江苏省南京市树人学校2022-2023学年+九年级下学期第一次月考数学卷+

这是一份江苏省南京市树人学校2022-2023学年+九年级下学期第一次月考数学卷+，共22页。试卷主要包含了本试卷共 6 页，若代数式，因式分解等内容，欢迎下载使用。


数学
注意事项：
1．本试卷共 6 页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．
2．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案．答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题
一律无效．
3．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．没有稳定的国防，就没有人民的安宁．2023 年，中国国防预算约为 15537 亿元，将 15537 亿用科学计数法表示为
（
）
A．1.5537×1012
2．下列计算结果是 a5 的是（
A．a2+a3
B．15.537×1011
）
C．1.5537×1013
D．0.15537×1013
B．a10÷a2
C．（a2）3
D．a2•a3
3．若有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则化简|a+c|+|b﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（
）
A．﹣2b
4．以 O 为中心点的量角器与直角三角板 ABC 按如图方式摆放，量角器的 0 刻度线与斜边 AB 重合．点 D 为斜边 AB
上一点，作射线 CD 交弧 AB 于点 E，如果点 E 所对应的读数为 52°，那么∠BCD 的大小为（
B．﹣2a﹣2c
C．﹣2b+2c
D．2a﹣2b
）
A．52°
5．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点 A 为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC 相似，
且相似比为 1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（
B．60°
C．64°
D．69°
）
A．
B．
C．
D．
第1页（共 6 页）


6．如图，△APB 中，AB＝2 2，∠APB＝90°，在 AB 的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形 PCDE 面
√
积的最大值是（
）
3
2
2 2
2
A．1
B．2
C．
D．
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
7．一个数的相反数是－0.7 ，则这个数的倒数是
▲
．
x +1
x − 2
8．若代数式
有意义，则 x 的取值范围是
▲
．
2
2 2
▲
9．因式分解：16a −a b ＝
．
8 + 18
10 ．
－ 16 =
▲
．
2
2
▲
11．设 x 、x 是一元二次方程 x −2x−m＝0 的两个根，且 x x ＝1，则 m＝
．
1
2
1 2
12．一个圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥母线长与底面半径的比值为
▲
．
13．如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC、BD 交于点 O，则∠AOD 的度数为
▲
．
푘
푥
14．已知点 A（4，2）为函数 y= 图象上一点，点 P 为该函数图象上不与 A 点重合的另一个点，且满足 OA＝OP，
则所有可能的点 P 的坐标为
▲
．
15．DF 为菱形 ABCD 边 AB 上的高，将△AFD 沿 DF 翻折得到△EFD，DE 与直线 BC 相交于点 G．若∠EGC＝70°，
则∠A＝
▲
．
16．已知二次函数 y＝x2−2（k+1）x+k2 2k 3 与 x 轴有两个交点，当 k 取最小整数时的二次函数的图象在 x 轴下方
− −
的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线 y＝x+m 有三个不同公共
点时 m 的值是
▲
．
第2页（共 6 页）


三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
푎2−4
1
2
17．（2×5分=10分 ）（1）计算：2 3 cos30°+
（− ）
1
−
1
−
3
27
； （ ）化简：（
2
−
）÷
．
푎2−4푎+4
푎2−2푎
2−푎
1
3
2
푥＜6 −
푥
18．（6分）解不等式组：{2
，并写出该不等式组所有的整数解．
푥−2 푥−3
3
≥
4
19．（6 分）甲，乙两地相距 360km，两人分别从甲地乘早 7 时出发的普通客车和早 8 时 15 分出发的豪华客车去乙地，
两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是 4:3，两车的平均速度分别是多少？
20．（7 分）某学校开展了该校八年级部分学生的综合素质测评活动，随机选取了该校八年级的 50 名学生进行测评，
统计数据如下表：
测评成绩
80
85
90
95
100
（单位：分）
人数
5
10
10
20
5
（1）这 50 名学生的测评成绩的平均数是
▲
分，众数是
▲
分，中位数是 ▲ 分，方差是 ▲ 分 2 ；
（2）若该校八年级共有学生 300 名，测评成绩在 90 分以上（包含 90 分）为优秀，试估计该校八年级优秀学生共
有多少名？
21．（6分）把算珠放在计数器的 3 根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数 210．
（1）若将一颗算珠任意摆放在这 3 根插棒上，则构成的数是三位数的概率是
▲
；
（2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这 3 根插棒上，先放一
颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．
第3页（共 6 页）


