湖南省长沙一中双语中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年湖南省长沙一中双语中学八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列服装中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是，将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，河道的同侧有、两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至，两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列各式从左到右的变形中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，，是的角平分线上的一点，于点，交于点，若，则的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，现在生产万份疫苗所需的时间与更新技术前生产万份疫苗所需时间少用天，设现在每天生产万份，据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  下列结论：不论为何值时都有意义；时，分式的值为；若的值为负，则的取值范围是；若有意义，则的取值范围是且其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  为非负整数当，，，，时的展开情况如下所示：
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知式子在实数范围内有意义，则的取值范围是        ．

12.  如图，，请根据图中提供的信息，写出______．

13.  如果，，那么代数式的值是        ．

14.  若，则        ．

15.  如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则______．

16.  如果，，是正数，且满足，，则的值为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
．
．

18.  本小题分
因式分解
；
 

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
某校为了解疫情期间学生在家上网课的学习情况，随机抽取了该校部分学生对其学习效果进行调查，根据相关数据，绘制成如图不完整的统计图．

此次调查该校学生人数为______名，学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为______；
补全条形图；
请估计该校名学生疫情期间网课学习效果“一般”的学生人数．

21.  本小题分

已知：如图，在等边三角形的三边上，分别取点，，，使求证：是等边三角形．
 

22.  本小题分
在新冠肺炎疫情期间，某校为了常态化的测量学生的体温，拟购买若干个额温枪发放到班主任和相关人员手中，现有型、型两种型号的额温枪可供选择．已知每只型额温枪比每只型额温枪贵元，用元购进型额温枪的数量与用元购进型额温枪的数量相等．
每只型、型额温枪的价格各是多少元？
若该校计划购进型型额温枪共只，且购进两种型号额温枪的总金额不超过元，则最多可购进型额温枪多少只？

23.  本小题分
如图，为的角平分线．

如图，若于点，交于点，，则______．
如图，若，点在上，且，，，求的长；用含、的式子表示
如图，，点在的延长线上，连接，若的面积是，求的面积．

24.  本小题分
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式例如，分式，是真分式如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式例如，分式，是假分式一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如．
判断：分式是        ，分式是        ；填“真分式”或“假分式”
将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
若是整数，且分式的值为整数，求的值．

25.  本小题分
如图，中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
如图，过点作交于点，求证：≌，并写出、和的数量关系；
如图，连接交于点，若，求证：点为中点；
当点在射线上，连接与直线交于点，若，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时管道长度最短．
故选：．
根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而利用含度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：过点作，垂足为，

平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，且现在每天生产万份疫苗，
更新技术前每天生产万份疫苗．
依题意得：．
故选：．
由现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗及现在每天生产万份疫苗，可得出更新技术前每天生产万份疫苗，利用工作时间工作总量工作效率，结合现在生产万份疫苗所需的间比更新技术前生产万份疫苗所需时间少用天，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，

故选：．
根据已知条件证得≌，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：正确，不论为何值不论，不论为何值都有意义；
错误，当时，，此时分式无意义，此结论错误；
正确，若的值为负，即，即，此结论正确；
错误，根据分式成立的意义及除数不能为的条件可知，若有意义，则的取值范围是即，，且，故此结论错误．
故选：．
根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．
本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意中除数不能为，否则会造成误解．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．

当时展开式所有系数的和为．
故选：．
由特殊情况，可以总结出一般规律．
本题考查杨辉三角的有关知识，关键是由特殊情况观察规律．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，解得．
故答案为：．
根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，
即．
故答案为：．
先利用三角形的内角和定理求出，然后根据全等三角形对应边相等解答．
本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
，
，即，
，，
当时，原式，
当时，原式，
故答案为：．
将两边进行平方，结合已知得到，利用完全平方公式的形式，求得，对原式进行因式分解，再将式子整体代入求值即可．
本题考查了因式分解和代数式求值，利用完全平方公式的特点进行求解是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，





，
故答案为：．
先把条件变式，再把原式变式，整体代入求解．
本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，
点在的平分线上，，，
，
，
，
故答案为：．
作于点，根据角平分线的性质求得的长，然后利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得的长，难度不大．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，，



，
，
原式．
故答案为：．
把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可．
本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是灵活进行分式的变形以及整体思想的运用．
 

17.【答案】解：



；


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】提公因式即可；
先提公因式，再利用完全平方公式即可进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
 

19.【答案】解：



，
，
，
原式． 

【解析】先算括号里的式子，再算括号外的除法，然后根据可以得到，然后代入化简后的式子即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】解：，；
学习效果“一般”的人数为名，
补全图形如下：

听课效果一般的学生所占百分比为，
由样本估计总体得：该校听课效果一般的学生人数为名
答：该校听课效果一般的学生人数为名． 

【解析】解：此次调查的学生人数为名，
学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
由学习效果“很好”的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“较差”人数所占比例即可得；
根据四种学习效果的人数之和等于被调查的总人数求出“一般”的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中学习效果“一般”的学生人数所占比例即可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】证明：是等边三角形，
，
，
，
在和中，
≌，
，
同理，
．
是等边三角形． 

【解析】由是等边三角形，，易证得≌，即可得，同理可得，即可证得：是等边三角形．
此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．
 

22.【答案】解：设型额温枪的价格是元，型额温枪的价格是元，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
元，
答：型额温枪的价格是元，型额温枪的价格是元；
设购进型号额温枪只，
，
，
最多可购进型号额温枪只． 

【解析】设型额温枪的价格是元，型额温枪的价格是元，由“用元购进型额温枪与用元购进型额温枪的数量相等”列出方程可求解；
设购进型号额温枪只，“购买两种额温枪的总资金不超过元”列出不等式可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
故答案为：．
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
；
如图，延长、交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，

，
设，
，
，
，
，
．
利用证明≌，得出，再利用即可求得答案；
利用证明≌，得出，，由题意可得出，再利用等角对等边证得，即可得出答案；
延长、交于，先证明≌，得出：，，利用等底等高的两个三角形面积相等可得，设，即可得出答案．
本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
 

24.【答案】真分式  假分式 

【解析】解：分式的分子的次数为，低于分母的次数，
所以是真分式；
分式的分子的次数为，高于分母的次数，
是假分式；
由题可得，；



，
分式的值为整数，且为整数，
，，
，，，，，，
故的值为：，，，，，．
分式的分子的次数低于分母的次数，所以是真分式；分式的分子的次数高于分母的次数，所以是假分式；
根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值．
本题考查了分式的加减混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，即；

证明：如图，过点作交于点，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
点为中点；

解：过作的延长线交于点，如图，
，，，
，
由知：≌，≌，
，，
，
，
，
同理，当点在线段上时，．
故答案为：或． 

【解析】通过全等三角形≌的对应边相等得到：，，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；
过点作交于点，根据中结论可得，即可证明≌，可得，根据可证，根据，，即可解题；
过作的延长线交于点，易证，由可知≌，≌，可得，，即可求得的值，即可解题．
本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌、≌是解题的关键．