07等腰三角形的判断与性质（解答题提升题）-上海市2022年七年级数学下学期期末试题高频考点汇编

这是一份07等腰三角形的判断与性质（解答题提升题）-上海市2022年七年级数学下学期期末试题高频考点汇编，共18页。试卷主要包含了已知，阅读并填空等内容，欢迎下载使用。
2．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）已知：如图，中，，为的高，点在边上，与交于点，且．说明的理由．
解：为的高，
（_____）．
______，，
．
（_____）．
在与中，
，
∴≌（_____）（完成以下说理过程）．
3．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(4，0)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形．
(1)这样的等腰三角形有______个；
(2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标．
4．（2022春·上海·七年级期末）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．
试说明∠D＝90°+∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝ （角平分线定义）．
同理：∠2＝ ．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（ ），
所以 （等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：
①如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ．
②如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ．
（3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由．
5．（2022春·上海·七年级期末）已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．
(1)如图1，当CD⊥AB时，求PA的长；
(2)如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
6．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
7．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，中，，且、、分别是、、边上的点，，，点是的中点，猜想和的位置关系，并说明理由．
8．（2022春·上海·七年级校联考期末）在等边中，，垂足为，延长到，使，连结、．
(1)与有怎样的关系？请说明你的理由．
(2)把改成什么条件，还能得到中的结论？
9．（2022春·上海·七年级校联考期末）在中，，，，与相交于点，如图，的大小与的大小有什么关系？
若，，则与大小关系如何？
若，，则与大小关系如何？
10．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．
(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
11．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知∠B＝∠C，D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线，试说明AE与BC平行的理由．
12．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
13．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线干点E，求∠ADE的度数．
14．（2022春·上海·七年级期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD=BE；
（2）试说明ADBE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
15．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数．
参考答案：
1．120°或20°
【分析】等腰三角形两内角的度数之比为，不能确定谁是顶角，需要分类讨论进行解答.
【详解】解：①顶角为底角的4倍，则设三角形的三个内角为，，，
则，解得，，则顶角为.
②底角为顶角的4倍，则设三角形的三个内角为，，，则，解得，则顶角为.
【点睛】本题考查了等腰三角形的概念，解题的关键是理解等腰三角形的概念进行分类讨论.
2．三角形高的定义；；同一个三角形中，等角对等边；SAS，理由见解析
【分析】根据每一步的过程写理由，找寻使三角形全等的条件并写出对应的依据．再根据≌，得，通过等量代换得，从而结论得证．
【详解】为的高，
（三角形高的定义，
，，
，
同一个三角形中，等角对等边，
在与中，
，
≌．
，
，
，
，
．
故答案为：三角形高的定义； 180 ；同一个三角形中，等角对等边；SAS．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．同时还要注意解题的完整性，不要漏写的理由．
3．(1)8
(2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)．
【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论；
（2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解．
（1）
分类讨论：①当AB=BC时，如图，和；
②当AB=AC时，如图，和；
③当BC=AC时，如图和．

综上可知满足条件的点C有个，
故答案为：；
（2）
当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，．
∴，，，
∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；
当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，．
∴，，，
∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
4．（1），，三角形的内角和等于180°；；（2）①；②；（3）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和，三角形的内角和等于180°，表示角度的数量关系，根据等式的性质求解即可；
（2）求解方法同（1）；
（3）根据角平分线的定义，三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和，三角形的内角和等于180°，求解∠D＝∠DFC，根据等角对等边说明DC＝FC即可．
【详解】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以（角平分线定义）．
同理：．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°），
所以（等式性质）．
即：．
故答案为：，，三角形的内角和等于180°，．
（2）①解：∠D与∠A之间的等量关系是：．
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
②解：∠D与∠A之间的等量关系是：．
∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，，
∵∠DCE＝∠DBC+∠D， 2∠DCE＝∠A+2∠DBC，
∴2∠DBC+2∠D＝∠A+2∠DBC，
∴∠A＝2∠D，
∴∠D＝，
故答案为：∠D＝．
（3）解：因为 BF平分∠ABC（已知），
所以∠DBC＝∠ABC（角平分线定义）．
同理：∠ACF＝∠ACB，∠DCA＝∠DCE＝∠ACE．
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和），
∴．
又∵∠A＝90°（已知），
∴∠D＝45°（等式性质）．
∵∠ACB+∠ACE＝180°（平角的定义），
∴∠FCD＝∠FCA+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝90°．
