高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题3.5  指数与指数函数

【知识清单】

1．根式和分数指数幂

1．n次方根

2.根式

(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：

①()n＝a.

②＝

3.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

2．指数函数的图象和性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

【考点分类剖析】

考点一   根式、指数幂的化简与求值

【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（    ）

A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学

C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学

【典例2】计算：．

【规律方法】

化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．

【变式探究】

1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－

2.计算：×0＋×－＝________.

【易错提醒】

1.根式：

（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．

（2）＝0(n＞1，且n∈N*)．

（3）有限制条件的根式化简的步骤

2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．

3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．

4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．

考点二：根式、指数幂的条件求值

【典例3】已知则的值为__________．

【典例4】设，求 的值．

【总结提升】

根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：

(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；

(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；

（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．

【变式探究】

已知，求下列各式的值.

（1）；（2）；（3）

考点三：指数函数的概念

【典例5】（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））函数，且，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【规律方法】

判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．

【变式探究】

若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有 (　　)

A．a＝1或2 B．a＝1

C．a＝2 D．a>0且a≠1

考点四：指数函数的图象
【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【总结提升】

1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．

3.识图的三种常用方法

（1）抓住函数的性质，定性分析：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从周期性，判断图象的循环往复；

④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.

(2)抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．

（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：

①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；

②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．

4.过定点的图象

 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；

(2) 与的图象关于y轴对称；

(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．

【变式探究】

1.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是(    )

A． B．

C． D．

2.如图所示是下列指数函数的图象：

(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.

则a，b，c，d与1的大小关系是 (　　)

A．a<b<1<c<d　　 B．b<a<1<d<c

C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c

【特别提醒】

指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．

高频考点五：指数函数的性质及其应用

【典例8】（2020·浙江高三月考）已知，且，设，，则（　　）

A． B． C． D．

【典例9】（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数的值域是_________.

【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数的图像经过点，

（1）求值；

（2）求函数的值域；

【规律方法】

1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．

2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.

3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.

规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．

4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．

6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．

【变式探究】

1.（2018年新课标I卷文）设函数，则满足的x的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

2.（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是

A．    B．    C．    D．

3．（2021·江苏高三月考）已知函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

4．（山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则             .