专题01 三角函数与解三角形——【备考2023】高考数学大题精练 （全国通用）（原卷版+解析版）

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专题01 三角函数与解三角形

三角函数与解三角形一般处于全国卷第17题或第18题位置，和数列大题轮换出现，在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.
常考题型：三角函数的图象及其性质、正余弦定理求角、求周长范围最值、求面积范围最值、三角形中的各种“线”（中线，角平分线，高等等）、“有角无边”或者“有边无角”函数型、三角函数与解三角形的实际应用。

一、三角函数的图象及其性质
设函数．
（1）当时，若函数的最大值为，求函数的最小正周期；
（2）若函数在区间内不存在零点，求正实数的取值范围．
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）利用三角函数的恒等变换的公式，以及正弦型函数的性质，求得函数的解析式，即可求得函数的最小正周期，得到答案；
（2）（2）由于函数，根据函数在区间内不存在零点，得到，列出不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数
，
因为函数的最大值为，可得，
即，解得，解得，
又因为，所以，
所以函数，故函数的最小正周期为.
（2）由于函数，
因为函数在区间内不存在零点，则，
即，则，由于，所以且，
又因为，所以或，所以正实数的取值范围．

此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。
一、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α (S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，

二、 再通过辅助角公式“化一”，化为
辅助角公式
asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.

三、然后利用三角函数图像和性质，求解计算
1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．要注意转化后对应系数的正负对单调性的影响
2.基本性质：
①定义域：解三角函数不等式用“数形结合”
②值域：由内向外
③单调性：同增异减
3. 周期公式：
①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝
②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝.
4. 对称性：
换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．
①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
5.函数性质：
（1）正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
（2）余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：


已知函数（ω＞0）.
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若方程f（x）＝在区间[0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；
（2）解方程，由第二小的正数解，第三小的正数解大于可得出的范围．
【详解】
（1）
，
因为，所以的值域是．
（2），，，显然，，，因为方程在上只有两个解，又，所以，解得．

1.（2023·吉林·统考二模）己知函数在区间单调，其中为正整数，，且．
(1)求图像的一条对称轴；
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由函数在区间上的单调性确定最小正周期的范围，再由函数值相等即可确定对称轴；
（2）根据对称轴及函数值确定的表达式，再结合最小正周期确定的可能取值，即可得解.
【详解】（1）因为函数在区间单调，
所以函数的最小正周期，
又因为，
所以直线即为图象的一条对称轴；
（2）由（1）知，故，由，得或3．
由为的一条对称轴，所以．
因为，所以或，
若，则，即，
不存在整数，使得或3；
若，则，即，
不存在整数，使得或3．当时，．
此时，由，得．
2.（2023·北京顺义·统考一模）已知函数的一个零点为．
(1)求A和函数的最小正周期；
(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期.
（2）若恒成立，即求.
【详解】（1）的一个零点为
，即，

所以函数的最小正周期为.
（2）当时有最大值，即.
若恒成立，即,所以，故的取值范围为.


1.（山东·高考真题）已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标申长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．求的单调递减区间．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）化简得到，根据偶函数的性质结合周期公式计算得到，，得到函数解析式，代入计算得到答案.
（2）根据题意得到，根据三角函数单调性解不等式得到答案.
【详解】（1）.
为偶函数，对，恒成立，因此.
即，
整理得到.
，且，，又，故，.
，，故，.
故.
（2）根据题意：.
当，即时，函数单调递减.
即 的单调减区间为.
2.（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：







0





0
3
0
-3
0

根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可.
（2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值.
【详解】（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，又因为，所以.
（2）由（1）可知.因为，所以，
因此，当时，即时，，当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.


二、正余弦定理求角
已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求A的大小；
(2)若，求边长a.
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）根据正弦定理化角为边，化简整理，再由余弦定理求出，进而求出的大小；
（2）由两角差的正切公式化简，解出，求出和，根据两角和的正弦公式求出，再由正弦定理求出.
(1)由正弦定理得：，
化简得：，由余弦定理得，
因为，所以.
(2)
由得，又，所以，
则，，
又，则由正弦定理解得 .


