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中考数学专项突破之实践操作与探究 课件
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这是一份中考数学专项突破之实践操作与探究 课件，共60页。PPT课件主要包含了高效测评等内容，欢迎下载使用。
探索研究性问题往往需要仔细理解题意,问题安排由易到难,解题方法承上启下,逐步引导学生思考新的问题,大胆进行分析、推理和归纳,即从特殊到一般去探究,以特殊去探究一般,从而获得结论,有时还要用已学的知识加以论证、探究所得结论.操作性问题是让学生按题目要求进行操作,考查学生的动手能力、想象能力和概括能力.
解决这类问题,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法,灵活地解决问题.在平时的学习中,要注重操作类习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力.
此类问题解决一般有这样的几个步骤:第一步:审清题意,找准解题的切入点.第二步:建立数学模型,运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题.第三步:按照所建立的数学模型,综合运用相关知识和数学思想方法解决实践操作性问题.
问题提出:如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为 .
问题探索:如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;问题应用:如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.
解析：问题提出:DC+EC=BC.问题探索:线段AD,BD,CD之间满足的等量关系是BD2+CD2=2AD2
证明:如图④,连接EC,
问题应用:如图⑤,作AE⊥AD,交DC的延长线于点E,连接BE,
【高分点拨】仔细阅读题目条件,简单了解问题并思考问题的解决方案,然后利用转化思想将复杂问题简单化,进而解决问题.
问题提出(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为 ;
(1)解:设点O是△ABC外接圆的圆心,如图①.∴OA=OB=OC.∵AB=AC,∴AO垂直平分BC.∵∠A=120°,∴∠BAO=∠CAO=60°,∴△ABO是等边三角形.∴AB=OA=OB=5.
问题探究(2)如图②,☉O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是☉O上一动点,求PM的最大值;
∵AP+OP≥OA,∴AP≥OA-OP,即点P在OA上时,如图④,AP可取得最小值.
设AB的中点为Q,连接CQ,CB,如图⑤,
实践操作类题目为考生创设了动手实验、操作探究的空间,有效地考查了实践、创新能力,为考生提供了展示个性思维及发散创新的平台,是中考命题改革的一道亮丽风景线.实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图(不包括统计图表的制作)、称重、测量、空间想象等,这类试题题目灵活、新颖.
解答操作性试题,关键是审清题意,学会运用图形的平移变换、翻折变换、旋转变换和位似变换,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法.
在平时的学习中,要注重操作性习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力,要学会运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并将其转化为我们所熟悉的数学问题.
折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.
分析：(1)①由矩形及轴对称的性质可得△ACE是等腰三角形,进而得出△B'ED也是等腰三角形,再根据两等腰三角形的顶角相等得出底角也相等,从而由∠ADB'=∠DAC得到B'D∥AC;②由四边形ABCD是矩形可得CF∥AE,得∠DAC=∠ACF,由折叠可得∠ACE=∠ACF,则∠DAC=∠ACE,可得AE=CE,则CE=AF=AE=CF,得四边形AECF是菱形.
(2)思路与(1)类似.(3)根据折叠的方式进行分类讨论,当第一次折叠时△ACB'与△ACD可能重合也可能不重合,画图,由轴对称的性质解决问题.(4)当△AB'D为直角三角形时,所以根据哪个角为直角分类讨论,画出图形利用30°角分别计算.
②菱形.理由:如图③,设展开后点E的对应点为F,∵四边形ABCD是矩形,∴CF∥AE,∴∠DAC=∠ACF,由折叠可得∠ACE=∠ACF,∴∠DAC=∠ACE,∴AE=CE,又∵AF=AE,CE=CF,∴CE=AF=AE=CF,∴四边形AECF是菱形.
(2)结论仍成立.若选择①证明:∵B'C=AD,AE=CE,∴B'E=DE.∴∠CB'D=∠ADB'.∵∠AEC=∠B'ED,∠ACB'=∠CAD,∴∠ADB'=∠DAC.∴B'D∥AC.若选择②证明:如图④,设展开后点E的对应点为F,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥AE,∴∠DAC=∠ACF.由折叠可得∠ACE=∠ACF,CE=CF,∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE,∴AE=CF,∴四边形AECF是菱形.
【高分点拨】本题考查四边形的折叠、轴对称图形的性质等知识,解题的关键是正确理解和灵活运用图形折叠的性质,属于中考常考题型.
问题背景数学活动课上,老师将一副三角尺按图①所示位置摆放,分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON,然后提出如下问题:求出∠MON的度数.
特例研究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题,他们将三角尺分别按图②、图③所示的方式摆放,OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线.其中,按图②方式摆放时,可以看成是ON,OD,OB在同一直线上.按图③方式摆放时,∠AOC和∠BOD相等.