퐴퐷
퐶퐷
퐶퐷
퐵퐷
22．（6分）如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且
=
．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB 的大小．
23．（7 分）如图，在一座建筑物 CM 上，挂着“美丽南京”的宣传条幅 AC，在建筑物的 A 处测得地面上 B 处的俯角
为 30°，测得 D 处的俯角为 45°，其中点 A、B、C、D、E 在同一平面内，B、C、D 在同一条直线上，
求宣传条幅 AC 长．
▲
，
给出下列条件：①BD＝50 米；②D 到 AB 的距离为 25 米；③AM＝20 米；
请在 3 个条件中选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题（结果保留根号）．
24．（8分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 为边 AC 上一点．
（1）尺规作图：在边 AB 上找一点 E，使得∠DEA＝2∠BDE．
（2）在（1）的条件下以点 E 为圆心，EB 为半径的圆分别与 AB，BC 交于 M，N 点，且∠DEM＝∠DEN．
求证：AC 与⊙E 相切．
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25．（10 分）某单位准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线 ABC 表示墙面，已知 AB⊥BC，AB＝3 米，BC＝1
米）和总长为 14 米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场 DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间 GH 也是用篱笆
隔开），点 D 可能在线段 AB 上（如图 1），也可能在线段 BA 的延长线上（如图 2）， 点 E 在线段 BC 的延长线上．
（1）当点 D 在线段 AB 上时，
①设 DF 的长为 x 米，请用含 x 的代数式表示 EF 的长并写出 x 的取值范围；
②若所围成的小型农场 DBEF 的面积为 12 平方米，求 DF 的长；
（2）当点 D 在线段 BA 延长线上，DF 为多少时，小型农场 DBEF 的面积最大？最大面积为多少平方米？
26．（10 分）将一张矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0）， 点 C 的坐标为（0，4）．D 是
BC 边上的一个动点（点 D 不与点 B，C 重合），将△ODC 沿 OD 翻折得到△ODC′，设 CD＝x．
（1）如图 1，若∠COD＝18°，则∠BDC′＝
▲
°；
（2）如图 2，连接 AC′，当 x＝2 时，求△OAC′的面积；
（3）连接 BC′，当△BDC′为直角三角形时，求 x 的值．
第5页（共 6 页）


27．（12分）
【阅读理解】三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，
则称这个点为三角形该边的“高光点”．
如图 1，△ABC 中，点 D 是 AB 边上一点，连接 CD，若 CD2＝AD•BD，则称点 D 是△ABC 中 AB 边上的“高光点”．
【探究应用】
（1）如图 2，△ABC 的顶点是 4×4 网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB 边上的“高光点”；
．．．．
√2
2
3
4
（2）如图 3，△ABC 中，AB＝14，cosA= ，tanB= ，若点 D 是 AB 边上的“高光点”，求线段 AD 的长；
（3）如图 4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点 H 在 AB 上，连接 CH 并延长交⊙O 于点 D，若点 H 是△ACD 中 CD
边上的“高光点”．
①求证：AH＝BH；
퐷퐻
②若 BC⊥CH，⊙O 的半径为 r，且 r= AD，求 的值．
3
2
퐶퐻
图 1
图 2
图 3
图 4
第6页（共 6 页）


参考答案与试题解析
一．选择题（共 6 小题）
1．没有稳定的国防，就没有人民的安宁。2023 年，中国国防预算约为 15537 亿元人民币，将 15537 亿用科学计数法
表示为（
）
A．1.5537×1012
B．15.537×1011
C．1.5537×1013
D．0.15537×1013
答案：A．
2．下列计算结果是 a5 的是（
）
A．a2+a3
B．a10÷a2
C．（a2）3
D．a2•a3
【分析】A：应用整式的加减法则进行计算即可得出答案；
B：应用同底数幂除法法则进行即可得出答案；
C：应用幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
D：应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案．
2
3
【解答】解：A：因为 a 与 a 不是同类项，所以 A 选项不合题意；
B：因为 a ÷a ＝a10﹣2＝a8，所以 B 选项不符合题意；
10
2
C：因为（a ） ＝a2×3＝a6，所以 C 选项不符合题意；
2
3
D：因为 a •a ＝a2+3＝a5，所以 D 选项符合题意．
2
3
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的加减，同底数幂乘、除法及幂的乘方，熟练掌握整式的加减，同底数幂乘、除法
及幂的乘方运算法则进行计算是解决本题的关键．
3．若有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则化简|a+c|+|b﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（
）
A．﹣2b
B．﹣2a﹣2c
C．﹣2b+2c
D．2a﹣2b
【分析】先根据数轴上点的位置推出 a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0，然后化简绝对值即可得到答案．
【解答】解：由题意得：c＜b＜0＜a，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴|a+c|+|b﹣a|﹣|b﹣c|
＝﹣（a+c）﹣（b﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣c﹣b+a﹣b+c
＝﹣2b，
故选：A．
【点评】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的加减法计算，整式的加减计算，化简绝对
值，正确根据题意得到 a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0 是解题的关键．
4．以 O 为中心点的量角器与直角三角板 ABC 按如图方式摆放，量角器的 0 刻度线与斜边 AB 重合．点 D 为斜边 AB
上一点，作射线 CD 交弧 AB 于点 E，如果点 E 所对应的读数为 52°，那么∠BCD 的大小为（
）
A．52°
B．60°
C．64°
D．69°
【分析】由圆周角定理得出∠ACE＝26°，进而得出∠BCD＝64°即可得出答案．
【解答】解：如图，连接 OE，
第7页（共 6 页）


