2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学校中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学校中考数学模拟试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A．3.14B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．直角三角形B．直角梯形
C．平行四边形D．正五边形
4．如图是由个完全相同的小正方体组成的几何体，其从上面看的形状图是（ ）
A．B．C．D．
5．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如果分式方程的解为，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知关于x，y的方程，其中，给出下列命题：①当时，x，y的值互为相反数；②是方程组的解；④当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的命题是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④
8．如图所示，点是的边上一点，已知，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的直径，是的弦，连接，，，则与的数量关系为（ ）
A．B．
C．D．
10．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为( )米．(参考数据：≈1.732)
A．1.732B．1.754C．1.766D．1.823
二、填空题
11．函数中，自变量x的取值范围是_________．
12．分解因式：______．
13．大于且小于的所有整数的和是______．
14．已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、3，则其内切圆的半径为_______．
15．计算的结果是_________．
16．如图，与的两边分别相切于点、，点为上一点（不与点、重合），若，则________．
17．如图，直线，等边的顶点、分别在直线、上，若边与直线的夹角，则边与直线的夹角______．
18．如图，在中，，点在线段的上方，点在上，若在的垂直平分线上，，，，则的长为______．
19．经专家估算，整个南海属我国传统海疆线的油气资源约合亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，用科学记数法表示亿美元是________美元．（注意：“亿美元”与“美元”的不同）
20．某网店老板经营销售甲、乙两种款式的浮潜装备，每件甲种款式的利润率为30%，每件乙种款式的利润率为50%，当售出的乙种款式的件数比甲种款式的件数少40%时，这个老板得到的总利润率是40%；当售出的乙种款式的件数比甲种种款式的件数多80%时，这个老板得到的总利润率是_______．
三、解答题
21．先化简，再求代数式的值．，其中
22．一个批发商销售成本为25元/千克的某产品，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)该批发商若想获得3750元的利润，应将售价定为多少元？
23．某校将举办的“壮乡三月三”民族运动会中共有四个项目：A跳长绳，B抛绣球，C拔河，D跳竹竿舞．该校学生会围绕“你最喜欢的项目是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：
请结合统计图表，回答下列问题：
(1)填空：a＝ ；
(2)本次调查的学生总人数是多少？
(3)请将条形统计图补充完整；
(4)李红同学准备从抛绣球和跳竹竿舞两个项目中选择一项参加，但她拿不定主意，请你结合调查统计结果给她一些合理化建议进行选择．
24．如图，矩形的对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求：
①的长；
②菱形的面积．
25．如图，直线与在第一象限内的交于点，且．
（1）求，的值；
（2）A为正半轴上的点，B为直线上的一点，C为平面内一点；
①当四边形OABC是以点P为对角线交点的矩形时，求直线AC的解析式；
②当四边形OABC是以点P为对角线交点的菱形时，直接写出点A、C的坐标，并判断点C是否在上．
26．对于平面内和外一点，若过点的直线与有两个不同的公共点，点为直线上的另一点，且满足(如图1所示)，则称点是点关于的密切点．
已知在平面直角坐标系中， 的半径为2，点．
(1)在点中，是点关于的密切点的为__________．
(2)设直线方程为，如图2所示，
①时，求出点关于的密切点的坐标；
②的圆心为，半径为2，若上存在点关于的密切点，直接写出的取值范围．
27．如图，直线与x轴、y轴分别交于点和点，直线与直线交于点，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴向右平移，到点时停止．直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰，设与重叠部分的面积为（平方单位），直线m的运动时间为t（秒）．
(1)填空：_______，______；
(2)填空：动点的坐标为（t，_____），______（用含t的代数式表示）；
(3)当点落在轴上时，求的值．
(4)求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
项目
内容
百分比
A
跳长绳
25%
B
抛绣球
35%
C
拔河
30%
D
跳竹竿舞
a
参考答案：
1．C
【分析】根据无理数的定义直角进行判断即可．
【详解】解：3.14，，都是有理数，是无理数，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数，是解题的关键．
2．D
【分析】根据题意可得，将已知等式两边同时除以，得到，进而根据完全平方公式的变形即可求解．
【详解】∵，且由题意可得，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等式，完全平方公式，分式求值，熟练掌握等式的性质 ,完全平方公式变形是解题的关键．
3．C
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、直角梯形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、正五边形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意可得，从上面看有3列，从左往右小正方形的个数分别为2，2，1，即可求解．
【详解】解：根据题意得：其从上面看的形状图是
．
故选：C
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，明确从不同方向看到的图形的画法是解题的关键．
5．C
【分析】连接．利用格点和勾股定理求出，，，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用正切的定义即可求出的值．
【详解】解：如图，连接．
，，，
，
是直角三角形，，
，，
，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．
6．C
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵分式方程的解为，
