专题二十——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

专题20 大题限时练二十

1．设数列的前项和为，满足，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）当 时，，，

两式相减得，，

即，

即，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

故．

（2）由（1）知，

则，

，

，①

，②

①②得，，

所以．

2．如图，在四棱锥中，平面，四边形是等腰梯形，，，，分别是，的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的大小为，求四棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）1

【详解】证明：（1）连接，由题意可得，，，

则四边形为平行四边形，得，，

三角形为正三角形，则，

又平面，平面，，

，平面，而平面，

平面平面；

解：（2）连接，可得，，，

建立如图所示空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，

设，0，，则，，

设平面的一个法向量为，

，取，则．

而平面的一个法向量，

由，解得．

四棱锥的体积．

3．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．

（Ⅰ）若，求的面积；

（Ⅱ）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【详解】（Ⅰ）由，可得，

所以，即，

又因为，所以，

因为，

所以，

所以；

（Ⅱ）假设能成立，所以，

由余弦定理，，

所以，所以，

故，解得或（舍，

此时，不满足，

所以假设不成立，故不成立．

4．正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述，例如，同一种生物体的身长、体重等指标．为了调查某水库的生态养殖情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重，经整理分析后发现，鱼的体重（单位：近似服从正态分布，如图所示．已知，．

（1）若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的体重在，内的概率；

（2）从捕捞的100条鱼中随机挑出6条测量体重，其体重情况如表：

①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从这6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在，内的条数为，求随机变量的分布列和数学期望；

②若将剩下的94条鱼称重并标记后立即放回鱼塘，又随机从鱼塘内捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条，为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞水库中体重在，内鱼总数的进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在，内鱼的条数．

【答案】见解析

【详解】（1）由正态分布的对称性可知，

．

（2）①挑出6条鱼中，体重在，内有2条，则从6条鱼中随机选出3条，

得到随机变量的所有可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

．

②设水库中共有条鱼，根据题意有，

则（条

所以估计水库中有47000条鱼，

由（1）可知，

则体重在，内的鱼应捕捞（条．

5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，直线过右焦点且与椭圆交于不同两点、，当与轴不重合时，△的周长为8．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，，的中点依次为，，，当直线的斜率为何值时，的内切圆半径最大？

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1）因为△的周长为8，依据椭圆的定义可知，

，

解得，

因为椭圆的离心率为，

所以，

由，可得，

所以椭圆的方程为．

（2）设，，，，

因为△的周长为8，

所以的周长为4，

，即，

又，故，

所以的内切圆半径最大，即最大，

设直线的方程为，

由，得，

△，

所以，，

则，

令，则，

，

当且仅当，即时，等号成立，此时，

所以．

6．已知函数，且在点，（e）处的切线与直线相互垂直．

（1）求的值，并求出的单调区间；

（2）若时，曲线恒在直线的上方，求整数的最大值．

【答案】（1），在递减，在，递增；（2）4

【详解】（1），则，

故（e），

在点，（e）处的切线与直线相互垂直，

（e），解得：，

故，，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在，递增；

（2）当时，即有：，

设，，等价于，

，

令，，

，，在单调递减，

令，则，即等价于，

（8），（9），

故，

当时，，当，时，，

故，又，

故，

，，，

且，

故，的最大值是4．