高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题7.5   数列的综合应用

1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.

【详解】

设等差数列公差为d，等比数列公比为q，

由题意可得：

A. ,故A不正确；

B. ，故B正确；

C. ，故C不正确；

D. ，故D不正确.

故选：B

2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】

把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264 的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.

【详解】

设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，

由等差数列前n项和公式得：，

∴，

∵,∴n为264 的因数，且为偶数，

把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.

故选：D

3.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（    ）(参考数据：)

A．

B．

C．2020年小王的年利润为40000元

D．两年后，小王手中现款达41万

【答案】BCD

【解析】

由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.

【详解】

对于A选项，元，故A错误

对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确；

对于C选项，由得

所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，

所以，即

所以2020年小王的年利润为元，故C正确；

对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.

故选： BCD.

4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.

【答案】

【解析】

设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得．

【详解】

解：设等差数列的公差为，则，
由已知，
即，得，
于是，在等比数列中，

公比．
由为数列的第项，知；
由为数列的第项，知，
，

故.
故答案为．

5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列满足：，点在函数的图像上，其中为常数，且

（1）若成等比数列，求的值；

（2）当时，求数列的前项的和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）首先由条件，列式表示为，，，再根据数列是等比数列求的值；

（2）由条件，归纳可知，再求数列的前项的和.

【详解】

解：（1）由可得，，，

所以，，.

又，，成等比数列，所以，则，

又，故.

（2）时，，∴，，…，，

.

6.（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）计算得到，得到答案.

（2），得到数列通项公式.

（3）根据分组求和法计算得到答案.

【详解】

（1）由，得，∴，又，

∴是首项为3，公比为3的等比数列.   

（2），∴.

（3）.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列中，为其前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为且求的取值范围.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）由条件求得公差，写出通项公式；

（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.

【详解】

（1）由等差数列性质知，，则，

故公差，

故

（2）由（1）知，

易知单调递增，且，，

故，解得，.

8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列中，.等差数列的前两项依次为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）cn=8n-10；（2）Sn=(4n-9)×2n+2+36.

【解析】

（1）根据递推公式计算，，利用等差数列公式计算得到答案.

（2）将题目中两式相加得到，故是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.

【详解】

解（1）∵a1=b1=1，∴，

则数列{cn}的公差d=6-(-2)=8.

∴数列{cn}的通项公式为cn=-2+8(n-1)=8n-10.

（2）an+1=3an-bn-3n-1，①

bn+1=3bn-an+3n+1，②

①+②，得an+1+bn+1=2(an+bn).

∵a1+b1=2，∴数列{an+bn}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴an+bn=2n.

∴Sn=-2×2+6×22+…+(8n-10)×2n，

则2Sn=-2×22+6×23+…+(8n-10)×2n+1，

∴Sn-2Sn=-4+8(22+23+…+2n)-(8n-10)×2n+1，

即-Sn=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)×2n+1=(18-8n)×2n+1-36，

∴Sn=(4n-9)×2n+2+36.

9．（2021·重庆高三三模）已知数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式：

（2）设，数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

（1）利用，求得数列的通项公式.

（2）求得数列的通项公式，进而利用裂项求和法求得，结合数列的单调性证得.

【详解】

（1）解：，令，解得时，两式相减，得

数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；

（2）证明

单调递增，所以1即

10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列中，，且成等比数列．

（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）设数列满足，其前项和为，证明：．

【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．

【解析】

（1）利用已知条件推出数列是等差数列，其公差为，首项为1，求出通项公式，结合由，，成等比数列，转化求解即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可．

【详解】

证明：（1）由，得，即，

所以数列是等差数列，其公差为，首项为1，

因此，，，

由成等比数列，得，即，

解得或（舍去），故．

（2）因为，

所以

因为，所以．

1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．

【答案】2．

【解析】

根据图形之间的关系可得的递推关系，从而可求的通项公式，故可求a的最小值.

【详解】

设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，则当时，，

设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，则当时，，

故，其中，

由累加法可得

，

时，也符合该式，故，

故对任意的恒成立，故即a的最小值为2.

故答案为：2.

2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先利用已知条件求出公差d，再利用求通项公式即可；

（2）先计算通项公式，利用裂项相消法求，代入化简数列不等式为对任意恒成立，再求最小值即得结果.