∴，
解得：．
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
7．B
【分析】①将a的值代入方程组计算求出x与y的值，即可做出判断；
②将x与y的值代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③将a的值代入方程组计算求出x与y的值，即可做出判断；
④将a看作已知数求出x与y，根据x的范围求出a的范围，即可确定出y的范围．
【详解】解：①将a=-2代入方程组得：，
两方程相减得：4y=12，即y=3，
将y=3代入y-x=6得：x=-3，
此时x与y互为相反数，正确；
②将x=5，y=-1代入方程组得，解得a=2，不合题意，错误；
③将a=1代入方程组得：，
解得：，
此时x=3，y=0为方程x+y=3的解，正确；
④原方程组的解为，
∵x=2a+1≤-1，即a≤-1，
∴-3≤a≤-1，即2≤1-a≤4，
则2≤y≤4，正确．
综上，①③④正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是熟记方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
8．C
【分析】先证明，再根据相似三角形对应边成比例求解即可．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．C
【分析】首先根据圆周角定理可知∠B=∠C，再根据直径所得的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠DAB+∠B=90°，所以得到∠DAB+∠C=90°，从而得到结果.
【详解】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠B=90°.
∵∠B=∠C，
∴∠DAB+∠C=90°.
故选C.
【点睛】本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.
10．C
【分析】延长CA交DB延长线与点E,根据题意得到∠BAE=90°,利用正切的概念求出AE、BE,判断△CDE为等边三角形,求出DE,计算即可.
【详解】如图，延长CA交DB延长线与点E，过点A作AF⊥BE于点F，
则∠CED＝60°，
∵AB的坡比为1：2.4，
∴，则设AF＝5x，BF＝12x，
∵AB＝3.9米，
∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.92＝25x2+144x2．
解得x＝ ．
∴AF＝5x＝ ，BF＝12x＝
∴EF＝
∵∠C＝∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵AC＝4.5米，
∴DE＝CE＝AC+AE＝4.5+ (米)，
则BD＝DE﹣EF﹣BF＝4.5+﹣≈1.766(米)，
答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米．
故选C．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，关键在于求出△CDE是等边三角形.
11．且
【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得；接下来由分式有意义的条件可得，进而求解即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查的是求函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式以及分式有意义的条件．
12．
【分析】先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
13．2
【分析】由于，，利用算术平方根得到，，则，则大于小于的所有整数有，0，1，2，加起来即可求出．
【详解】解：，
，
；
，
，
大于小于的所有整数有，0，1，2，
所有整数的和是，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
14．1
【分析】连接,根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式得出关于内切圆半径的方程即可解题．
【详解】如图，
在中，由勾股定理得，
连接，
设的半径是，
则，
由三角形面积公式得，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形面积公式、三角形的内切圆、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．
【详解】解：原式=3﹣6×=3﹣2
故答案为：
16．或##或
【分析】有两种情况：①当F在上时，连接、，求出，根据圆周角定理即可求出；②当在上时，，根据圆内接四边形的性质得到，代入求出即可．
【详解】解：如图，有两种情况：
①当F在上时，，
连接、，
与的两边分别相切于点、，
，，
，
，
，即
，
②当F在上时，，，
，即
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查对切线的定义，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
17．
【分析】由等边三角形的性质解得，再根据两直线平行，内错角相等解题即可．
【详解】解：等边中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．12
【分析】过点D作交延长线于点F，作于点H，连接，则，先证明四边形是正方形，，再由线段垂直平分线的性质可得，再证明，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，可求出的长，再证明，可得，根据锐角三角函数可得，从而得到，，设，则，再由勾股定理求出ｘ的值，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作交延长线于点F，作于点H，连接，则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：12
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
19．
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：亿美元美元美元．
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
20．45%
【分析】设甲、乙的进价分别为、，甲种款式售出的件数为，根据售出的乙种款式比售出的甲种款式的件数少40%时，这个老板得到的总利润率为40%得到甲、乙进价之间的关系，进而求得当售出的乙种款式的件数比甲种款式的件数多80%时，这个老板的总利润率即可．
【详解】根据题意可得：，
解得：，
∴×100%=45%．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据利润率得到相应的等量关系是解决本题的关键；设出所需的多个未知数并在解答过程中消去是解决本题的难点．
21．，
【分析】先把括号内的通分计算，再把除法转换为乘法计算化简，最后代值计算．
【详解】解：原式
当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是关键.