利用正余弦定理化角求角
对于sin（）与cos（） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1、 SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆
2、 边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3、 cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC]


1.已知，，分别是的内角，，的对边，，点在边上，，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，由正弦定理角化边，再由余弦定理求得角；
（2）先由的面积为，求出边，解三角形，求得，得到，即求得，再由和角，由余弦定理求得.
【详解】（1）由，由正弦定理，
得，得，又，
又，得.
（2）作示意图如图所示：

由的面积，得，
则，
则，则，
则.
即.
2.（2023·山西临汾·统考一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角计算可得结果.
（2）由余弦定理解三角形及三角形面积公式计算可得结果.
【详解】（1）证明：由及正弦定理得：，
整理得，.因为，所以，所以或，
所以或（舍），所以.
（2）由及余弦定理得:，整理得，
又因为，可解得，则，所以△是直角三角形，
所以△的面积为.


1.（2022·河南开封·统考一模）在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，解出的值；
（2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.
【详解】（1）因为，所以，得，因为，
由正弦定理，可得，又，所以，又因为A，B均为三角形内角，
所以，即，又因为，即，即，
又，得；
（2）若，则，由（1）知，由余弦定理可得
，即，所以或，
当时，，则，即为等腰直角三角形，
又因为，此时不满足题意，所以．
2.（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在中，，，.
(1)求的值.
(2)求的周长和面积.
【答案】(1)(2)周长为；面积为
【分析】（1）根据及求出，根据正弦定理可转化为，代入求出的值，再根据，解出的值.
（2）求出，再根据求出，再根据正弦定理求出，周长就能求了，面积根据求解.
【详解】（1）因为并且，
所以，又因为，所以，所以
因为由正弦定理得：
即即
所以或，又因为，所以与只能同正，所以，故，又因为，所以,.
（2）由（1）得，根据正弦定理得：，所以，
又因为
根据正弦定理：所以的周长为：
的面积为：



1.（2020·全国·统考高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；
（2）因为，所以，即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，所以，故，
即是直角三角形．


三、求周长范围最值
在中，，.
（1）若，求的长及边上的高；
（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）根据，得出，结合余弦定理即可求出的长，再根据等面积法即可求得边上的高；（2）设，根据推出角必为锐角，结合为锐角三角形可得，，根据余弦定理即可求得的取值范围，从而可得的周长的取值范围.
详解：（1）∵∴∴.∵
∴.由等面积法可得，则.
（2）设.∵∴角必为锐角.
∵为锐角三角形
∴角，均为锐角，则，，于是，解得.
故的周长的取值范围为.


若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；


（2023·湖南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，且．
(1)求的值
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）代入，然后逐步化简，即可求解；
（2）由，得，，然后借助二倍角公式，即可求得周长的取值范围.
【详解】（1）在中，由三角形面积公式得:，
由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得：，又，故．
（2）因为，，由正弦定理得，，
即的周长
，因为，则，故，
所以，即的周长的取值范围是.


1.（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，
(1)求的值及函数的对称轴方程；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
【答案】(1)，对称轴方程为：；(2).
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；
（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1），
，因为函数的两个相邻零点间的距离为，
所以函数的最小正周期为，因为，
所以，即，
令，所以对称轴为；
（2）由，
因为，所以，
因为，所以由正弦定理可知：，
所以三角形的周长为，
，
因为，所以，因此，
所以周长的取值范围为.
2.（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．
(1)求C；
(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据正弦定理、余弦定理，结合等比中项的性质进行求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理，由，
因为，所以，
于是由
，
因为，所以；
（2）因为c是a，b的等比中项，所以，
因为的周长为6，所以，
由余弦定理可知：
，或舍去，
所以外接圆的半径为.

1.（2020·全国·统考高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
2.（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
3.（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，所以；
（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，
则，所以，故，
所以，所以的周长为.


四、求面积范围最值
在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，求的面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由两边同除以，
可得，
由正弦定理可得，
即，∵，∴，∴，
∵，∴，即.又，可得.
（2）由正弦定理知，由（1）知，∴，
∴
又，为锐角三角形，可得， ∴，∴，即.
又，故.

在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.


（2023·广西桂林·统考模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，为外一点（、在直线两侧），，，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；
（2）由余弦定理得到，再由为等腰直角三角形可得，又，即可得到，再由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：在中，∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，
又∵，故，∴，即，又∵，∴．
（2）解：在中，，，∴，
又，由（1）可知，∴为等腰直角三角形，∴，
又∵．∴，
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为．


1.．（2023·陕西铜川·校考一模）已知的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若．
(1)求角A的值；
(2)若，求面积S的最大值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）由已知可推得.由正弦定理可得，进而得出，即可得出；
（2）由余弦定理可得，.结合基本不等式可得出，代入面积公式即可得出最小值.
【详解】（1）由已知可得，.
因为，所以，所以，整理可得，
由正弦定理得，
即.又，所以.
由于，所以．
（2）由余弦定理，可得.又，当且仅当时取得等号，
所以.所以，面积，
所以，面积S的最大值为．
2.（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为m，n，，，.

