高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.5指数与指数函数(讲)原卷版+解析

这是一份高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.5指数与指数函数(讲)原卷版+解析，共20页。

1．根式和分数指数幂
1．n次方根
2.根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①(eq \r(n,a))n＝a.
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
【考点分类剖析】
考点一 根式、指数幂的化简与求值
【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学
【典例2】计算：21412−(−9.6)0−82723+32−2．
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
【变式探究】
1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－
2.计算：×0＋×－＝________.
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）eq \r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式eq \r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq \f(m,n)进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如eq \r(8,a2)，a∈R，化成分数指数幂应为a eq \s\up4(\f(2,8)) ，a∈R，而a eq \s\up4(\f(1,4)) ＝eq \r(4,a)，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
考点二：根式、指数幂的条件求值
【典例3】已知x+x−1=3 ，则x32+x−32的值为__________．
【典例4】设，求 的值．
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x−12)2=x+2+x−1，(x+x−1)2=x2+2+x−2，x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)，解题时要善于应用公式变形．
【变式探究】
已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；（3）
考点三：指数函数的概念
【典例5】（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））函数，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【规律方法】
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．
【变式探究】
若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有 ( )
A．a＝1或2B．a＝1
C．a＝2D．a>0且a≠1
考点四：指数函数的图象
【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
= 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
= 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复；
= 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
= 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
【变式探究】
1.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )
A．B．
C．D．
2.如图所示是下列指数函数的图象：
(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.
则a，b，c，d与1的大小关系是 ( )
A．aC．1【特别提醒】
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．
高频考点五：指数函数的性质及其应用
【典例8】（2020·浙江高三月考）已知，且，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例9】（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数的值域是_________.
【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数的图像经过点，
（1）求值；
（2）求函数的值域；
【规律方法】
1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．
【变式探究】
1.（2018年新课标I卷文）设函数fx=2−x ， x≤01 ， x>0，则满足fx+1A. −∞ ， −1 B. 0 ， +∞ C. −1 ， 0 D. −∞ ， 0
2.（2019·天津高三高考模拟）若2x2+1≤(14)x−2，则函数y=2x的值域是
A．[18,2) B．[18,2] C．(−∞,18] D．[2,+∞)
3．（2021·江苏高三月考）已知函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则 .
新课程考试要求
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例6.7.9）等核心数学素养.
考向预测
1.指数幂的运算；
2．指数函数的图象和性质的应用；
3．与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为eq \r(n,a)
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a)
a＜0
x不存在
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
专题3.5 指数与指数函数
【知识清单】
1．根式和分数指数幂
1．n次方根
2.根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①(eq \r(n,a))n＝a.
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
【考点分类剖析】
考点一 根式、指数幂的化简与求值
【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学
【答案】C
【解析】
判断出，，的大小关系即可得出答案.
【详解】
，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
【典例2】计算：21412−(−9.6)0−82723+32−2．
【答案】 QUOTE =12 .
【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.
详解： 21412−(−9.6)0−82723+32−2
=9412−1−233×23+232
=32−1
=12．
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
【变式探究】
1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－
【答案】
【解析】原式＝.
2.计算：×0＋×－＝________.
【答案】
【解析】原式＝×1＋×－.
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）eq \r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式eq \r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq \f(m,n)进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如eq \r(8,a2)，a∈R，化成分数指数幂应为a eq \s\up4(\f(2,8)) ，a∈R，而a eq \s\up4(\f(1,4)) ＝eq \r(4,a)，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
考点二：根式、指数幂的条件求值
【典例3】已知x+x−1=3 ，则x32+x−32的值为__________．
【答案】25
【解析】
题意(x12+x−12)2=x+2+x−1=5，∴x12+x−12=5，
∴x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)=5(3−1)=25，
故答案为25．
【典例4】设，求 的值．
【答案】7
【解析】
,
.
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x−12)2=x+2+x−1，(x+x−1)2=x2+2+x−2，x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)，解题时要善于应用公式变形．
【变式探究】
已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；（3）
【答案】
【解析】（1）将两边平方得，所以.
（2）将两边平方得，所以.
（3）由（1）（2）可得
考点三：指数函数的概念
【典例5】（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））函数，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【解析】
运用代入法进行求解即可.
【详解】
由，
所以，
故选：B
【规律方法】
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．
【变式探究】
若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有 ( )
A．a＝1或2B．a＝1
C．a＝2D．a>0且a≠1
【答案】C
【解析】由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1,a>0,a≠1))，
解得a＝2，故选C.
考点四：指数函数的图象
【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解析】
利用指数函数的图象与性质即可得出结果.
【详解】
根据函数与关于对称，可知①④正确，
函数为单调递增函数，故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B
【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
就、分类讨论可得正确的选项.
【详解】
当时，为增函数，当时，且，
故A,B 不符合.
当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.
故选：D.
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
= 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
= 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复；
= 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
= 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
【变式探究】
1.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由于过点，故D选项错误.
当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.
当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.
综上所述，正确的选项为C.
故选：C
2.如图所示是下列指数函数的图象：
(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.
则a，b，c，d与1的大小关系是 ( )
A．aC．1【答案】B
【解析】
可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.
【特别提醒】
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．
高频考点五：指数函数的性质及其应用
【典例8】（2020·浙江高三月考）已知，且，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
作差，对分类讨论，利用指数函数的单调性即可求出.
【详解】
当时，单调递增，因为，所以，，，
所以，所以；
当时，单调递减，因为，所以，，，
所以，所以.
综上所述：
故选：A
【典例9】（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.
【详解】
在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象，

观察的区域，
由图象可知，在区间和上
，由此的解集.
故选：A
【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数的值域是_________.
【答案】
【解析】
设
当 时，有最大值是9；当 时，有最小值是-9， ，由函数 在定义域上是减函数，
∴原函数的值域是 故答案为
【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数的图像经过点，
（1）求值；
（2）求函数的值域；
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）函数的图像经过点
（2）由（1）可知
在上单调递减，则在时有最大值
又
函数的值域为
【规律方法】
1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．
【变式探究】
1.（2018年新课标I卷文）设函数fx=2−x ， x≤01 ， x>0，则满足fx+1A. −∞ ， −1 B. 0 ， +∞ C. −1 ， 0 D. −∞ ， 0
【答案】D
【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有2x<02x2.（2019·天津高三高考模拟）若2x2+1≤(14)x−2，则函数y=2x的值域是
A．[18,2) B．[18,2] C．(−∞,18] D．[2,+∞)
【答案】B
【解析】
将2x2+1≤(14)x−2化为x2+1≤−2(x−2)，即x2+2x−3≤0，解得x∈[−3,1]，所以2−3≤2x≤21，所以函数y=2x的值域是[18,2].故选C.
3．（2021·江苏高三月考）已知函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
依题意，可以令，则，，代入函数，即可比较、、三者的大小，得到答案.
【详解】
∵，且，
∴令，则，，
∴，，，
又∵，∴.
故选：A.
4．（山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则 .
【答案】
【解析】
若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；
若，则在上为减函数,所以，解得，所以.
新课程考试要求
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例6.7.9）等核心数学素养.
考向预测
1.指数幂的运算；
2．指数函数的图象和性质的应用；
3．与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为eq \r(n,a)
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a)
a＜0
x不存在
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数