2022合肥高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题含解析

合肥市2022年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）

（考试时间：120分钟  满分：150分）

注意事项：

1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.

2．答第1卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3．答第11卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.

4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.

第I卷     （满分60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.

C  D.

2. 设复数满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

3. 某市高三年级共有14000 人参加教学质量检测，学生的数学成绩近似服从正态分布（试卷满分150分），且，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（    ）

A. 2800 B. 4200 C. 5600 D. 7000

4. 考拉兹猜想是引人注目数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在世纪年代提出，其内容是：任意正整数，如果是奇数就乘加，如果是偶数就除以，如此循环，最终都能够得到．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入的值为，则输出的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设为第二象限角，若，则=（    ）

A.  B.

C.  D. 2

6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ）

A 8种 B. 14种 C. 20种 D. 116种

7. 函数（是自然对数的底数）的图象关于（    ）

A. 直线对称 B. 点对称

C. 直线对称 D. 点对称

8. 将函数的图象上各点横坐标缩短为原来（纵坐标不变）后，再向左平移个单位长度得到函数的图象，当时，的值域为（    ）

A  B.

C.  D.

9. 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（    ）

A.  B.

C. 5 D. 10

11. 在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，切点为（不重合），设直线分别与y轴交于点，则下列结论正确的个数是（    ）

①两点的横坐标之积为定值；

②直线的斜率为定值；

③线段的长度为定值；             

④面积的取值范围为.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第II卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．

13. 已知向量，，若、、三点共线，则_____．

14. 已知双曲线的右焦点为，为双曲线右支上一点，为坐标原点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________．

15. 已知的内角．，的对边分别为，，，若， ，则面积的取值范围为_________．

16. 在正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为__________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 记为数列的前项和，已知，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．

从①  ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.

18. 如图，在矩形中，，点为边的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，使得，连结，，．

（1）证明：平面平面;

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19. 通信编码信号利用信道传输，如图1，若信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．

华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家Erdal Arikan 教授的极化码技术（以两个相互独立的信道传输信号为例）：如图3，信号直接从信道2传输；信号在传输前先与 “异或”运算得到信号，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号或．

（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“”表示：，，，．“异或”运算性质：，则）．假设每个信道传输成功的概率均为．．

（1）在传统传输方案中，设“信号和均被成功接收”为事件，求：

（2）对于极化码技术：①求信号被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定的值）的概率；②若对输入信号赋值（如）作为已知信号，接收端只解码信号，求信号被成功解码的概率.

20. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，为椭圆上一动点， 面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点直线与椭圆的另一个交点为，为线段的中点，射线与椭圆交于点．点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．

21. 已知函数 ， 是的导函数.

（1）证明：函数只有一个极值点；

（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，证明： ．

请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与直线交于点，直线与曲线交于点，且，求实数的值．

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数的最小值为．

（1）求;

（2）已知，，为正数，且，求的最小值．