∵点 E 所对应的读数为 52°，
∴∠AOE＝52°，
∵AB 为直径，∠ACB＝90°，
∴点 C 在⊙O 上，
1
2
1
2
∴∠퐴퐶퐸 = ∠퐴푂퐸 = × 52° = 26°，
∴∠BCD＝90°﹣26°＝64°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出∠AOE 与∠ACE 的关系．
5．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点 A 为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC 相似，
且相似比为 1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
【解答】解：A．∵∠AMN＝∠C，∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ACB，且 MN：BC＝1：2；
B．由勾股定理得，MN＝4，
퐴푀
푀푁
1
∵
=
= ，∠M＝∠C，
퐴퐶
퐵퐶
2
∴△AMN∽△ACB，
푀퐶
퐴푀
1
C．△AMC∽△BMA，相似比是
= ，
2
D．相似比不是 1：2，故 D 符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
6．如图，△APB 中，AB＝2 2，∠APB＝90°，在 AB 的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形 PCDE 面
√
积的最大值是（
）
3
2
2 2
2
A．1
B．2
C．
D．
【分析】过 P 作 PG⊥AB 于 G，过 P 作 PH⊥AE，交 AE 于 H，依据 ED＝CP，EP＝DC，即可得出四边形 PCDE
1
2
1
2
1
2
1
2
是平行四边形，依据∠EPH＝30°，即可得出 EH= EP= AP，进而得到 S
= EP×CP= AP×BP＝S
平行四边形 CDEP
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△ABP，以 AB 为直径作圆，当 PG 最大时，S△ABP 的面积最大，进而得出四边形 PCDE 面积的最大值是 2．
【解答】如图所示，过 P 作 PG⊥AB 于 G，过 P 作 PH⊥AE，交 AE 于 H，
∵∠APE＝∠BPC＝60°，∠APB＝90°，
∴∠EPC＝150°，
∵△APE 是正三角形，PH⊥AE，
∴∠APH＝∠EPH＝30°，
∴∠CPH＝180°，即点 C、P、H 在一条直线上，
在正△ABD、正△APE 和正△BPC，
∴AE＝AP，AD＝AB，BP＝CP，∠EAP＝∠DAB＝60°＝∠CPB，
∴∠DAE＝∠BAP，
∴△AED≌△APB（SAS），
∴ED＝BP，
∴ED＝CP，
同理可得 EP＝DC，
∴四边形 PCDE 是平行四边形，
∵∠EPH＝30°，
1
2
1
2
∴EH= EP= AP，
1
2
∴S
＝EH×CP= AP×BP＝S△ABP，
平行四边形 CDEP
∵AB＝2√2，∠APB＝90°，
∴以 AB 为直径作圆，当 PG 最大时，S△ABP 的面积最大，
此时 GP 为半径，
1
2
∴S△ABP
=
×2√2 × √2 =2，
∴四边形 PCDE 面积的最大值是 2．
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题
的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
二．填空题（共 10 小题）
10
7．一个数的相反数是﹣0.7，则这个数的倒数是
．
7
【分析】先求出这个数，再求这个数的倒数即可．
【解答】解：﹣0.7 的相反数是 0.7，
10
0.7 的倒数是
．
7
10
故答案为：
．
7
【点评】本题考查了相反数和倒数，求小数的倒数是先把小数化成分数，然后分子分母颠倒位置即可，这是解题
的关键．
√푥+1
8．代数式
有意义，则 x 的取值范围是 x≥﹣1 且 x≠2 ．
푥−2
【分析】根据题意可得 x+1≥0 且 x﹣2≠0，求出 x 的取值范围即可．
√푥+1
【解答】解：∵
有意义，
푥−2
第9页（共 6 页）


