专题九——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

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专题09 大题限时练九1．在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在中，，，分别为内角，，的对边，，，___？【答案】见解析【详解】若选①，则，且，因为，，由正弦定理得，则，即，所以，，得，因为，所以，因为，所以角为锐角，所以，所以，所以由正弦定理得；若选②，则由的面积为，得，所以，当为锐角时，，此时由余弦定理得，，所以，当为钝角时，，此时由余弦定理得，，所以，综上，或；若选③，由，得，由正弦定理得，则，所以三角形不存在．2．已知数列的前项和为，．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和为；（2）设，证明：．【答案】见解析【详解】证明：（1）当时，，即，由，则，，两式相减可得，即，所以，即，数列为等比数列；则，所以，则．（2），所以，所以．3．某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：购买金额（元，，，，，，人数101520152010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关． 不少于600元少于600元合计男 40 女18  合计   （2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数（元的分布列并求其数学期望．附：参考公式和数据：．附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005【答案】见解析【详解】（1）列联表如下： 不少于600元少于600元合计男124052女182038合计306090，因此有的把握认为购买金额是否少于600 元与性别有关．（2）的所有取值可能为650，700，750，800，且，，，，所以的分布列为650700750800．4．如图，直三棱柱（即侧棱与底面质直的棱柱）内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），是圆柱底面圆的直径，点在上，且．若．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：在中，，且是圆柱底面圆的直径，即，，又由已知平面，平面，，且，平面，又平面，所以平面平面，（2）解：因为三棱柱是直三棱柱且是圆柱底面圆的直径，所以，，两两垂直．以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，0，，，0，，，2，，，3，，显然，0，是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，，，，2，，，3，，由，令，得，，平面的一个法向量为，，，设平面与平面所成锐二面角为，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．5．已知椭圆的左焦点为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过且互相垂直的两条直线，分别交椭圆于、两点和、两点，求的取值范围．【答案】（1）；（2），【详解】（1）由题意，，解得，．椭圆的方程为；（2）当直线，有一条斜率不存在时，．当斜率存在且不为0时，设方程为，，，，．联立，消去整理得．，．．把代入上式，得，，设，，，，设，，令，则，，，，，．综上所述，的取值范围是，．6．已知函数．（1）若，恒成立，求的取值范围；（2）证明：当时，；（3）证明：当时，．【答案】见解析【详解】（1），恒成立，，可得函数在上单调递减，在上单调递增，函数在时取得极小值，（3），的取值范围是，．（2）证明：当时，要证明，即证明，令，，，可得：时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．时，函数取得极大值即最大值，（3），，（3），因此，结论成立．（3）证明：由（2）可得：，令，当时，，当时，．