人教版中考一轮复习 第2讲 方程（组）与不等式（组）--尖子班

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知识点1 一元一次方程
1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.
⑵ 性质：① 如果，那么b±c；② 如果，那么bc；如果，那么
2. 方程、一元一次方程的解、概念
(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0.
3. 解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.
4. 一元一次方程的应用：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【典例】
例1（2020秋•虎林市期末）解下列方程：
（1）5x+2（3x﹣7）＝9﹣4（2+x）；
（2）x-14-2x+16=1．
【解答】解：（1）去括号，可得：5x+6x﹣14＝9﹣8﹣4x，
移项，合并同类项，可得：15x＝15，
系数化为1，可得：x＝1．
（2）去分母，可得：3（x﹣1）﹣2（2x+1）＝12，
去括号，可得：3x﹣3﹣4x﹣2＝12，
移项，合并同类项，可得：x＝﹣17．
【方法总结】
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
例2（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=-m-22的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
【解答】解：（1）5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1＝4x﹣4+1，
5x﹣4x＝﹣4+1+1+5，
x＝3；
（2）由题意得：方程2（x+1）﹣m=-m-22的解为x＝3+2＝5，
把x＝5代入方程2（x+1）﹣m=-m-22得：
2（5+1）﹣m=-m-22，
12﹣m=-m-22，
m＝22．
【方法总结】
此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
例3（2020秋•蓬江区校级月考）已知关于x的方程3x﹣6（x-b3）＝4x和3x+b4-1-5x8=1有相同的解，求这个解．
【解答】解：∵3x﹣6（x-b3）＝4x，
∴x=27b，
∵关于x的方程3x﹣6（x-b3）＝4x和3x+b4-1-5x8=1有相同的解，
∴把x=27b代入3x+b4-1-5x8=1得：
3×27b+b4-1-5×27b8=1，
解得：b=74，
将b=74代入第二个方程，
2（3x+b）﹣（1﹣5x）＝8，
11x＝9﹣2b，
11x＝9﹣2×74，
解得x=12．
【方法总结】
本题考查了同解方程，解决本题的关键是根据题意先求出b的值．
例4 （2020秋•抚顺县期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺，问绳长和井深各多少尺？若设绳长为x尺，同学们，请你们根据题意，列出方程，求出绳子的长度．
【解答】解：设绳长为x尺，
依题意得：13x﹣4=14x﹣1，
解得：x＝36．
答：绳子长36尺．
【方法总结】
本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
例5（2020秋•道里区期末）为满足防控新冠疫情的需要，某医务物品供应商欲购买一批疫情防护套装．现有甲、乙两个医用物品生产厂家，均标价每套防护套装80元．甲的优惠方案：购买物品一律九折；乙的优惠方案：如果超出600套，则超出的部分打八折．
（1）购进多少套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样？
（2）第一次购进了1000套，第二次购进的数量比第一次购进数量的2倍多100套，求医务用品供应商两次购进防护套装最少花多少钱？
【解答】解：（1）设购进x套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样，
由题意可得：0.9×80x＝80×（x﹣600）×0.8，
解得：x＝1200，
答：购进1200套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样；
（2）第一次，∵1000＜1200，
∴选甲生产厂家，80×1000×0.9＝72000（元），
第二次，∵1000×2+100＝2100（套），
∴选乙生产厂家，80×600+80×（2100﹣600）×0.8＝48000+96000＝144000（元），
∴72000+144000＝216000（元），
答：医务用品供应商两次购进防护套装最少216000元．
【方法总结】
本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•镇原县期末）解方程：
（1）3x+7＝32﹣2x；
（2）3+x2=2-1-2x6．
【解答】解：（1）移项，可得：3x+2x＝32﹣7，
合并同类项，可得：5x＝25，
系数化为1，可得：x＝5．
（2）去分母，可得：3（3+x）＝12﹣（1﹣2x），
去括号，可得：9+3x＝12﹣1+2x，
移项，合并同类项，可得：x＝2．
2．（2020秋•金安区校级期中）如果关于x的方程x-43=8-x+22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求a的值．
【解答】解：解方程x-43=8-x+22得：x＝10，
由题意：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解为x＝10，
代入得：4×10﹣（3a+1）＝6×10+2a﹣1，
解得：a＝﹣4．
3．（2020秋•建湖县校级月考）已知关于x的一元一次方程1-x-mx3=0．
（1）若该方程的解为x＝1，求m的值；
（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m的值．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程1-x-mx3=0得：1-1-m3=0，
解得：3﹣（1﹣m）＝0，
3﹣1+m＝0，
m＝﹣2；
（2）1-x-mx3=0，
x-mx3=1，
x﹣mx＝3，
（1﹣m）x＝3，
x=31-m，
∵方程的解为正整数，
∴31-m＞0，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
∵31-m为正整数，m为整数，
∴1﹣m＝3或1﹣m＝1，
解得：m＝﹣2或0．
4．（2020秋•新宾县期末）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【解答】解：设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68﹣x）名工人加工小齿轮，依题意有
3×16x＝2×10（68﹣x），
解得x＝20，
68﹣x＝68﹣20＝48．
故需要安排20名工人加工大齿轮，需要安排48名工人加工小齿轮．
5．（2020秋•讷河市期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案．
方案一：所有人按全票价的90%购票；
方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票；
（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？
（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？
【解答】解：（1）方案一收费为：35×30×90%＝945（元），
方案二收费为：20×30+（35﹣20）×30×80%＝960（元），
∵960＞945，
∴方案一更省钱；
（2）设女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，由题意得
（15+x）×30×90%＝20×30+（15+x﹣20）×30×80%，
解得：x＝25，
答：当女同学人数是25人时，两种方案付费一样多．
知识点2 一元二次方程
1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为.
（1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.
（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即 .
（3）