∴x+1≥0 且 x﹣2≠0，
∴x≥﹣1 且 x≠2，
故答案为：x≥﹣1 且 x≠2．
【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
9．因式分解：16a ﹣a b ＝ a2（4+b）（4﹣b）
2
2 2
．
【分析】先提公因数，再利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：16a2﹣a b
2 2
2
2
＝a （16﹣b ）
＝a2（4+b）（4﹣b）．
故答案为：a2（4+b）（4﹣b）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解时，对有公因式的先提公因式，然后利用乘法公式继续分解，直至不能分
解为止．
√8+√18
10 ．
− √16 =
1 ．
√2
【分析】先化简二次根式，再算除法，最后计算减法．
√8+√18
【解答】解：
− √16
√2
2√2+3√2
=
=
−4
√2
5√2
−4
√2
＝5﹣4
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的
性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2
11．设 x 、x 是一元二次方程 x ﹣2x﹣m＝0 的两个根，且 x x ＝1，则 m＝ ﹣1
．
1
2
1 2
푐
【分析】根据两根之积等于 ，构建方程求解．
푎
2
【解答】解：∵x 、x 是一元二次方程 x ﹣2x﹣m＝0 的两个根，x x ＝1，
1
∴x1x2＝﹣m＝1，
∴m＝﹣1．
2
1 2
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．一个圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥母线长与底面半径的比值为
2
．
【分析】根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用
上述关系得到关系式求出两者的比值即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为 R，底面半径为 r，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR，
∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，
∵πR＝2πr，
∴R：r＝2：1，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长列出有关母
线长和底面半径之间的关系式．
13．如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC、BD 交于点 O，则∠AOD 的度数为 108°
．
第10页（共 6 页）


【分析】由∠BOC 与∠AOD 是对顶角，欲求∠AOD，可求∠BOC．由五边形 ABCDE 是正五边形，得 AB＝BC＝
CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，那么∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝72°，故∠CBD＝∠CDB＝36°．同理可
得∠BCA＝∠BAC＝36°，根据三角形内角和定理求得∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝108°．
【解答】解法 1：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
360°
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝180°−
=108°．
5
∴∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠CBD＝∠CDB＝36°．
同理可得：∠BCA＝∠BAC＝36°．
∴∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
∵∠BOC 与∠AOD 是对顶角，
∴∠BOC＝∠AOD＝108°．
故答案为：108°．
解法 2：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝108°．
180°−∠퐴퐵퐶
∴∠BCA＝∠BAC=
=36°．
2
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝72°．
∴∠ACD+∠CDE＝180°．
∴AC∥DE．
同理可得：BD∥AE．
∴四边形 AODE 是平行四边形．
∴∠AOD＝∠E＝108°．
故答案为：108°．
【点评】本题主要考查正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、对顶角的定义，熟练掌握正五
边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、对顶角的定义是解决本题的关键．
푘
14． 已知点 A（4，2）为函数 y= 图象上一点，点 P 为该函数图象上不与 A 点重合的另一个点，且满足 OA＝OP，
푥
则所有可能的点 P 的坐标为 （2，4）或（﹣4，﹣2）或（﹣2，﹣4）
．
【分析】根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线 y＝x 成轴对称，可得 P 点坐标．
【解答】解：∵点 A 的坐标为（4，2），
根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线 y＝x 成轴对称，可得第一象限内 P 点坐标为（2，4），在第三象限内 P
点坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣4，﹣2），
∴点 P 的坐标可能是（2，4）或（﹣4，﹣2）或（﹣2，﹣4），
故答案为：（2，4）或（﹣4，﹣2）或（﹣2，﹣4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点坐标满足反比例函数的解析式．
15．DF 为菱形 ABCD 边 AB 上的高，将△AFD 沿 DF 翻折得到△EFD，DE 与 BC 相交于点 G．若∠EGC＝70°，那
么，∠A＝ 35°
．
第11页（共 6 页）


2
2
16．已知二次函数 y＝x ﹣2（k+1）x+k ﹣2k﹣3 与 x 轴有两个交点，当 k 取最小整数时的二次函数的图象在 x 轴下方
的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线 y＝x+m 有三个不同公共
13
点时 m 的值是 1 或
．
4
【分析】根据题意求得 k＝0，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解
析式中，y＝0，可求出它函数图象与 x 轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有 3 个交点，
可以有两种情况：
2
①过交点（﹣1，0），根据待定系数法，可得 m 的值；②不过点（﹣1，0），直线与 y ＝﹣（x﹣1） +4（﹣1≤x≤
1
3）相切，根据判别式，可得答案．
第12页（共 6 页）