(1)请你帮助“兴趣小组”进行计算:图②中∠MON的度数为 °.图③中∠MON的度数为 °. 发现感悟解决完图②、图③所示问题后,“兴趣小组”又对图①所示问题进行了讨论.小明:由于图①中∠AOC和∠BOD的和为90°,所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和,这样就能求出∠MON的度数.小华:设∠BOD为x°,我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数,这样也能求出∠MON的度数.
(2)请你根据他们的谈话内容,求出图①中∠MON的度数.
类比拓展受到“兴趣小组”的启发,“智慧小组”将三角尺按图④所示方式摆放,分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON,他们认为也能求出∠MON的度数.
(3)你同意“智慧小组”的看法吗?若同意,求出∠MON的度数;若不同意,请说明理由.
1.【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D.
【简单应用】(2)如图2,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°,求∠P的度数.[可直接使用问题(1)中的结论]【问题探究】(3)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,猜想∠P的度数为 .
1.解:(1)证明:在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°,在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°,∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D.
2.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC; ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 .
猜想论证:(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
3.解:(1)∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,∴AC=BC,CE=CD,∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,且AC=BC,CE=CD,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC=45°,∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°,∴AD⊥BD.故答案为AD⊥BD.
4.如图①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.
请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.①∠BEP= °; ②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是 ; (2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由;(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.
解:(1)①如图1中,∵∠BPE=80°,PB=PE,∴∠BEP=∠PBE=50°. ②结论:AB∥EC.理由:∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,∴∠BDE=90°,∴∠EBD=90°-50°=40°.∵AE垂直平分线段BC,∴EB=EC,∴∠ECB=∠EBC=40°.∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∴∠ABC=∠ECB,∴AB∥EC.故答案为①50,②AB∥EC.
(3)如图3中,作AH⊥CE于H, ∵点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,∴当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值为AB=3.
5.问题背景:在△ABC中,边AB上的动点D由A向B运动(与A,B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.
(1)初步尝试:如图1,若△ABC是等边三角形,DH⊥AC,且点D,E的运动速度相等,求证:HF=AH+CF.小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:思路一:过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立;思路二:过点E作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立.请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评分).
解:(1)证明(选择思路一):过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图1,
(2)过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图2,
6.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示). (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
解:(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b.故答案为:CB的延长线上,a+b.
(2)①CD=BE,理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB.
探索研究性问题往往需要仔细理解题意,问题安排由易到难,解题方法承上启下,逐步引导学生思考新的问题,大胆进行分析、推理和归纳,即从特殊到一般去探究,以特殊去探究一般,从而获得结论,有时还要用已学的知识加以论证、探究所得结论.操作性问题是让学生按题目要求进行操作,考查学生的动手能力、想象能力和概括能力.
解决这类问题,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法,灵活地解决问题.在平时的学习中,要注重操作类习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力.
此类问题解决一般有这样的几个步骤:第一步:审清题意,找准解题的切入点.第二步:建立数学模型,运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题.第三步:按照所建立的数学模型,综合运用相关知识和数学思想方法解决实践操作性问题.
问题提出:如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为 .
问题探索:如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;问题应用:如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.
解析：问题提出:DC+EC=BC.问题探索:线段AD,BD,CD之间满足的等量关系是BD2+CD2=2AD2
证明:如图④,连接EC,
问题应用:如图⑤,作AE⊥AD,交DC的延长线于点E,连接BE,
【高分点拨】仔细阅读题目条件,简单了解问题并思考问题的解决方案,然后利用转化思想将复杂问题简单化,进而解决问题.
问题提出(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为 ;
(1)解:设点O是△ABC外接圆的圆心,如图①.∴OA=OB=OC.∵AB=AC,∴AO垂直平分BC.∵∠A=120°,∴∠BAO=∠CAO=60°,∴△ABO是等边三角形.∴AB=OA=OB=5.
问题探究(2)如图②,☉O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是☉O上一动点,求PM的最大值;
∵AP+OP≥OA,∴AP≥OA-OP,即点P在OA上时,如图④,AP可取得最小值.
设AB的中点为Q,连接CQ,CB,如图⑤,
实践操作类题目为考生创设了动手实验、操作探究的空间,有效地考查了实践、创新能力,为考生提供了展示个性思维及发散创新的平台,是中考命题改革的一道亮丽风景线.实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图(不包括统计图表的制作)、称重、测量、空间想象等,这类试题题目灵活、新颖.
解答操作性试题,关键是审清题意,学会运用图形的平移变换、翻折变换、旋转变换和位似变换,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法.