【详解】

解：（1）设数列的公差为，

因为是等差数列，所以，故，

又，，成等比数列，所以，故，

将代入得，即，

又知，故，所以；

（2）由（1）知，，故，

所以，即，

故，即对任意恒成立，

而在上单调递增，

故在时单调递增，，

所以，故的取值范围为.

3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.

设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

根据等差､等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项，题干中有3个条件，选取一个进行分析即可.

【详解】

记，从而有().

选择①，数列是公比为的等比数列，

因为，所以，即.

所以，所以.

由，当时，，当时，，

所以当或2时，取得最大值，即取得最大值.

所以存在，2，使得对任意的，都有.

选择②，方法一：是公差为1的等差数列，

因为，所以，

当时，，

则，

当时，上式成立，

所以.

所以，从而.

由，

所以当时，；当时，，

所以当时，取得最大值，即取得最大值.

所以存在，使得对任意的，都有.

方法二：利用“夹逼法”，即利用来求解.

，

由()，得，解得.

选择③，方法一：，

则，

从而，

即.

又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以.

所以，从而，即，

所以数列为单调递增数列，

故不存在，使得对任意的，都有.

方法二：利用求解.

，，

则，

因为，所以不存在，使得对任意的，都有.

4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{an}的前n项和为Sn，，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1．

【答案】（1）；；（2）证明见解析．

【解析】

（1）首先利用时，求得，进而得到数列为公比为2的等比数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可，再根据b1＝a1，b6＝a5

求得的公差，再写出的通项公式.（2）根据裂项相消求和，最后证明不等式即可.

【详解】

解：（1）由，

可得n＝1时，，

解得，

n≥2时，，又，

两式相减可得，

即有，

数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

所以；

设等差数列{bn}的公差为d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，

可得，

所以；

（2）证明：

所以

则3Tn＜1．

5．（2021·全国高三其他模拟）在①；②；③成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且___.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若（），求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）若选①，由，有，两式相减，可得数列为等比数列，再由首项可求通项；

若选②，由，得，再由首项可求通项；

若选③，由成等比数列，得，再由首项可求通项.

（2）先带入化简，再裂项求和即可.

【详解】

（1）若选①，由，有，两式相减并整理有，

可知数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以；

若选②，因为数列是等比数列，且首项为2，由，

有，即，得，

所以数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以；

若选③，由成等比数列，有，

即，因为有，所以有，

解得，（舍），

数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以.

（2）因为，

，

所以

.

6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，

（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；

（2）求的前项和及的前项和为．

【答案】（1）证明见解析；；（2）；．

【解析】

（1）根据题中条件，推出，即可证明数列为等比数列，从而可求出其通项公式；

（2）根据（1）的结果，由错位相减法，即可求出；设，先由题中得到的通项，再由分组求和法计算，根据求，进而可得.

【详解】

（1）因为，，，

所以，

又，

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，

因此；

（2）由（1）可得①，

则②，

①②得，

则；

设，

则，

所以；

；

因此.

7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{an}中，公比，其前n项和为Sn，且S2=6，___________.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，且数列{cn}满足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求数列{cn}的通项公式.

从①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）选条件①时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式;选条件②时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式；选条件③时，利用等差中项的应用求出数列的通项公式.

（2）由（1），得, 则，利用累加法结合裂项相消法，可求出数列{cn}的通项公式.

【详解】

解：(1)若选条件①时， 由S2=6及S4=30，

得a1+a2=6，a1+a2+a3+a4=30，

两式相减，得a3+a4=24，

即q2(a1+a2)=24，

所以q2=4，由，解得，

代入a1+a2=6，得a1+2a1=6，解得a1=2，

所以数列{an}的通项公式为.

若选条件②时，S6﹣S4=96.

因为S6﹣S4=a5+a6=96，a1+a2=6，

所以，a1+a1q=6，

两式相除，得q4=16，结合q>0，得q=2，

所以a1+2a1=6，解得a1=2，

所以数列{an}的通项公式为.

若选条件③时，a3是S3与2的等差中项.