2
2
【解答】解：∵函数 y＝x ﹣2（k+1）x+k ﹣2k﹣3 与 x 轴有两个交点，
2
2
∴△＝[﹣2（k+1）] ﹣4×1×（k ﹣2k﹣3）＞0，
解得 k＞﹣1，
当 k 取最小整数时，k＝0，
∴抛物线为 y＝x2﹣2x﹣3，
将该二次函数图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象
2
2
的解析式为 y ＝（x﹣1） ﹣4（x≤﹣1 或 x≥3）y ＝﹣（x﹣1） +4（﹣1≤x≤3）．
1
1
①因为 y2＝x+m 的 k＞0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有 3 个交点时它一定过（﹣1，0）把
（﹣1，0）代入 y2＝x+m 得﹣1+m＝0 所以 m＝1，
2
②y ＝﹣（x﹣1） +4（﹣1≤x≤3）与 y＝x+m 相切时，图象有三个交点，
1
﹣（x﹣1）2+4＝x+m，
△＝1﹣4（m﹣3）＝0，
13
解得 m=
．
4
13
故答案为：1 或
．
4
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与
抛物线相切时判别式等于零是解题关键．
三．解答题（共 11 小题）
﹣1
3
17．（1）计算：2 3cos30°+（﹣1） − 27；
√
√
푎2−4
1
2
（2）化简：（
−
）÷
．
푎2−4푎+4
푎2−2푎
2−푎
【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，开立方，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先进行通分，除法转化为乘法，再进行约分即可．
【解答】解：（1）2√3cos30°+（﹣1）﹣1−3√27
√3
= 2√3 × +（﹣1）﹣3
2
＝3﹣1﹣3
＝﹣1；
푎2−4
1
2
（2）（
−
）÷
푎2−4푎+4
(푎−2)(푎+2)
푎2−2푎
푎(푎−2)
2
2−푎
1
＝[
+
]×
(푎−2)2
푎+2
푎−2
푎(푎−2)
1
＝（
+
푎−2 푎−2
）•
2
푎+3 푎(푎−2)
푎−2
=
=
⋅
2
2
푎 +3푎
．
2
第13页（共 6 页）


【点评】本题主要考查分式的混合运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则
的掌握．
1
3
푥＜6 − 푥
18．解不等式组：{2 2
푥−2 푥−3
并写出该不等式组所有的整数解．
≥
3
4
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
1
3
푥＜6 − 푥①
【解答】解：{2 2
푥−2 푥−3
，
≥
②
3
4
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
∴不等式组的整数解有﹣1，0，1，2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
的原则是解答此题的关键．
19．甲，乙两地相距 360km，两人分别从甲地乘早 7 时出发的普通客车和早 8 时 15 分出发的豪华客车去乙地，两车恰
好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是 4：3，两车的平均速度分别是多少？
1
【分析】直接由题意可得，两车行驶的时间相差 1 小时，进而得出等式求出即可．
4
【解答】解：设豪华客车的平均速度为 4xkm/h，则普通客车的平均速度为 3xkm/h．
360 360
−
5
根据题意，得
= ．
3푥
4푥
4
得 x＝24．
经检验，x＝24 是原分式方程的根，并符合题意．
由 4x＝4×24＝96，3x＝3×24＝72．
答：豪华客车的平均速度为 96km/h，普通客车的平均速度为 72km/h．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
20．某学校开展了该校八年级部分学生的综合素质测评活动，随机选取了该校八年级的 50 名学生进行测评，统计数
据如下表：
测评成绩
80
85
90
95
100
（单位：分）
人数
5
10
10
20
5
（1）这 50 名学生的测评成绩的平均数是 91 分，众数是 95 分，中位数是 92.5 分，方差是 34 分2；
（2）若该校八年级共有学生 300 名，测评成绩在 90 分以上（包含 90 分）为优秀，试估计该校八年级优秀学生共
有多少名？
【分析】（1）将 50 名学生数学成绩按照从小到大顺序排列，找出中位数与众数，求出极差即可；
先根据表格提示的数据得出 50 名学生总分，然后除以 50 即可求出平均数；
（2）由优秀的百分比乘以 300 即可得到结果；
90+95
= 92.5分，
【解答】解：（1）这 50 名学生的测评成绩的众数是 95 分，中位数是
2
80×5+85×10+90×10+95×20+100×5
=91 分；
50
10+20+5
50
（2）该校八年级优秀学生共有 300×
× 100% =210 人，
【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
21．把算珠放在计数器的 3 根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数 210．
1
（1）若将一颗算珠任意摆放在这 3 根插棒上，则构成的数是三位数的概率是
；
3
（2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这 3 根插棒上，先放一
颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．
第14页（共 6 页）


