2022黄山高三下学期第二次质量检测理科数学试题含解析

黄山市2022届高中毕业班第二次质量检测

数学（理科）试题

满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.

4.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷（选择题  满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则的虚部为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 赵爽是我国古代著名数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为(    )

A  B.  C.  D.

6. 函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，需将函数的图象至少向右平移（    ）个单位长度.

A.  B.  C.  D.

7. 将三项式展开，得到下列等式：

广义杨辉三角形

第0行                  1

第1行              1   1   1

第2行          1   2   3   2   1

第3行       1  3   6   7   6   3   1

第4行    1  4  10  16  19  16  10  4   1

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第行共有个数.则关于的多项式的展开式中，项的系数（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知抛物线的准线为：，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于、两点，过作的垂线，垂足分别为，若，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知数列满足，设的前项和为，则的值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 1

11. 如图，长方体中，，设点是棱上的动点，在该长方体对角线上随机取一点，则成立的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题   满分90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）

13. 已知，，且向量与的夹角为，则向量的模为_________.

14. 已知不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则该三角形区域的面积为___________.

15. 圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线：的图象以直线为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与的交点到中心的距离为____________.

16. 设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）

17. 已知等差数列和等比数列满足，若数列的前项和为，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的前n项和.

18. 如图，侧面水平放置的正三棱台，，且侧棱长为.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）证明：函数有两个极值点.

20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设B，C是椭圆E上异于下端点A的两点，且|AB|=|AC|，若BC的中点为G，求点G的轨迹方程.

21. “红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.

（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的道“是非判断”题和道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；

（2）已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.

①问该班级成功晋级学生人数最有可能是多少？说明理由；

②求随机变量的方差.

22. 已知直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.

(1)若点直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；

(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.

23.

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.