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专题7-1 均值不等式及其应用-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）
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专题7-1 均值不等式及其应用
目录
【题型一】基础型：公式“取等”条件
【题型二】基础型：型
【题型三】凑配“对钩”型
【题型四】常数代换型
【题型五】分式型凑配
【题型六】“积、和”化“1”型
【题型七】“和、积”解不等式型
【题型八】消元型
【题型九】分子代换分离型
【题型十】均值用两次
【题型十一】齐次同除型
【题型十二】多元均值
【题型十三】代数式换元
【题型十四】三角函数式换元
【题型十五】“万能K”法
【题型十六】因式分解型
【题型十七】权方和不等式应用
【题型十八】复杂的求“和”型
【题型十九】公式扩展：不等式链
真题再现
模拟检测
综述：
均值不等式
1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
4.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
5.若，则（当且仅当时取“=”）
【题型一】基础型：公式“取等”条件
【典例分析】
（2022·新疆·乌苏市第一中学高三开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】 基本规律
基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
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【变式演练】
1.（2022·全国高三课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．3
2.（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高三模拟）已知正数，满足，则取得最小值时，的值为（ ）
A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，2
3.（2021·全国高三课时练习）在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（ ）
A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立
B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立
C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立
D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立
【题型二】基础型：型
【典例分析】
（2021·全国高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【提分秘籍】 基本规律 形如，要分类讨论正负 1.若，则 (当且仅当时取“=”） 2.若，则 (当且仅当时取“=”）
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【变式演练】
1.（2021·全国高三课时练习）是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2022·全国高三专题练习）若，，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
3.（2021·全国高三课时练习）代数式的最小值是（ ）．
A．4 B．2 C．k D．不能确定
【题型三】凑配“对钩”型
【典例分析】
（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ）
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【提分秘籍】 基本规律 凑配“对钩”型： 添常数凑配.
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【变式演练】
1.（2022·甘肃·兰州市第二中学高三期末）若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）当时，（ ）
A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值
3.（2021·全国高三课时练习）代数式的最小值是（ ）．
A．4 B．2 C．k D．不能确定
【题型四】常数代换型
【典例分析】
（2021·全国高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2
【提分秘籍】 基本规律 条件和所求式子中有与a+b，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式
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【变式演练】
1.（2021·江苏高三单元测试）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．2
2.（2022·全国高三专题练习）已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．9 D．4
3.（2022·全国高三专题练习）若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
【题型五】分式型凑配
【典例分析】
（2021·河南开封高三模拟）若正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】 基本规律 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
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【变式演练】
1.（2022·甘肃·张掖市第二中学高三期末）已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
2.（2021·江苏淮安高三模拟）当0<x<1时，最小值为（ ）
A．0 B．9 C．10 D．18
3.（2021·全国高三专题练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【题型六】“积、和”化“1”型
【典例分析】
（2022·全国高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【提分秘籍】 基本规律 有和有机无常数型等式，可以同除积，再进行“1”的代换
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【变式演练】
1.（2022·湖北宜昌高三模拟）已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·黑龙江·铁人中学高三模拟）已知，则和的最小值分别是（ ）
A．16 ，32 B．16 ，64 C．18，32 D．18，64
3.（2021·湖南岳阳高三模拟）已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题型七】“和、积”解不等式型
【典例分析】
（2022·河南三门峡高三期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】 基本规律 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
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【变式演练】
1.（2021·江苏高三专题练习）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.若实数，满足，则的最大值是（ ）
A．12 B． C．8 D．
3.已知，为正实数，且，则（ 多选题 ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为
【题型八】消元型
【典例分析】
（2021·全国高三单元测试）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】 基本规律 如果不容易直接观察出均值，可以反解代入消元，在构造“单变量”均值形式求解
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【变式演练】
1.（2021·重庆八中高三模拟）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
2.（2022·山东临沂高三期末）已知，且，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
3.（2021·广东·广州外国语学校高三阶段练习）已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（ ）
A．1 B．3
C．6 D．12
【题型九】分子代换分离型
【典例分析】
已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1.已知正数a，b满足，则的最小值是___________.
2.已知正数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．
【题型十】均值用两次
【典例分析】
设a、b、c是正实数满足，则的最小值为______．
【提分秘籍】 基本规律 一般情况下均值用两次，要保证相同字母“取等”条件和数值一致。
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【变式演练】
1.设，，则当___________时，的最小值为___________.