22．(1)
(2)75元
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润=每千克的利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为，
将代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：应将售价定为75元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数量，利用待定系数法找出y与x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．(1)10%
(2)100人
(3)见解析
(4)建议选择跳竹竿舞，因为选择跳竹竿舞的人数比较少，得名次的可能性大
【分析】（1）用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值；
（2）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数；
（3）用35%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图画树状图；
（4）根据选择两个项目的人数得出答案．
【详解】（1）解： a＝1﹣35%﹣25%﹣30%＝10%，
故答案为：10%；
（2）解：25÷25%＝100（人），
答：本次调查的学生总人数是100人；
（3）解：B类学生人数：100×35%＝35，补全条形统计图如图，
（4）解：建议选择跳竹竿舞，因为选择跳竹竿舞的人数比较少，得名次的可能性大．
【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24．(1)见解析
(2)①；②39
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，再由矩形的性质可得，从而得到，再证明，可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证；
①根据矩形的性质可得，，再由勾股定理求出，即可求解；②根据菱形的面积等于对角线长度乘积的一半，即可求解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：①∵四边形是矩形，点O为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
②∵四边形是菱形，，
∴菱形的面积．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理是解题的关键．
25．（1）a=4，k=8；（2）① ②A（5,0）；B（3,4）；不在
【分析】（1）直接根据勾股定理即可求得a，进而得到P点坐标，即可求解．
（2）①根据矩形的性质即可得出A点和C点坐标，再用待定系数法即可求解；
②作BD⊥x轴，点D为垂足，易得，即可求解．
【详解】（1）解：
解得：；（舍去）
∴代入中，得：
综上，a=4，k=8；
（2）①解：如图，点P是矩形OABC对角线的交点，即矩形的中心，
∴
∴
设将A、C两点代入，可得：
所以
②解：如图，点P是菱形OABC对角线的交点，作BD⊥x轴，点D为垂足，
∵P（4,2）
∴
∵∠APO=∠ODB，∠AOP=∠BOD
∴
∴
∴
OA=5
∴A（5,0）；C（3,4）
把x=3代入中，
∴点C不在的图象上．
【点睛】此题主要考查勾股定理、矩形和菱形的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握函数与几何综合是解题关键．
26．（1）E；（2）①；②或
【分析】(1)用假设法通过特殊位置判断;
（2）①拿出直线解析式，联立与圆的位置根据勾股定理求得M,N两点的横坐标，根据题目条件信息转化即可求解.
②作出点关于的密切点的运动轨迹，根据图像即可求出取值范围.
【详解】解：(1)当圆心在坐标原点上时，直线为时，易得：
,,
∵，设Q点坐标为,
解得，
故是点关于的密切点.
(2)①依题意直线方程过定点
∴直线方程为
如右图，作轴于点，轴于点．
设
由得
∴
点的横坐标是方程的两根
解得
∴，，
∴
∴
∴
∴
②点关于的密切点的轨迹为线段,为切点弦(不含端点)．
或
【点睛】本题属于阅读创新类型题目，解题的关键在于读懂题目信息，根据关键信息理解求解作答.
27．(1)8；
(2)；
(3)2
(4)
【分析】（1）分别令、求出、的长度，再根据等腰直角三角形的性质求出的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得动点E的坐标，进而求出的长度；
（3）当点在轴上时，四边形为正方形，进而求出的值；
（4）点的位置有三种可能：①点在轴的左侧；②点在轴上；③点在轴右侧，求出S与t的关系式．
【详解】（1）与轴交于A点，与轴交于B点，
∵当时，；当时，，
∴，
∴，
故答案为：8；．
（2）∵直线与直线交于点C，
∴联立，得，
解得，，
∴，，
则，即，，
∵且直线m平行于y轴，垂直于x轴，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；．
（3）当点落在轴上时，
，
∴，
，
∴四边形为正方形，
∴，即，
∴，
∴，即，
故答案为：2．
（4）由题意可知：直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰，
所以点的位置有三种情况：
①由（3）可知，当时，点在轴上，
此时和重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形为正方形，
；
②当时，点 在轴左侧，
此时与重叠部分为梯形，
如图，的两直角边与轴有两交点P、Q，分别过两个交点作x轴的平行线，交于M、N两点，
；
③当时，点在轴右侧，
此时和重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据一次函数解析式求点的坐标，以及三角形的面积的计算，正确表示出的长是关键．