2022-2023学年河南省南阳市西峡县城区二中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市西峡县城区二中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  当时，代数式的值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知为锐角，且，那么等于(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，是的外接圆，，则的大小为(    )A.
B.
C.
D. 4.  已知∽，如果它们的相似比为：，那么它们的面积比是(    )A. ： B. ： C. ： D. ：5.  如图，线段，相交于点，若，，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点、点，点的坐标为，的半径长为，则点坐标为(    )A.
B.
C.
D. 7.  二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是(    )A.
B.
C.
D. 8.  正方形内接于，若的半径是，则正方形的边长是(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，在中，中线，相交于点，连接，下列结论：


 ；；；其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个10.  如图，一条抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动，点，的坐标分别为，，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  如果，则的值是______．12.  若点，是抛物线上的两个点，则此抛物线的对称轴是直线        ．13.  如图，，是圆上的点，，则的度数为______ ．
 14.  在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为        ．15.  如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．17.  本小题分
已知二次函数．
将化成的形式；
该二次函数图象的顶点坐标是        ．18.  本小题分
如图，在中，为锐角，，，，求的长．
19.  本小题分
如图，四边形是内接四边形，对角线和，已知．
求证：．
20.  本小题分
已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，其中．
求，的值用含的代数式表示；
设抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，如图所示，若点的坐标为，，求抛物线的关系式．
21.  本小题分
百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元为迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天可多售出件．
要想平均每天销售这种童装盈利元，那么每件童装应降价多少元？
若设每件童装降价元时，平均每天销售这种童装盈利元，求与的函数关系式，并求的最大值．22.  本小题分
如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点点为抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，过点作于点，连接，设点的横坐标为．
求抛物线的解析式；
当为等腰直角三角形时，求线段的长；
如图，将绕点逆时针旋转，得到，且旋转角，当点的对应点落在坐标轴上时，请直接写出点的坐标．
 23.  本小题分
如图，在中，，，点、分别是边、的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．
问题发现
当时，______；
当时，______．
拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明．
问题解决
当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了开平方，绝对值的化简，属于基础题．
根据题意，进行求解即可．
【解答】
解：，
，，
，，
．
故选A．  2.【答案】 【解析】解：，为锐角，
．
故选：．
根据特殊角的三角函数值求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
 3.【答案】 【解析】解：是的外接圆，，
．
故选：．
由是的外接圆，，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 4.【答案】 【解析】解：∽，
：：：．
故选：．
直接利用相似三角形的性质求解．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 5.【答案】 【解析】解：，
，，
∽，
，即，
，
．
故选：．
由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，，进而可得出∽，再利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出的长，此题得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：过原点，
是的直径．
点的坐标为，的半径长为，
，
，
．
故选C．
先求出点坐标，再由中点坐标的性质即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：的图象的开口向上，
，
对称轴在轴的左侧，
，
一次函数的图象经过一，二，三象限．
故选：．
由的图象判断出，，于是得到一次函数的图象经过一，二，三象限，即可得到结论．
本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断、的取值范围．
 8.【答案】 【解析】解：连接，，则，，
在中，．
正方形的边长是，
故选：．
连接，，在中，根据勾股定理即可求解．
此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．
 9.【答案】 【解析】解：、是的中线，即、是和的中点，
是的中位线，
，即，
，
∽，
，，，
故正确，错误，正确；
故选C．
、是的中线，即、是和的中点，即是的中位线，则，∽，根据相似三角形的性质即可判断．
本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式证明和之间的关系是关键．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是二次函数与轴的交点，以及二次函数解析式求解方法．
当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，求出；当顶点在点时，点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：，令，求出值，即可求解．
【解答】
解：当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，
则此时抛物线的表达式为：，
把点的坐标代入得：，
解得：，
当顶点在点时，点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点的横坐标的最小值为，
故选：．  11.【答案】或 【解析】解：由题意得，，，
，
解得，
，
，
或，
综上所述，的值是或．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式求出的值，再求出，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 12.【答案】 【解析】解：点，是抛物线上的两个点，且纵坐标相等．
根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线．
故答案为：．
根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，圆的半径，
，
是等边三角形，，
，
故答案为：．
由，，得是等边三角形，即，又由在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
本题查了圆周角定理与等边三角形的判定和性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧对的圆心角的一半的应用．
 14.【答案】 【解析】解：设黄球的个数为个，
根据题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：．
设黄球的个数为个，根据概率公式得到，然后解方程即可．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
根据旋转的性质得到≌，，所以是等腰三角形，，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积．
【解答】
解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，
≌．
．
是等腰三角形，．
．
又，，
．
故答案为：．  16.【答案】解：原式