∵∠D+∠DFC+∠FCD＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠DFC＝45°（等式性质）．
∴∠D＝∠DFC（等量代换）．
∴DC＝FC．（等角对等边）．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质的应用，三角形内角和定理，角平分线，等角对等边等知识．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5．(1)4
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式以为底，为高得出，进而利用勾股定理得出即可．
（2）延长，过A作，利用平行四边形的性质可得解答即可．
（1）
解：（1），的面积为9，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
的长为4．
（2）
（2）线段，，的数量关系为：，
延长，过作，AO与BD的延长线交于点O，如图所示，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵是 的中点，
∴延长 肯定可以过点点，
∴，
，
，
．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质进行解答，属于中考常考题型．
6．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【详解】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中
∵，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键．
7．垂直平分，理由见解析
【分析】根据题意，证明≌可得，根据等腰三角形三线合一，结合是的中点，即可得证．
【详解】垂直平分，理由如下：
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又点是的中点，
垂直平分．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明≌是解题的关键．
8．(1)，理由见解析
(2)是边的中线或是的平分线
【分析】（1）由等边三角形的性质CD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，由CE＝BC，得CE＝CD，则有∠E＝∠CDE，再由三角形的外角性质∠ACD＝∠E＋∠CDE，即有∠E＝∠ACD，从而得∠E＝∠CBD，故得BD＝DE；
（2）根据等边三角形的性质，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，据此进行求解即可．
（1）解：，理由如下：等边，，，，，，，是的外角，，，，；
（2）解：∵是等边三角形，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，可把改为：是边的中线或是的平分线，（1）的结论仍然成立．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是对等边三角形的“三线合一”的掌握．
9．．
【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质即可计算．
【详解】解：，，，
，
即；
，，
，
即；
，，
，
即．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握三角形内角和定理．
10．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，推出∠DAC＝∠EBC，即可证明△AEF≌△BEC；
（2）根据AF＝BC，AF＝2BD，推出D是BC的中点，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等推出AB＝AC，利用等腰三角形三线合一的性质即可求证AD平分∠BAC．
（1）
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°
∴∠DAC＝90°﹣∠C，∠EBC＝90°﹣∠C
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA）；
（2）
解：由（1）知，AF＝BC，
∵AF＝2BD，
∴BC＝2BD，
∴D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，
∴AB=AC
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解答本题的关键．
11．见解析
【分析】根据AE是∠DAC的角平分线和∠B＝∠C，求出∠DAE＝∠B，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到AE与BC互相平行．
【详解】解：AE与BC平行，理由是：
∵AE是∠DAC的平分线，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，
∴∠DAC＝2∠B，
∴∠DAE＝∠B，
∴．
【点睛】本题主要利用角平分线的定义，等边对等角的性质，平行线的判定定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
12．理由见解析．
【分析】利用一线三直角模型证明AE=ED，从而利用等腰三角形三线合一的性质即可．
【详解】解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
又∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝ED，
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．
【点睛】本题考查了一线三直角全等模型，等腰三角形的三线合一，熟练掌握三角形全等证明是解题的关键．
13．110°
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角，等腰三角形的三线合一”是解本题的关键.
14．（1）见解析；（2）见解析；（3）AD与BE的位置关系不发生改变，理由见解析
【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE；
（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，即可得到∠BPD=∠DCA=90°；
（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．
【详解】（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，
∴∠CBA=∠CAB，
∴BC=CA，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠CAD+∠ADC=90°，∠BDP=∠ADC，
∴∠CBE+∠BDP=90°，
∴∠APB=90°，
∴AD⊥BE；
（3）AD与BE的位置关系不发生改变．
如图2，
∵，
∴，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∵△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，
∵∠BFP=∠AFC，
∴∠BPF=∠ACF=90°，
∴AD⊥BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．
15．∠A＝36°．
【分析】设∠A=x°．在△ABD中，由等边对等角得到∠A=∠ABD=x°，由三角形外角的性质得到∠BDC=∠A+∠ABD=2x°．在△BDC中，由等边对等角得到∠BDC=∠BCD=2x°．
在△ABC中，由等边对等角得到∠ABC=∠BCD=2x°，由三角形内角和定理得到x+2x+2x=180，解方程即可．
【详解】设∠A=x°．
∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，
∠BDC=∠A+∠ABD=2x°．
∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°，
在△ABC中，x+2x+2x=180，
解得：x=36，∴∠A=36°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键．