专题02 数列——【备考2023】高考数学大题精练 （全国通用）（原卷版+解析版）

专题02   数列

数列大题和解三角形题轮换出现，在高考中，一般处于全国卷第17或18题位置，这几年，逐渐有后移迹象，并且在2021年处于第19题位置。试题位置的变化，也提现了数列大题难易程度的变化。试题考察等差等比数列定义和性质，考察数列递推求通项公式和求和，考察计算能力和逻辑推导能力。题目有一定的综合度，难度适中，侧重考察对通性通法的理解应用。

常考题型：错位相消与分组求和，各种裂项求和，利用单调性和放缩证明不等式，前n项积型求解，数列恒成立（存在）求参，等差、等比分段数列型，利用等差等比中项证明是否存在某些项，数列最值。

一、  错位相消与分组求和

例题1、已知等差数列的公差为正数，，前项和为，数列为等比数列，，且，.

(1)求数列、的通项公式；

(2)令，求数列的前项的和.

例题2、已知是等差数列，是等比数列，且，，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前2n项和.

错位相消结构图：

1.思维结构结构图示如下

2.分组求和：

，其中bn和cn都是容易求和的数列

1.（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列前项和．

2.（贵州省贵阳市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（文）试题）等比数列的前n项和为，，且成等差数列．

(1)求；

(2)若，求数列前n项和．

1.（湖南省名校2023届普通高等学校招生全国统一考试考前演练一数学试题）已知正项等比数列的的前n项和为，且满足：，

(1)求数列的通项；

(2)已知数列满足，求数列的前n项和.

2.（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四））已知数列的前n项和为，且，．

(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

1.（2020年新课标1理数17题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

2.（全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．

（Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．

二、各种类型裂项求和

例题1、已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

例题2、已知数列满足，，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

对于

（1）f（n）是p、q差型；

（2）f（n）是分离常数型；

对于形如，可应用直接分裂

1.（辽宁省名校联盟2023届高考模拟数学试题（一））记正项数列的前n项积为，且．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)记，求数列的前2n项和．

2.设数列的前项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前项和，求的值.

1.（湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测（一）数学试题）已知数列满足，且数列的前n项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

2.（四川省内江市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题）数列满足：.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.

1.（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列 的前项和．

2.(普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷）正项数列的前n项和Sn满足：

 (1)求数列的通项公式；

(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .

三、利用单调性和放缩证明不等式

例题1、已知数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)记，数列的前项和为，证明：.

数列前n项和不等式证明，老高考课标题型就是先求和，然后对前n项和再放缩，或者运用前

n项和式子转化为关于n的单调性的证明，利用单调性求得最值。

1.已知各项为正数的数列的前项和为，若.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，且数列的前项和为，求证：．

2.已知数列前n项积为，且．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设，求证：．

1.(湖南省长沙市明德中学2022届高三下学期二模数学试题)已知数列前项和为，若，且成等差数列．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)记数列的前项和为，求证：．

2.(河南省南阳市第一中学校2022届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题)已知数列{}的前项和为，，

(1)求数列{}的通项公式；

(2)设，为数列的前项和.证明：

1.(2022年新高考全国I卷数学真题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

2.(2021年全国高考乙卷数学（文）试题)设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

四、前n项积型

已知为正项数列的前项的乘积，且

(1)求数列的通项公式

(2)令，求数列的前项和.

数列前n项积：

1.n=1，得a1

2.n时，，所以

已知数列的前n项和为，且．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式．

1.（山东省威海市2022-2023学年高三上学期数学试题））设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

(1)求，；

(2)求证：数列为等差数列；

(3)求数列的通项公式．

2.（陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题）已知数列的前n项之积为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设公差不为0的等差数列中，，          ，求数列的前n项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．

（2021年全国乙卷理科数学19题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

四、数列恒成立（或存在）求参

例题1、已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

例题2、已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．

恒成立，可以考虑参变分离：

(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

有解型，恰好和恒成立结论中的最大最小相反：

③若在上有解，则；

④若在上有解，则；

已知数列的前n项和为

(1)证明：数列{}为等差数列；

(2)，求λ的最大值．

1.(云南省昆明市第一中学2023届高三上学期第五次二轮复习检测数学试题已知函数，其中

(1)当时，求；

(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数.

2.(四川省雅安市2023届高三零诊考试数学（文）试题已知数列的前n项和为，且，，．

(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；

(2)若，求实数的取值范围．

(普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.

五、等差、等比数列分段型

例题1、已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若，设数列的前项和为，求.

例题2、已知数列，的前n项和分别为，，，．

(1)求及数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前2n项和．

分段函数，多为每一段等差等比，部分可能为裂项相消结构，所以对于分段函数，读懂分段的“跳项、奇偶相间”这个性质，分组求和即可。

1.（浙江省强基联盟2022届高三下学期6月统测数学试题二）已知数列满足，.

(1)记，写出，，并求出数列的通项公式；

(2)求的前25项和.

2.（云南省大理市辖区2023届高三毕业生上学期区域性规模化统一检测数学试题）已知数列的前n项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列，求数列的前项和．

1.（山东省临沂市2022届高三下学期三模数学试题）已知数列的前n项和分别是，若

(1)求的通项公式；

(2)定义，记，求数列的前n项和．

2.（湖南省长沙市长郡中学2022届高三下学期二模数学试题）已知数列满足，.

(1)记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

1..（2019年天津市高考数学试卷（文科））设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足求.

六、利用等差等比中项证明是否存在等差等比项

例题、已知数列的前n项和为，且，，成等比数列．

(1)若为等差数列，求；

(2)令，是否存在正整数k，使得是与的等比中项？若存n+2在，求出所有满足条件的和k，若不存在，请说明理由．

证明是否构成等差或者等比，多用等差等比中项

1.等差钟祥：若A,B,C成等差数列，则2B=A+C

2.等比中项：若A,B,C成等比中项，则B2=AC

这类题，在实际推导时，因为数列各项项数下标是正整数，所以还多涉及到不等方程的数论分析

已知正项数列，其前n项和，满足.

(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；

(2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由.

1.（湖北省高中名校联盟2023届高三下学期第三次联合测试数学试题）已知数列的前n项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．

2.（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三理科数学试题）在①，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.

设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且___________.

(1)求数列的通项公式；

(2)在数列中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

1.（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．

(1)若，求；

(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．

2.（普通高等学校招生考试数学（理）试题（福建卷）等差数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项与前项和；

（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

七、数列最值

例题、已知数列的前n项和为，且满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)，数列是否存在最大项，若存在，求出最大项.

一般情况下数列最大最小值，转化为“数列型函数”，再借助函数单调性求最值。求最值时候要注意“数列型函数”是离散型。

数列满足，点在直线上，设数列的前n项和为，且满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)是否存在，使得对任意的，都有．

1.（湖北省襄阳市谷城县第一中学2022-2023学年12月月考数学试题）已知数列是公差不为0的等差数列，为的前项和，，且为与的等比中项.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前项和；

(3)若，判断数列是否存在最大项，若存在，求的最大项，若不存在，请说明理由.

2.（2022年北京数学高考真题变式题19-21题）已知是递增的等比数列，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．

1.（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II卷））记为等差数列的前项和，已知，．    （1）求的通项公式；

    （2）求，并求的最小值．

2.（全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷））已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，当为何值时，数列的前项和最大？