

∴-4＜＜0

解得：0＜＜1；

②能，

如下图所示，连接DC

设点D的坐标为（x，x＋4），易知x＞0

∴DC=

DB=

DA=

由∠BDC=∠CDA，∠DBC和∠DCA为钝角，结合已知可得△BDC∽△CDA

∴

即

整理，得=

解得：x=1，

经检验x=1是方程的解，

∴点D的坐标为（1,5）

将点D的坐标代入中，得

解得：b1=，b2=

当b=时，则＜0，显然不符合0＜＜1，故舍去；

当b=时，则，满足0＜＜1；

∴抛物线的解析式为．

【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解题关键．

17．（1）；（2）见解析．

【分析】（1）直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式；

（2）列表、描点、连线，画出函数的图象即可．

【详解】解：（1）

∴；

（2）填表如下：

图像如下：

【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握配方法以及画二次函数图象的步骤是解题关键．

18．（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）将点（-1，0）、（3，0）、（0，3）代入抛物线，利用待定系数法即可求解；

（2）利用ASA可证明△AOC≌△EOB，得出E(0，-1)，利用待定系数法求出直线PB的解析式，根据P是直线与抛物线的交点，联立解析式即可求出P点的坐标；

（3）根据抛物线y=ax2+bx+c经过（-1，0）、（3，0），可得抛物线的对称轴为x=1，从而可表示出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，当x=1时，y=2，根据点D位于△BOC内部，列出关于a的不等式即可求解．

【详解】（1）将点A(−1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y=ax2+bx+c得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．

（2）如图：

∵B(3，0)、C(0，3)，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

当∠PBC=∠ACB时，则∠PBC-∠OBC=∠ACB-∠OCB，即∠PBO=∠ACO，

设PB交y轴于点E，

在△AOC和△EOB中，

∴△AOC≌△EOB（ASA），

∴OE=OA=1，

∴E(0，-1)，设PB的解析式为y=mx+n，

将B(3，0)，E(0，-1)代入得，解得，

∴直线PB的解析式为y=x-1，联立解析式，

解得：，，

∴P(−，)．

（3）如图，∵y=ax2+bx+c经过A(−1，0)、B(3，0)，

∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3，

∴对称轴为直线x=−=1，顶点D的坐标为（1，-4a），

∵B(3，0)、C(0，3)，

∴BC解析式为y=-x+3，

当x=1时，y=2，

∴当D位于△BOC内时0＜-4a＜2，

解得：＜a＜0，即a的取值范围是＜a＜0．

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，证得△AOC≌△EOB，从而得到E的坐标是解题的关键．

19．（1）y＝﹣2x2+3x+1;（2）（，）．

【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）利用配方法将所求的函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案．

【详解】解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得

解得

故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．

所以抛物线的顶点坐标是（，）．

【点睛】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．

20．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）

【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式；

（2）作CH⊥EF于H，设N的坐标为（1，n），证明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范围；

（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点H（﹣x1，y1），设直线HQ表达式为y＝ax+t，用待定系数法和韦达定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直线QH过定点（0，﹣2）．

【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，

把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，作CH⊥EF于H，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），

设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0

∵∠MNC＝90°，

∴∠CNH+∠MNF＝90°，

又∵∠CNH+∠NCH＝90°，

∴∠NCH＝∠MNF，

又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，

∴Rt△NCH∽△MNF，

∴，即

解得：m＝n2+3n+1＝，

∴当时，m最小值为；

当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．

∴m的取值范围是．

（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H，

∴H（﹣x1，y1），

∵y＝kx+2，y＝x2，

消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，

x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，

设直线HQ表达式为y＝ax+t，

将点Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得，

∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，

∴a＝x2﹣x1，

∵＝（ x2﹣x1）x2+t，

∴t＝﹣2，

∴直线HQ表达式为y＝（ x2﹣x1）x﹣2，

∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）．

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、（2）问通过相似三角形建立m与n的函数关系式是解题的关键．