(1)求；
(2)若，，，记，求线段的长和面积的最大值.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【分析】（1）由已知可推出，整理得到.根据的范围可得，进而即可得出；
（2）由已知可得，进而根据即可得出，根据，即可得出三角形面积的最大值.
【详解】（1）已知，由正弦定理可得
，由，
所以，即，
所以.因为，，，
所以，则，所以.
（2）在中，由余弦定理得知：，
即，因为，所以.
因为，所以.



，.因为，，
所以，当，即时，面积有最大值.

1.（·江西·高考真题）如图，已知是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过的中心G，设．

（1）分别记，的面积为，，试将，表示为的函数．
（2）求的最大值与最小值．
【答案】(1)，． (2) 最大值240,最小值216
【分析】（1）根据点是正的中心，可求得，进而利用正弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得，同理可得；
（2）把（1）中求得和代入求得函数的解析式，进而根据的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值．
【详解】（1）点是正的中心，．
在中，，，
．
在中，同理，可得．
，
．
（2）


，当时，；
当或时，．
2.（2019·全国·统考高考真题）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．




五、三角形中的各种“线”（中线，角平分线，高等等）
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．
(1)求B；
(2)已知点D在边AC上，且BD是的平分线，，求的最小值．
【答案】(1);(2).
【分析】（1）由已知条件及正弦定理求出，再结合B的取值范围即可求得B；
（2）由角平分线的定义结合三角形的面积公式，求出，再利用基本不等式即可求出a+ c的最小值.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以.
（2）因为是的平分线，所以，
又，所以，
化简得，所以，
所以
当且仅当时，等号成立.即的最小值为.

中线的处理方法

1.向量法：
双余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可

3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

4.中线分割的俩三角形面积相等
高的处理方法：
1. 等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：


角平分线：“拆”面积法




角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：



（2023·福建漳州·统考二模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．
(1)求B；
(2)已知点D在边AC上，且BD是的平分线，，求的最小值．
【答案】(1);(2).
【分析】（1）由已知条件及正弦定理求出，再结合B的取值范围即可求得B；
（2）由角平分线的定义结合三角形的面积公式，求出，再利用基本不等式即可求出a+ c的最小值.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以.
（2）因为是的平分线，所以，
又，所以，
化简得，所以，
所以
当且仅当时，等号成立.即的最小值为.

1.（2023·云南曲靖·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大小；
(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角B.
（2）由余弦定理与重要不等式可得△ABC面积最大时a、c的值，在△ABD中应用正弦定理可解得AD的值.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，又∵，∴．
（2）在△ABC中，由余弦定理得，
即．∵，，∴，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当a＝c＝2时，，
又∵△ABC面积为，∴当且仅当a＝c＝2时△ABC面积最大．
当a＝c＝2时，．又∵为的角平分线，∴
∴在△ABD中，，
∴在△ABD中，由正弦定理得．
2.（2023·贵州毕节·统考一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若．
(1)求角；
(2)若，求边上的高的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答.
（2）由（1）可得，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，
即有，而，，即，，
因此，，所以．
（2）令边上的高为，由，得，
由（1）知，，即，则，
所以边上的高的取值范围是.

（2021·全国·统考高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，

而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．

由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．


六、“有角无边”或者“有边无角”函数型
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.
（2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于的对勾函数，研究其值域即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，∴，又∵，∴，
又，即，∴，又∵，∴.
（2）由（1）知，
①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立；
②当时，因为，所以，
所以．
由，得．
所以，
故．
因为，所以，，
令，则，
所以在上单调递增，所以，所以的取值范围为．


有边无角或者有角无边，借助正余弦定理，把需要求解的式子转化为以角的三角函数为变量的函数，或者转化为以边为变量的式子，再用均值等求解最值范围的方法转化求解



（2023·广东茂名·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求证：.
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；
(2)结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解.
【详解】（1）在中，
由及正弦定理得：又∵，
∴
即
，
∵，∴.∵，∴，
（2）得：得，∴，∴，
由题意，及正弦定理得：