2.若，则的最小值为____________．
3.是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型十一】齐次同除型
【典例分析】
若a，b均为正实数，则的最大值为
A． B． C． D．2
天津市南开区2019届高三上学期末数学试卷（文)
【提分秘籍】 基本规律 一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。
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【变式演练】
1.已知，，则的最小值为____．
2.函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，则的最大值是 ．
【题型十二】多元均值
【典例分析】
己知，，，且，则的最小值为 ．
【变式演练】
1.已知正数满足， 则的最小值是( )
A． B． C． D．
2..设是三个正实数，且，则的最大值为_______．
3.（2021·全国高三专题练习）设且不等式恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．13 B．6 C．8 D．62.
【题型十三】代数式换元
【典例分析】
（2019·天津高考模拟（文））已知，若点在直线上，则的最小值为__________
【变式演练】
1.（黑龙江大庆实验中学高三模拟）设为正实数，且，则的最小值为__
2.若实数x,y满足,则的取值范围是 ．
3.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【题型十四】三角函数式换元
【典例分析】
已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为
A.2 B.4 C. D.
【变式演练】
1.已知，，则的最小值为____.
2.（2021嘉兴期末）已知实数x,y满足，则的取值范围是__ _
3.设a，b∈R，a2 + 2b2 = 6, 则a+b的最小值是( ).
A. B. C. D.
【题型十五】“万能K”法
【典例分析】
（2021·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知，若，则的最小值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【提分秘籍】 基本规律 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。
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【变式演练】
1.已知正数满足，则的最大值为__________．
2.已知，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
3.已知（），则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
【题型十六】因式分解型
【典例分析】
若实数、、，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【提分秘籍】 基本规律
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
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【变式演练】
1.（2022·全国高三课时练习）已知正实数，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知，且，则的最小值是___．
3.已知，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
【题型十七】权方和不等式应用
【典例分析】
（2019·赤峰二中高三月考（理））若正数满足，则的最小值为
A． B． C．2 D．
【提分秘籍】 基本规律 ： 二元结构形式： 取，设则，当且仅当时等号成立. 三元结构形式： 取，设则，当且仅当时等号成立. |
【变式演练】
1.已知正数满足，则的最大值为__________．
2.已知实数且，则的最小值为__________．
3.【2019届徐州市12月月考12】已知正实数满足，则的最小值为 ．
【题型十八】复杂的求“和”型
【典例分析】
【变式演练】
1.（2019·浙江高三期末）已知，，且，则的最小值为
A． B． C．5 D．9
2.已知，且满足，则的最小值为
【题型十九】公式扩展：不等式链
【典例分析】
（2022·全国高三课时练习）若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为
A． B．3 C． D．1
【提分秘籍】 基本规律 均不等式链：
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【变式演练】
1.（2020·重庆十八中高三阶段练习）已知，且，则最大值与最小值的和为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
2.（2021·全国高三专题练习）的最大值为（ ）
A． B．13 C． D．
3.（2020·浙江高三期末）若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1,（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（·重庆·高考真题（文））f(x)=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=
A．1+ B．1+ C．3 D．4
4．（山东·高考真题（文））设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．
10．（2019·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.
11．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.
12．（·浙江·高考真题（理））设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．
13．（·浙江·高考真题（文））_____
14．（·江苏·高考真题）的最小值为_______________．
1.（2021·江苏高三专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
2.（2021·安徽省六安中学高三模拟）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是
①已知，由，求得的最小值为2
②由，求得的最小值为2
③已知，由，当且仅当即时等号成立，把代入得的最小值为4.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.（2019·江西师大附中高三模拟）的最小值是( )
A． B． C． D．
4.（2021·江苏高三单元测试）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
5.（2022·全国高三课时练习）已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.（2021·江苏·赣榆一中高三阶段练习）若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知，，，则（ 多选题 ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
8.（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9.已知，，且，则最小值为_
10（2021·全国高三专题练习）已知实数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.已知正实数，，满足，则的最小值为______.
12.（2021·全国高三专题练习）若对于正实数，，有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13.（2021·全国高三专题练习）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14.若实数满足，则的最大值为______________。
15.若 且满足 ，则 的最大值是 ( )
A.2 B. C.3 D.
16已知（），则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
17.（2019·江苏高三月考）若，且，则的最小值为_____
18.已知正数满足，则的最大值为 ．
19.
20.（2021·江苏高三专题练习）设，且，，则（ ）
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
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