12 直线及直线与圆位置关系——【冲刺2023】高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版+解析版）

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易错分析
一、使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错
1． 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．
【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0，
则直线3x―y+5=0与6x―2y+3=0间的距离．
【错因】
【正解】
二、有关截距相等问题忽略截距为零致错
2、直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
【错解】因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,
则,所以,故直线l的方程为,即.【答案】。
【错因】
【正解】
3．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．
【错解】设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，
即直线方程为x－y＋8＝0. 答案：x－y＋8＝0
【错因】
【正解】
三、已知两直线平行求参数的值未验证致错
4．已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________．
【错解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3
【错因】
【正解】
四、未讨论参数的取值致错
5.已知直线：，：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【错解】C，因为，则，即，解得，
所以“”是“或”的充要条件.
【错因】
【正解】
五、误用点线距离公式致错
6.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )
A．B．C．D．
【错解】由点到直线的距离公式知
【错因】
【正解】
7. “ a=b” 是“直线与圆 ( )
A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分又不必要条件
【错解】当时圆心坐标为圆心到直线的距离为与半径相等，
故是直线和圆相切的充分条件，同理直线与圆相切时，
圆心到的距离为，
故是直线与圆相切的充分必要条件. 选A。
【错因】
【正解】
六、忽视切线斜率不存在致错
8．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
【错解】选B，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝eq \f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
【错因】
【正解】
9．已知直线l过点(5,10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程为____________．
【错解】设其斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，
由点到直线的距离公式得eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4).故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
答案：3x－4y＋25＝0
【错因】
【正解】
10．若直线过点P(4,1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为______________．
【错解】设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝eq \f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))，则2eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))))2)＝6，解得k＝－eq \f(15,8)，所以直线方程为15x＋8y－68＝0.
答案：15x＋8y－68＝0
【错因】
【正解】
七、混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交致错
11.若曲线C：x2+(y+1)222=1与直线：x+y+a=0有公共点，则实数a的取值范围为__________．
【错解】因为曲线C与直线有公共点，故联立方程得，
消去x，化简得.2y2222+2(a+1)y+a222=0,则
则实数a的取值范围为。
【错因】
【正解】
八、忽略方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件致错
12、已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围．
【错解】将圆C的方程配方有(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq \f(4－3a2,4).
∴圆心C的坐标为(－eq \f(a,2),－1),半径r＝eq \f(\r(4－3a2),2).
当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,
∴|AC|>r, 即>eq \f(\r(4－3a2),2),
化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R.
【错解】
【正解】
九、忽视隐含条件致错
13．若点(1,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))
【错解】选A，∵点(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2＞2a2，即5－2a＞0，a＜eq \f(5,2)，
∴实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2)))
【错因】
【正解】
14．已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________．
【错解】因为点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.
所以当y＝2时，x2＋4y取得最大值为5. 答案：5
【错因】
【正解】
十、由直线的一般式方程求斜率时忽略符号致错
15．已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 ( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
【错解】A，两直线平行故斜率相等可得：∴m=0.故选A.
【错因】
【正解】
16.设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+csa=0,则a、b满足 ( )
A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0
【错解】C.
【错因】
【正解】
十一、计算不严谨致错
17．已知直线L过点（-2，0），当直线L与圆有两个交点时，其斜率k取值范围是

【错解】设此直线为圆心到直线的距离刚好好等于半径（即相切）时，
故选D .
【错因】
【正解】
圆心为( 1 ,2 ) 且与直线7=0相切的圆的方程为__________.
【错解】圆心到直线的距离等于半径，即
圆的方程为
【错因】
【正解】
易错题通关
1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为( )
A．0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D．不存在
2．(多选)若直线l过点A(1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
3．(多选)直线l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，l2：(a－1)x＋(a2＋a)y＋2＝0，l1∥l2，则a的值可能是( )
A．－1 B．0 C．1 D．－2
4．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则该圆的标准方程为( )
A．(x＋3)2＋y2＝25 B．(x－3)2＋y2＝25
C．(x±3)2＋y2＝25 D．(x＋9)2＋y2＝25
5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6．直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
7．已知直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．或D．不存在
8. 直线和直线垂直，则实数的值为（ ）
A．或B．
C．D．
9.过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
10. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．B．
C．或D．或
11．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12. 经过点可做圆的两条切线，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
13.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（ ）
A．20B．－4C．0D．24
14.若直线平行，则与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
15.若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（ ）
A．1B．C．2D．
16．已知点在圆的外部（不含边界），则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
17．过点作直线l，满足在两坐标轴上截距相等的直线l有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
18．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
19．已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当 最大时，△APB的面积为（ ）
A．B．1C．2D．
20．当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
21．已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使D．存在点M，使为等边三角形
22．下列命题正确的是（ ）
A．已知点，，若直线与线段有交点，则或
B．是直线：与直线：垂直的充分不必要条件
C．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为
D．已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.
23．下列说法错误的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．四点不在同一个圆上
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
24．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
25．若半径为r，圆心为(0,1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r的值等于________．
26．经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________________．
27．线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
28．过点作圆的切线有两条，则的取值范围是________
29．在△ABC中，A（3，3），B（2，―2），C（―7，1），求∠A的平分线AD所在直线的方程．
30、 a为何值时,(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？
31.已知直线经过点．
(1)若原点到直线的距离为2，求直线的方程；
(2)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．