高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题11.5   离散型随机变量的分布列

一. 离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量的分布列

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.

2. 分布列的两个性质

①，；②.

3．分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．

(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．

二. 常见离散型随机变量的分布列

 (1)两点分布：

若随机变量服从两点分布，即其分布列为

其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．

(2)超几何分布：

在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列.

(3)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．

【考点分类剖析】

考点一 ：  离散型随机变量分布列的性质

【典例1】（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量，则等于（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【答案】A

【分析】

利用或可求出结果.

【详解】

因为，

所以或.

故选：A

【典例2】（2020·陕西高二期末（理））离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（    ）

A． B． C．或 D．以上都不对

【答案】B

【解析】

由题可知：

故选：B

【典例3】（2020·防城港市防城中学高二期中（理））袋中装有一些大小相同的球，其中标号为号的球个，标号为号的球个，标号为号的球个，，标号为号的球个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______．

【答案】

【解析】

由题意可知，所有球的个数为，

由古典概型的概率公式可得，解得.

故答案为：.

【规律方法】

离散型随机变量的分布列的性质的应用

(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；

(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

【变式探究】

1. （2021·河南·高二期末（理））若随机变量的分布列如下表，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分布列的性质得到，，，再利用基本不等式求解.

【详解】

由分布列的性质，得，，，

所以，当且仅当时，等号成立，

故选：.

2.（2019·吉林高二期末（理））随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由，得.则，故选A.

3.（2020·广东高二期末）设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则（    ）

A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=

【答案】B

【解析】

因为a(1+2+3+4)=1，所以a=，

所以P(X>)=+，

P(X<4a)=P(X<)=，

E(X)=×+×+×+×.

故选：B.

【特别提醒】

1．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．

2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．

3.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．

考点二 ：　超几何分布

【典例4】（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三月考（理））为了解甲､乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲､乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素，的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素，满足且时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列.

【答案】（1）35；（2）14；（3）分布列见解析；

【分析】

（1）利用分层抽样的性质能求出乙厂生产的产品总数．

（2）样品中优等品的频率为，由此能求出乙厂生产的优等品的数量．

（3）由题意知的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数的分布列．

【详解】

解：（1）乙厂生产的产品总数为：

．

（2）样品中优等品的频率为，

乙厂生产的优等品的数量为．

（3）由题意知的可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

【典例5】（2020·浙江高三专题练习）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．

(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．

【答案】(1)；(2)

【解析】

 (1)所选3人中恰有一名男生的概率；

 (2) 的可能取值为0,1,2,3.

∴ξ的分布列为:

【规律方法】

1．随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．

2.超几何分布的两个特点

(1)超几何分布是不放回抽样问题．

(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．

3．超几何分布的应用条件及实质

(1)条件：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分布．

(2)实质：古典概型问题．

4．求超几何分布的分布列的步骤

第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；

第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列．

【变式探究】

1.（2019·淮北师范大学附属实验中学高二月考（理））箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和.

（1）若，求的值；

（2）当时，求的分布列.

【答案】（1）1；（2）分布列见解析.

【解析】

（1）由题意得：取出的个球都是白球时，随机变量

，即：，解得：

（2）由题意得：所有可能的取值为：

则；；；.

的分布列为：

2.（2019·周口市中英文学校高二期末（理））从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．

(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．

【答案】(1)；(2)

【解析】

 (1)所选3人中恰有一名男生的概率；

 (2) 的可能取值为0,1,2,3.

∴ξ的分布列为:

考点三：　离散型随机变量分布列的求法

【典例6】（2021·四川·石室中学高三开学考试（理））从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率.

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中无放回一次性任意抽取2件，用表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）设事件：“该批产品中任取1件是二等品”，解方程即得解；

（2）先求出二等品有件，再写出，1，2，求出对应的概率即得解.

【详解】

解：（1）事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，设事件：“该批产品中任取1件是二等品”

，所以，

所以从该批产品中任取1件是二等品的概率为.

（2）该批产品共100件，由（1）知二等品有件，

显然，1，2．故．．．

所以的分布列为

【典例7】（2021·全国·高二单元测试）随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．

（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；

（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．

【答案】（1）；（2）分布列见解析.

【分析】

（1）利用古典概型概率公式即求；

（2）由题知X的取值范围为，分别求概率，即得.

【详解】

（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则．

（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）

（2）X的取值范围为，

则，，．

所以总得分X的分布列为：

【总结提升】

1. 求分布列的三种方法

(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．

(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．

(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．

2. 求离散型随机变量分布列的步骤

(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；

(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；

(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．

【变式探究】

1. （2020·黑龙江实验中学（理））设离散型随机变量的分布列为

求：（1）的分布列；

（2）求的值.

【答案】（1）见解析；（2）0.7

【解析】

由分布列的性质知：，解得

（1）由题意可知

，，

，

所以的分布列为：

（2）

2. （2021·全国·高二课时练习）一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球.

（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；

（2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【分析】

（1）根据题意，利用古典概型的概率公式分别求出和 时的概率，再画出 的分布列即可；

（2）根据题意，利用古典概型的概率公式求出时的概率 , 再根据对立事件的概率公式求出时的概率，最后画出 的分布列即可.

【详解】

（1）X的分布列为

（2）∵P(X＝0)＝ ＝ ，

∴X的分布列为

【总结提升】

1.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路

(1)明确随机变量可能取哪些值．

(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．

(3)根据分布列和期望、方差公式求解．

注意　解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．

2.离散型随机变量分布列的求解步骤

(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．

(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．

(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．

(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确