2023年浙江省杭州市中考模拟训练卷（含答案）

2023年浙江省杭州市中考模拟训练卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．-2的绝对值是（   ）
A．2 B． C． D．
2．年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为人以上．数据用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
3．在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（    ）
A． B． C． D．
4．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是(   )

A． B． C． D．
5．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数
3
4
8
5
课外书数量（本）
12
13
15
18

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（    ）A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15
6．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．如图，，，是上的三点，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
8．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（    ）
A． B． C． D．
9．如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（    ）
①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题
11．因式分解：________．
12．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．

13．已知当时，的值为3，则当时，的值为_____．
14．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 _____．

15．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则______________．

16．如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________．


三、解答题
17．（1）计算；； （2）化简：．
18．为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
19．我市某校准备成立四个活动小组：．声乐，．体育，．舞蹈，．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽查了　 　名学生，扇形统计图中的值是　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
20．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．

（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
21．如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．

(1)求证：平分；
(2)若，，求线段的长．
22．如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，．

(1)与的位置关系为_______；
(2)求证：是的切线；
(3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：)
23．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．
(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．

2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：数据用科学记数法表示应为．
故选：B.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
3．C
【分析】根据俯视图与左视图的概念依次判断即可．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】解：A、俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B、俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C、俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D、俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．
4．B
【分析】如图，易知三角板的为直角，直尺的两条边平行，则可得的对顶角和的同位角互为余角，即可求解．
【详解】如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行，

∴，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
5．D
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．
【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数，众数为15．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．
6．C
【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.
【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.
故选C.
【点睛】本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义.
7．B
【分析】由圆周角定理，即可求得的度数，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数．
【详解】解：连接，

，
，
，
．
故选：B
【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
8．C
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
9．C
【分析】先求出矩形对角线的长度，再估算取值范围即可得出答案．
【详解】矩形的对角线长：，
∵矩形可以在该正方形的内部以及便捷通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换成竖放，
∴该正方形的边长不小于，
∵，
∴该正方形边长的最小正数n为12，
故答案选择C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，难度较高，需要熟练掌握相关基础知识．
10．C
【分析】根据相似三角形的判定得出，利用相似三角形的性质及已知，的值即可判断结论①；由①分析得出的条件，结合相似三角形、矩形的性质（对角线）即可判断结论②；根据直角坐标系上点的表示及结论①，利用勾股定理建立等式求解可得点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标得出点坐标，即可判断结论③；由③可知，进而得出的值，根据矩形的性质即可判断结论④；根据矩形的性质及④可知，利用三角形的面积公式求解即可判断结论⑤．
【详解】解：∵矩形ABCD的顶点A在第一象限，轴，垂足为F，
,，．
，
．
，，
，即．（①符合题意）
，，
，．
．
AE平分．（②符合题意）
，
点的横坐标为4．
，
，即．
，点的纵坐标为．
．
点与点关于原点对称，
．（③符合题意）
，
．（④不符合题意）
，
．（⑤符合题意）
结论正确的共有4个符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形与坐标的综合应用．涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角坐标系上点的表示，关于原点对称的点的坐标，三角形的面积公式等知识点．矩形的对角线相等且互相平分；两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边成比例；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点位．灵活运用相关知识点，通过已知条件建立等式关系是解本题的关键．
11．
【分析】利用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了提取公因式法分解因式．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．##
【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．
【详解】解：过点D作交于点E，如图：

则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知：，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
13．
【分析】把代入代数式求出a、b的关系式，再把代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：当时，，
整理得，，
当时，





．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，把a、b的关系式看作一个整体参与运算是解题的关键．
14．
【分析】延长交于点，过点作于点，根据旋转的性质得出，继而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，

∵，将绕点逆时针旋转，得到，
∴,，
∴
∴，
过点作于点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．8
【分析】如图作EF⊥BC，由矩形的性质可知，设E点坐标为（a，b），则A点坐标为（c，2b），根据点A，E在反比例函数上，根据反比例函数系数的几何意义可列出ab=k=2bc，根据三角形OEC的面积可列出等式，进而求出k的值．
【详解】解：如图作EF⊥BC，则，

设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，
则可设A点坐标为坐标为（c，2b），
∵点A，E在反比例函数上，
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，
故，解得：bc=4，
∴k=2bc=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
16．
【分析】过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解．
【详解】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
若使的值为最小，也就相当于为最小，
∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示：

∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可．
17．（1）4；（2）.
【分析】（1）针对二次根式化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）应用完全平方公式和单项式乘多项式展开后合并同类项即可．
【详解】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题考查了二次根式化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及整式的混合运算，掌握完全平方公式是解题的关键．
18．(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
(2)社区至少要准备2700元购书款．

【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求解；
（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意可分当时，当时及当时，进而问题可分类求解即可．
【详解】（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：
，解得：；
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：
①当时，则有：，
∵12＞0，
∴当m=30时，w有最小值，即为；
②当时，则有：，
∵-1＜0，对称轴为直线，
∴当时，w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w有最小值，即为；
③当时，此时科技类图书的单价为（元），则有，
∵2＞0，
∴当m=51时，w有最小值，即为；
综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意分类讨论．
19．(1) 50，32；(2)见解析；（3）
【分析】（1）根据D组的人数及占比即可求出本次抽样调查共抽查的人数，故可求出m的值；（2）用调查总人数减去各组人数即可求出B组人数，再补全条形统计图；
（3）根据题意列出树状图，再根据概率公式即可求解.
【详解】解：（1），
所以本次抽样调查共抽查了50名学生，
，即；
故答案为50，32；
（2）B组的人数为（人），
全条形统计图为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，
所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的样本容量.
20．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.
【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上，
则

设直线为：
则
所以直线为：
（2） 轴， ．



所以反比例函数为：
（3）设 而为的中点，





【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据切线性质得出，根据，得出，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，即可得出答案；
（2）由平行线分线段定理得，再证明，可得，最后证明，进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接，交于点G，如图所示：

∵与相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵的平分线交于点M，
∴，
∴，
即：，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，证明，是解题的关键．
22．(1)相切
(2)见解析
(3)

【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；
（2）过点作于点，连接，通过证明，利用直线与圆相切的定义解答即可；
（3）过点作于点，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．
【详解】（1）解：，点为圆心，为半径，
圆心到直线的距离等于圆的半径，
为的切线，
与的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点作于点，连接，如图，

，为底边的中点，
为的平分线，
，，
，
为的半径，
为的半径，
是的切线；
（3）解：过点作于点，如图，

，，
，
，
．
，
，
，，
为的平分线，
．
在中，
，
∴
的直径．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．
23．(1)②③
(2)3或；
(3)

【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
【详解】（1）解：∵点到x轴的距离为2，大于1，
∴不是反比例函数图象的“1阶方点”，
∵点和点都在反比例函数的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，
∴和是反比例函数图象的“1阶方点”，
故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），
当a＞0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，
则过点（－2，2）或（2，－2），
把（－2，2）代入得：，解得：（舍去）；
把（2，－2）代入得：，解得：；
当a＜0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，
则过点（2，2）或（－2，－2），
把（2，2）代入得：，解得：；
把（－2，－2）代入得：，解得：（舍去）；
综上，a的值为3或；

（3）∵二次函数图象的顶点坐标为（n，），
∴二次函数图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，
∵y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，
∴二次函数的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点，
如图，当过点（n，－n）时，
将（n，－n）代入得：，
解得：，
当过点（－n，n）时，
将（－n，n）代入得：，
解得：或（舍去），
由图可知，若y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：．

【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．