在平时的学习中,要注重操作性习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力,要学会运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并将其转化为我们所熟悉的数学问题.
折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.
分析：(1)①由矩形及轴对称的性质可得△ACE是等腰三角形,进而得出△B'ED也是等腰三角形,再根据两等腰三角形的顶角相等得出底角也相等,从而由∠ADB'=∠DAC得到B'D∥AC;②由四边形ABCD是矩形可得CF∥AE,得∠DAC=∠ACF,由折叠可得∠ACE=∠ACF,则∠DAC=∠ACE,可得AE=CE,则CE=AF=AE=CF,得四边形AECF是菱形.
(2)思路与(1)类似.(3)根据折叠的方式进行分类讨论,当第一次折叠时△ACB'与△ACD可能重合也可能不重合,画图,由轴对称的性质解决问题.(4)当△AB'D为直角三角形时,所以根据哪个角为直角分类讨论,画出图形利用30°角分别计算.
②菱形.理由:如图③,设展开后点E的对应点为F,∵四边形ABCD是矩形,∴CF∥AE,∴∠DAC=∠ACF,由折叠可得∠ACE=∠ACF,∴∠DAC=∠ACE,∴AE=CE,又∵AF=AE,CE=CF,∴CE=AF=AE=CF,∴四边形AECF是菱形.
(2)结论仍成立.若选择①证明:∵B'C=AD,AE=CE,∴B'E=DE.∴∠CB'D=∠ADB'.∵∠AEC=∠B'ED,∠ACB'=∠CAD,∴∠ADB'=∠DAC.∴B'D∥AC.若选择②证明:如图④,设展开后点E的对应点为F,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥AE,∴∠DAC=∠ACF.由折叠可得∠ACE=∠ACF,CE=CF,∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE,∴AE=CF,∴四边形AECF是菱形.
【高分点拨】本题考查四边形的折叠、轴对称图形的性质等知识,解题的关键是正确理解和灵活运用图形折叠的性质,属于中考常考题型.
问题背景数学活动课上,老师将一副三角尺按图①所示位置摆放,分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON,然后提出如下问题:求出∠MON的度数.
特例研究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题,他们将三角尺分别按图②、图③所示的方式摆放,OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线.其中,按图②方式摆放时,可以看成是ON,OD,OB在同一直线上.按图③方式摆放时,∠AOC和∠BOD相等.
(1)请你帮助“兴趣小组”进行计算:图②中∠MON的度数为 °.图③中∠MON的度数为 °. 发现感悟解决完图②、图③所示问题后,“兴趣小组”又对图①所示问题进行了讨论.小明:由于图①中∠AOC和∠BOD的和为90°,所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和,这样就能求出∠MON的度数.小华:设∠BOD为x°,我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数,这样也能求出∠MON的度数.
(2)请你根据他们的谈话内容,求出图①中∠MON的度数.
类比拓展受到“兴趣小组”的启发,“智慧小组”将三角尺按图④所示方式摆放,分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON,他们认为也能求出∠MON的度数.
(3)你同意“智慧小组”的看法吗?若同意,求出∠MON的度数;若不同意,请说明理由.
1.【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D.
【简单应用】(2)如图2,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°,求∠P的度数.[可直接使用问题(1)中的结论]【问题探究】(3)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,猜想∠P的度数为 .
1.解:(1)证明:在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°,在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°,∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D.
2.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC; ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 .
猜想论证:(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
3.解:(1)∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,∴AC=BC,CE=CD,∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,且AC=BC,CE=CD,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC=45°,∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°,∴AD⊥BD.故答案为AD⊥BD.
4.如图①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.
请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.①∠BEP= °; ②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是 ; (2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由;(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.
解:(1)①如图1中,∵∠BPE=80°,PB=PE,∴∠BEP=∠PBE=50°. ②结论:AB∥EC.理由:∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,∴∠BDE=90°,∴∠EBD=90°-50°=40°.∵AE垂直平分线段BC,∴EB=EC,∴∠ECB=∠EBC=40°.∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∴∠ABC=∠ECB,∴AB∥EC.故答案为①50,②AB∥EC.
(3)如图3中,作AH⊥CE于H, ∵点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,∴当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值为AB=3.
5.问题背景:在△ABC中,边AB上的动点D由A向B运动(与A,B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.
(1)初步尝试:如图1,若△ABC是等边三角形,DH⊥AC,且点D,E的运动速度相等,求证:HF=AH+CF.小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:思路一:过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立;思路二:过点E作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立.请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评分).
解:(1)证明(选择思路一):过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图1,
(2)过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图2,
6.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示). (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
解:(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b.故答案为:CB的延长线上,a+b.
(2)①CD=BE,理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB.
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