，
，
当时，
原式

． 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 17.【答案】 【解析】解：


．
即；

二次函数图象的顶点坐标是
故答案为：
先提出二次项系数，然后加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
根据二次函数的顶点坐标为．
本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质，难度适中．利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．
 18.【答案】解：作于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，． 【解析】作于点，根据正弦的定义求出，，根据勾股定理计算求出．
本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键．
 19.【答案】证明：，，，
≌，
． 【解析】由圆周角定理得到，即可证明≌，得到．
本题考查圆周角定理，全等三角形，关键是掌握圆周角定理，全等三角形的判定方法．
 20.【答案】解：一元二次方程的两个实数根是，；
，，
，；
由知抛物线与轴两个交点的坐标为，，
，，
，
解得，
，
，
抛物线解析式为． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可以得出结论；
根据抛物线与轴的交点和，列出关于的方程，解方程即可．
本题考查了抛物线与轴的交点、一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定，关键是对二次函数性质的应用，
 21.【答案】解：设要想平均每天销售这种童装盈利元，那么每件童装应降价元，
，
解得，，
当时，卖出的多，库存比时少，
要想平均每天销售这种童装盈利元，那么每件童装应降价元；
设每件童装降价元，利润为元，
，
当时，取得最大值，此时，
即每件童装降价元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是元． 【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，注意题目中要求扩大销售量，增加盈利，减少库存；
根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 22.【答案】解：点在直线上，
，
，
令，
，
，
抛物线经过点，交轴于点．
，，
，
抛物线解析式为，
解法一：
点的横坐标为，且点在抛物线上，
，
轴，
点坐标为
，，
当为等腰直角三角形时，．


解得：舍去，，
当为等腰直角三角形时，线段的长为或．
解法二：
点的横坐标为．
，
当为等腰直角三角形时，．
当点在直线上方时，
若点在轴左侧，则，．
，
解得舍去，舍去
若点在轴右侧，则，．
，
解得舍去，．
当点在直线下方时，，，
，
解得舍去，．
综上所述，或
即当为等腰直角三角形时，线段的长为或．

方法、为等腰直角三角形，且轴，，
，
直线的解析式为或，
点在抛物线上，
联立解得，或，
，
，

联立解得，或，
，
，
，
，
即当为等腰直角三角形时，线段的长为或．

，，，
，
，，
当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，交于点，
轴，
，
，
，

由旋转知，，
，
如图，
由旋转知，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
舍，或，
如图，

同的方法得，，
，
，
，或舍，
或，
当点落在轴上时，如图，
过点作轴，交于，过点作轴，交的延长线于点，

，
同的方法得，，，
，
，
，

或或 【解析】先确定出点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
方法、由为等腰直角三角形，判断出，建立的方程计算出，从而求出；
方法、分点在直线上方和下方，两种情况讨论计算即可．
方法、先求出直线的解析式为或即可求出点的坐标，即可得出结论；
分点落在轴和轴两种情况计算即可．
当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，交于点，先利用互余和旋转角相等得出，进而表示出，用，用，建立方程即可；
同的方法即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．
 23.【答案】  【解析】解：当时，
中，，，
，
点、分别是边、的中点，
，，
；
当时，如图：

，
，，共线，，，共线，
，
，
，
；
故答案为：；；
当时，的大小没有变化，证明如下：
如图：

，
，
又，
∽，
；
当在上方时，如图：

，，，
，
，，，
四边形是矩形，
；
当在下方时，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，如图，

，，，
，
旋转前点、分别是边、的中点，
，
，
由，可得，
；
综上所述，的长为或．
当时，在中，由勾股定理，求出的值；然后根据点、分别是边、的中点，分别求出、的大小，即可求出；
时，可得有，从而可求出的值；
首先判断出，再根据，判断出∽，即可求出的值，进而判断出的大小没有变化即可．
根据题意，分两种情况：当在上方时；当在下方时；分别画出图形，即可求得答案．
此题主要考查几何变换综合应用，涉及相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是分类讨论思想，数形结合思想的应用．