【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有 9 种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有 2 种，再由概率公式求解即
可．
1
【解答】解：（1）若将一颗算珠任意摆放在这 3 根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）画树状图如下：
共有 9 种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有 2 种，
2
∴构成的数是三位数且是回文数的概率为 ．
9
【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以
上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
퐴퐷
퐶퐷
22．如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且
=
．
퐶퐷
퐵퐷
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB 的大小．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A＝∠BCD，然后由∠A+∠ACD＝
90°，可得：∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°．
【解答】（1）证明：∵CD 是边 AB 上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
퐴퐷
퐶퐷
∵
=
．
퐶퐷
퐵퐷
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD，
在△ACD 中，∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．
23．如图，在一座建筑物 CM 上，挂着“美丽南京”的宣传条幅 AC，在建筑物的 A 处测得地面上 B 处的俯角为 30°，
测得 D 处的俯角为 45°，其中点 A、B、C、D、E 在同一平面内，B、C、D 在同一条直线上， ①或② ，求宣
传条幅 AC 长．
给出下列条件：①BD＝50 米；②D 到 AB 的距离为 25 米；③AM＝20 米；
第15页（共 6 页）


请在 3 个条件中选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题（结果保留根号）．
【分析】选择条件①时，证 BC= √3AC，CA＝CD，设 CA＝CD＝x 米，则 BC= √3x 米，由 BC＝CA+BD＝（x+50）
米，得出方程，解方程即可；
选择条件②时，由含 30°角的直角三角形的性质得 BD＝50 米，同（1）得：AC＝（25√3 +25）米即可．
【解答】解：选择条件①时，
由题意知，∠EAB＝30°，∠EAD＝45°，
∵AE∥BC，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，∠B＝∠EAD＝30°，
1
在 Rt△ABC 中，AC= AB，
2
∴BC= √3AC，
在 Rt△ACD 中，∠CDA＝45°，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴CA＝CD，
设 CA＝CD＝x 米，
则 BC＝CA+BD＝（x+50）米，
∴x+50= √3x，
解得：x＝25（√3 +1），
∴AC＝（25√3 +25）米，
即宣传条幅 AC 长为（25√3 +25）米；
选择条件②时，
同（1）得：∠B＝∠EAD＝30°，
∵D 到 AB 的距离为 25 米，
∴BD＝2×25＝50（米），
同（1）得：AC＝（25√3 +25）米，
即宣传条幅 AC 长为（25√3 +25）米，
故答案为：①或②．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解答本题的关键．
24．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 为边 AC 上一点．
（1）尺规作图：在边 AB 上找一点 E，使得∠DEA＝2∠BDE．
（2）在（1）的条件下以点 E 为圆心，EB 为半径的圆分别与 AB，BC 交于 M，N 点，且∠DEM＝∠DEN．求证：
AC 与⊙E 相切．
【分析】（1）连接 BD，作 BD 的垂直平分 HF，交 AB 于点 E 即可；
（2）连接 EN，DE，由的作图可得 HF 垂直平分 BD，所以 DE＝BE，然后根据圆周角定理证明∠2＝∠BDE，可得
DE∥BC，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：如图，连接 BD，作 BD 的垂直平分 HF，交 AB 于点 E，点 E 即为所求；
第16页（共 6 页）


