专题十五——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

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专题15 大题限时练十五1．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且．（1）求证：；（2）当时，求．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：因为，所以，由正弦定理得；（2）因为，即为的中点，则，两边同时平方得，，即，由余弦定理得，，两式相加得，由余弦定理得．2．已知数列，满足，，，且数列是等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若且，求集合中所有元素的和．【答案】（1）；（2）3045【详解】（1），可得，，代入，中，可得，，而数列是等差数列，所以公差，所以数列的通项公式，所以；即的通项公式；（2）由（1）可得，，所以，可得，所以当为奇数时，，故1，3，5，都是集合中的元素，由，所以当为偶数时，且，所以，可得，所以2，4，6，8为集合中的元素，所以．3．小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．（1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）设至少遇到一个红灯为事件，则为三个路口均遇见绿灯；，（A）；（2）线路1遇见红灯的个数设为，线路2遇见红灯的个数设为，则服从二项分布，，所以，即选择线路1回家时长的累计增加时间的期望为1；的所有可能取值为0，1，2，；；；，即选择线路2回家时长的累计增加时间的期望为，，故小李应选择路线1．4．如图1，在中，，是的中位线，沿将进行翻折，使得是等边三角形（如图，记的中点为．（1）证明：平面；（2）若，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】证明：（1）如图，取中点，连接和，由已知得，且．因为，分别为，的中点，所以，且所以，且．所以四边形是平行四边形．所以．因为翻折的，易知．所以翻折后，．又因为，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为是等边三角形，点是中点，所以又因为，，平面．所以平面．因为，所以平面．解：（2）过点作，以为原点，、，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，则，因为平面．所以是平面的法向量，设面的法向量为，，，则，即，解得．取，得．因为二面角为，所以，解得，所以．记直线与平面所成角为．则，所以直线与平面所成角的正弦值为．5．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【详解】（Ⅰ）由题意，得，所以．因为点在椭圆上，所以，可解得，．则椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，点，，，，由，得．因为△，所以，由根与系数的关系，得．因为为锐角，所以，即．所以，即，所以．综上，解得或．所以，所求直线的斜率的取值范围为或．6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2），【详解】（1）的定义域是，，当时，在上恒成立，故在上单调递增；当时，令，得，在，上有，在，上有，在，上是减函数，在，上是增函数，（2）当时，，即令，则，若，由（1）知，当时，在上是增函数，故有，即，得，故有．（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）（当且仅当，即，且时取等号）．函数在，单调递增，，式成立．②若，令．则，当且仅当时等号成立．在区间，上单调递增，，，，使得，则当时，，即，函数在区间上单调递减，，即，式不恒成立．综上所述，实数的范围是，.