由a3是S3与2的等差中项，得2a3=S3+2，

则2a3=a1+a2+a3+2，由a1+a2=6，得a3=8，

由通项公式，得a1+a1q=6，，

消去a1，得3q2﹣4q﹣4=0，结合q>0，解得q=2，

代入a1+a1q=6，得a1=2，

所以数列{an}的通项公式为.

（2）由（1），得，

，

所以当时，cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+(c4﹣c3)+ +(cn﹣cn﹣1)

.

又c1=1也适合上式，故数列{cn}的通项公式是.

8．（2021·全国高三其他模拟）从①，②，③中任选一个填入下面的空中，并解答．

设等比数列的公比，且____．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析.

【解析】

（1）根据可得关于 的方程 ，两个方程解出两个未知数；

（2）若选①②，结合表达式的特点，可用错位相减法求和，若选③，

，可用分组求和法解题.

【详解】

（1）设的公比为，因为，故，

即，解得或舍去，

所以

（2）设的前项和为，

若选①，，两式相减得

所以

若选②，两式相减得，

所以．

若选③

当为偶数时，当为奇数时，，

所以

9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}满足，且=，n∈（是等比数列，是等差数列），记数列{}的前n项和为，{}的前n项和为，若公比数q等于公差数d，且

（1）求数列{}的通项公式；

（2）记为数列{}的前n项和，求（n≥2，且n∈）的最小值．

【答案】（1）+；（2）

【解析】

（1）根据已知条件以及等差数列等比数列的通项公式可求出，进而可以求得数列{}的通项公式；

（2）求得，进行变形，然后令=1，接下来与作差，然后构造函数，分类讨论即可求出最值.

【详解】

（1）由题意得.....①；......②

将代入②式中，解得=4，=3.

故将①式可变为：，解得d=q=2-

故=2，=1，所以

故+

（2）由（1）可求得=2-

故1，记=1

则--

∵n≥2，且n∈，故在n=2时为负数，当n≥3时为正数

进行分类讨论：

①当n=2时，=5

②当n≥3时，记f(x)=

化简得f(x)=，故在4>n≥3时，-＜0，,n=4,=,n≥5时，-＞0

则对于n≥3时，n=4或3时有最小值-

故＜

故的最小值为.

10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列的前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用化简可得为等比数列，由此可求得通项公式；

（2）由题可得恒成立，n为偶数时，，n为奇数时，.

【详解】

（1）解：因为，所以，

当，时，

所以，

所以数列为等比数列，首项为，公比为2，

所以，则；

（2）解：因为，所以，

由（1），

所以恒成立，

当n为偶数时，恒成立，所以，

设，由于，

所以，当时，，

所以，

当n为奇数时，，若n=1，则有，

若，则有，

令，由于，

所以，综上，.

1.（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【解析】

由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ）

A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．

【答案】D

【解析】

对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；

对于B，由题意可知，，，

∴，，，．

∴，．

根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；

对于C，，

当时，，C正确；

对于D，，，

．

当时，，∴即；

当时，，∴即，所以，D不正确．

故选：D.

3.（2019年浙江卷）设，数列中，， ,则（  ）

A. 当 B. 当

C. 当 D. 当

【答案】A

【解析】

选项B：不动点满足时，如图，若，

排除

如图，若为不动点则

选项C：不动点满足，不动点为，令，则，

排除

选项D：不动点满足，不动点为，令，则，排除.

选项A：证明：当时，，

处理一：可依次迭代到；

处理二：当时，，则则

，则.

故选A

4．（2020·江苏省高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．

【答案】

【解析】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.

等差数列的前项和公式为，

等比数列的前项和公式为，

依题意，即，

通过对比系数可知，故.

故答案为：

5.（2019年浙江卷）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记 证明：

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

 (1)由题意可得：，解得：，

则数列的通项公式为.

其前n项和.

则成等比数列，即：

，

据此有：

，

故.

(2)结合(1)中的通项公式可得：

，

则.

6.（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．

（I）求和的通项公式；

（II）记，

（i）证明是等比数列；

（ii）证明

【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】

（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；

（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；

（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.

【详解】

（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．

所以，所以，

所以；

设等比数列的公比为，

所以，解得（负值舍去），

所以；

（II）（i）由题意，，

所以，

所以，且，

所以数列是等比数列；

（ii）由题意知，，

所以，

所以，

设，

则，

两式相减得，

所以，

所以.