（2）证明：如图，连接 EN，DE，
由的作图可知：HF 垂直平分 BD，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠1，
∵BE 是半径，
∴DE 也是⊙E 的半径，
∵∠DEA＝2∠BDE，
∴∠DEA＝2∠1，
∵∠DEM＝∠DEN，
∴∠DEN＝2∠1，
∵∠DEN＝2∠2，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BDE，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴DE⊥AC，
∵DE 是⊙E 的半径，
∴AC 与⊙E 相切．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，圆周角定理，切线的判定，解决本题的关键是掌握切线的判定．
25．利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线 ABC 表示墙面，已知 AB⊥BC，AB＝3 米，BC＝1 米）和总长为 14 米的
篱笆围建一个“日”字形的小型农场 DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间 GH 也是用篱笆隔开），点 D 可能在线
段 AB 上（如图 1），也可能在线段 BA 的延长线上（如图 2），点 E 在线段 BC 的延长线上．
（1）当点 D 在线段 AB 上时，
①设 DF 的长为 x 米，请用含 x 的代数式表示 EF 的长；
②若要求所围成的小型农场 DBEF 的面积为 12 平方米，求 DF 的长；
（2）当点 D 在线段 BA 延长线上，DF 为多少时，小型农场 DBEF 的面积最大？最大面积为多少平方米？
【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设小型农场 DBEF 的面积为 S，求出关于 DF 的长 x 的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．
【解答】解：（1）①设 DF 的长为 x 米，
∵点 D 在线段 AB 上，
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∴EF＝14﹣2x﹣（x﹣1）＝（15﹣3x）米，
∵AB＝3，
∴EF≤3，即 0＜15﹣3x≤3，
∴4≤x＜5；
②设 DF 的长为 x 米，根据题意得：
x（15﹣3x）＝12，
解得：x ＝4，x ＝1（此时点 D 不在线段 AB 上，舍去），
1
2
∴x＝4，
答：小型农场的长 DF 为 4 米；
（2）设小型农场 DBEF 的面积为 S，DF 的长为 x 米，
点 D 在线段 BA 的延长线上，此时 1＜x＜4，
1
2
3
2
3
2
27
2
2
2
则 S= （15﹣3x+3）x= − x +9x= − （x﹣3） +
，
3
∵a= − ＜0，1＜3＜4，
2
27
2
∴x＝3 时，S 有最大值，S 最大值=
，
27
∴小型农场的宽 DF 为 3 米时，小型农场 DBEF 的面积最大，最大面积为 平方米．
2
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
26．将一张矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0）， 点 C 的坐标为（0，4）．D 是 BC 边上
的一个动点（点 D 不与点 B，C 重合），将△ODC 沿 OD 翻折得到△ODC′，设 CD＝x．
（1）如图 1，若∠COD＝18°，则∠BDC′＝ 36 °；
（2）如图 2，连接 AC′，当 x＝2 时，求△OAC′的面积；
（3）连接 BC′，当 x 为何值时，△BDC′为直角三角形？
【分析】（1）根据∠COD＝18°计算出∠CDO 的度数，再利用翻折的性质可得∠C'DO＝∠CDO，即可求出∠
BDC'的度数；
푂퐴
푂퐸
（2）延长 DC'交 x 轴于点 E，设设 C'E＝y，则 OE＝ED＝2+y，利用勾股定理求出 C'E，再根据 的比即可知道 S△
3
'= S△OC'E，即可求出△OAC′的面积；
OAC
5
（3）分∠DC'B＝90°，∠DBC'＝90°，∠BDC'＝90°，三种情况展开讨论结合直角三角形勾股定理和相似三角
形相关知识即可求出 x 的值．
【解答】解：（1）∵∠COD＝18°，
∴∠CDO＝90°﹣18°＝72°，
又∵△ODC 沿 OD 翻折得到△ODC′，
∴∠C'DO＝∠CDO＝72°，
∴∠BDC'＝180°﹣∠C'DO﹣∠CDO＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36；
（2）延长 DC'交 x 轴于点 E，如图所示：
第18页（共 6 页）


利用翻折易知：∠CDO＝∠C'DO，
∵CB∥OA，
∴∠CDO＝∠DOA，
∴∠DOA＝∠C'DO，
∴OE＝DE，
设 C'E＝y，则 OE＝ED＝2+y，
2
2
2
2
2
2
在 Rt△OC'E 中，OC' +C'E ＝OE ，即，4 +y ＝（y+2） ，
解得：y＝3，
∴OA＝3，OE＝3+2＝5，
푂퐴
3
又∵
= ，
푂퐸
5
3
5
3
5
1
2
18
5
∴S△OAC'= S△OC'E=
×
×4×3=
；
（3）分情况讨论：①若∠DC'B＝90°，则点 C'落在 OB 上，如图所示：
BC'＝OB﹣OC'＝5﹣4＝1，
2
2
2
则由勾股定理得：DC' +BC' ＝BD ，
2
2
2
∴x +1 ＝（3﹣x） ，
4
解得：x= ，
3
②若∠DBC'＝90°，则点 C'落在 AB 上，如图所示：
AC'= √푂퐶′2 − 푂퐴2 = √42 − 32 = 7，CD＝C'D＝x，BD＝3﹣x，
√
此时，Rt△OAC'∽△C'BD，
第19页（共 6 页）