∵，∴，即故的取值范围为
方法二：由正弦定理得：
∵，∴，

由（1）得：，故


由（1）得：得，∴，∴，
∴，即，故的取值范围为


1.（2023·全国·模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)4(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，结合正弦定理可得的值；
（2）分析可知，设，记，由余弦定理结合已知条件求出的取值范围，再利用正弦定理结合对勾函数的单调性可求得所求代数式的取值范围.
【详解】（1）解：即，
即，
由正弦定理可得，所以，．
（2）解：由三角形为锐角三角形，则，
若，则，此时，矛盾，所以，，不妨设，
由余弦定理可得，记，可得，解得，
又因为函数在上单调递增，
所以，.
2.（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在锐角三角形中,角的对边分别为,向量, ,且.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标形式,得到中边和角之间的等式关系,根据正弦定理将角化为边,解得边之间关系,再根据余弦定理即可求得角;
（2）由于为锐角三角形,画出图形找到临界条件,再根据,求出边与边之间的不等式关系,根据可得,将等式代入不等式中,即可得边长的范围,将代入中,构造新函数求导求单调性,求出范围即可.
【详解】（1）解:由题知, ,,
所以有:①,
在中,由正弦定理可得:,
代入①中有:,
展开移项后可得:,
即,
因为是的三边,
所以上式可化为:,
在中,由余弦定理可得:
,
因为,所以;
（2）在中,过点向作垂线,垂足为,过点作的垂线,交延长线于点,如图所示:
因为为锐角三角形,所以点在线段上（不含端点）,
即,由（1）可得,且,所以,所以,
因为,所以,即,由,所以,
解得: ,所以,令,,由对勾函数的性质可得在上单调递减,
故,即.


1.（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.结合余弦定，
∴，即，
即，即，
即，∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：


.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
2.（2020·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.

七、三角函数与解三角形的实际应用
小军在校园内测对岸广电大厦楼顶无线塔的高度，他在校园水平面上选取两点，测得，测得，，，，.

(1)求；
(2)求无线塔的高度.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；
（2）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得.
【详解】（1），，，
在中，由正弦定理得：.
（2），，，
在中，由正弦定理得：；
在中，由余弦定理得：，
.



实际应用题多涉及测量学等相关知识，以下一些测量角度等可做了解


1.如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）.

(1)当时，求线段的长度；
(2)设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）在中求得，然后在中由勾股定理求得；
（2）在中由正弦定理求得，然后在中由余弦定理求得，再利用三角函数恒等变换，结合正弦函数性质得最大值．
【详解】（1），，则，又，
∴，，，
∴；
（2），则，
由正弦定理得，
由余弦定理得



，
由三角形知，，
当且仅当，即时，取得最大值3，工厂产生的噪音对居民的影响最小．
2.为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.

(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
【答案】(1)(2)1000米.
【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的关系可求解；
（2）由余弦定理可求解.
（1）
在中，由正弦定理得，
即，
所以，
由题可知，，
所以，即.
（2）
由（1）可知，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
故两隧道口间的距离为1000米.


1.（河南省百所名校2022年高三第四次大联考数学试题）2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，.

(1)求步行道BE的长度；
(2)若沿海的区域为绿化带，，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积.
【答案】(1)(2)，
【分析】(1)由正弦定理及勾股定理可求解;
(2)由余弦定理、基本不等式及三角形面积公式可求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理知，
∴，解得.
∵，，∴，
∴.
∵为等腰三角形，
∴，，即步行道的长度为.
（2）在中，由余弦定理知，
∴，
∴，即，
当且仅当时，等号成立，此时，即的最大值为.
∵的周长为，
∴绿化带的周长最大为，
此时绿化带的面积.
2.（四川省成都市第七中学2023届高三上学期零诊模拟检测理科数学试题）由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记．

(1)当时，求；
(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．
【答案】(1)；
(2)，；当时，取得最大值.

【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；
（2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.
【详解】（1）根据题意，在△中，，又，
故由正弦定理可得：
解得，，
故.
即.
（2）由题可知，在△中，，
则由正弦定理，可得，
故可得，
故



.
即.
当时，，此时取得最大值.

1.（普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
【答案】（1）124m.（2）55m.
【详解】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.
由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，
所以tan(α－β)＝，
当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.
2.（普通高等学校招生考试数学（理）试题（琼、宁卷））如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.

【答案】
【详解】在△BCD中，
.
由正弦定理得

所以

在Rt△ABC中，

塔高为.