푂퐶′
퐶′퐷
퐴퐶′
4
√7
∴
=
，即，
=
，
퐵퐷
16−4√7
푥
3−푥
解得：x=
，
3
③若∠BDC'＝90°，则∠CDO＝∠C'DO＝45°，
△COD 为等腰直角三角形，而 OC＝4，BC＝3，
故不满足条件，
4
16−4√7
综上，当 x 为 或
时，△BDC′为直角三角形．
3
3
【点评】本题考查四边形的综合性质，涉及翻折的基本性质，直角三角形勾股定理，相似三角形等知识，熟练掌
握翻折的基本性质，直角三角形勾股定理，相似三角形等基本性质，弄清题意，数形结合，分类讨论是解题的关
键．
27．【阅读理解】三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，
则称这个点为三角形该边的“高光点”．
如图 L，△ABC 中，点 D 是 AB 边上一点，连接 CD，若 CD2＝AD•BD，则称点 D 是△ABC 中 AB 边上的“高光
点 ”．
【探究应用】
（1）如图 2，△ABC 的顶点是 4×4 网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB 边上的“高光点”；
√2
2
3
4
（2）如图 3，△ABC 中，AB＝14，cosA= ，tanB= ，若点 D 是 AB 边上的“高光点”，求线段 AD 的长；
（3）如图 4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点 H 在 AB 上，连接 CH 并延长交⊙O 于点 D，若点 H 是△ACD 中 CD
边上的“高光点”．
①求证：AH＝BH；
퐷퐻
3
2
②若 BC⊥CH，⊙O 的半径为 r，且 r= AD，求 的值．
퐶퐻
【分析】（1）直角三角形的“高光点”是斜边的中点，作斜边上的高，垂足也为“高光点”，即可得答案；
（2）过 A 作 AH⊥BC 于 H，求出 BH、CH、AH，再由“高光点”定义列方程即可得答案；
（3）①由 AH•BH＝CH•DH，BH2＝CH•DH 可得 AH＝BH，由垂径定理得证；
②连接 AD，由 r＝3OH 可设 OH＝m，用 m 的代数式表示 CH、DH 即可得到答案．
【解答】解：（1）如图：
第20页（共 6 页）


边 AB 的中点 D、斜边 AB 上的高 CD'的垂足 D'即为△ABC 边 AB 上的“高光点”；
（2）如图：
C
A
B
D
H
过 C 作 CH⊥AB 于 H，
2
3
∵tanB= ，cosA=
，
4
3
2
퐶퐻
퐵퐻
∴
= ，∠A=45°，
4
设 CH＝3k，则 BH＝4k，AH＝3k，
∵BC＝14，
∴3k+4k＝14，解得 k＝2，
∴BH＝8，AH＝CH＝6，
设 AD＝x，则 BD＝14﹣x，DH＝6﹣x，
2
2
2
2
2
Rt△CDH 中，CD ＝CH +DH ＝6 +（6﹣x） ，
而点 D 是 BC 边上的“高光点”，
∴CD2＝BD•AD＝x•（14﹣x），
2
2
∴6 +（6﹣x） ＝x•（14﹣x），
解得 x＝4 或 x＝9，
∴AD＝4 或 9；
（3）①∵∠CBH＝∠HDA，∠AHD＝∠BHC，
∴△ADH∽△CBH，
퐴퐻
퐷퐻
∴
=
，
퐶퐻
퐵퐻
∴AH•BH＝CH•DH，
∵点 H 是△ACD 中 CD 边上的“高光点”，
∴AH2＝CH•DH，
∴AH＝BH；
②如图：
第21页（共 6 页）


C
H
B
A
O
D
连接 BD，
易得 r＝3OH，
设 OH＝m，则 OB＝3m，AD＝2m，
Rt△BOH 中，BH= √푂퐵2 − 푂퐻2 =2 2m，
√
∴AH＝2√2m，
Rt△AHD 中，HD=2 3m，
√
∵点 H 是△ACD 中 CD 边上的“高光点”，
∴AH2＝CH•DH，
퐴퐻2 4√3
∴CH=
=
m，
퐷퐻
2√3푚
3
퐷퐻
3
∴
=
= ．
퐶퐻
4√3
2
푚
3
【点评】本题考查圆、相似三角形及三角函数等知识，解题的关键是利用“高光点”定义列方程、求线段的长．
第22页（共 6 页）