【全套】中考数学复习专题（知识梳理+含答案）预测11 二次函数与几何的综合

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 预测11 二次函数与几何的综合

二次函数是全国中考的热点，也是每年必考的！全国各地的中考数学试题都把二次函数作为压轴题。
1．从考点频率看，周长、面积、相似、直角三角形和平行四边形与二次函数的综合是高频考点。
2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约11分。

常考知识点总结
1.几何分析法 
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有的
图形 
平移
、
平行四边形 矩形 梯形
跟直角有关的图形 
勾股定理逆定理 
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 

直角三角形 
直角梯形 矩形
跟线段有关的图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。

等腰三角形 全等 等腰梯形
跟角有关的图形 
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等


2. 两点之间距离公式：
3.中点坐标：线段AB的中点C的坐标为:
4.直线的位置关系
（1）两直线平行 （2）两直线相交
（3）两直线重合 （4）两直线垂直
5.三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
6.点到直线的距离公式

1．（2019年湖北省黄石市中考数学试题）如图，已知抛物线经过点、.
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积
（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）

【答案】（1），;（2）36;（3）
【解析】
【分析】
（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5），即可求解；
（2）S四边形AMBC=AB（yC-yD），即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y=x2，即可求解．
【详解】（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，
点M坐标为（2，-3）；
（2）当x=8时，y=（x+1）（x-5）=9，即点C（8，9），
S四边形AMBC=AB（yC-yD）=×6×（9+3）=36；
（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，
抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，
则新抛物线表达式为：y=x2，
则定点D与动点P之间距离PD=，
∵＞0，PD有最小值，当x2=3m-时，
PD最小值d=．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．
2．（2019年湖南省常德市中考数学试题）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） （2）最大值为10
（3）故点P坐标为：或或．
【解析】
【分析】[来源:Zxxk.Com]
（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长，即可求解；
（3），解得：，即可求解．
【详解】（1）二次函数表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，解得：，
故函数表达式为：…①；
（2）设点M的坐标为，则点，
则，，
矩形MNHG的周长，
∵，故当，C有最大值，最大值为10，
此时，点与点D重合；
（3）的面积是矩形MNHG面积的，
则，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即，
过点P作于点K，

将、坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：，
，∴，，
设点，则点，
，
解得：，
则，
解得：，
故点，
直线n的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
即点、的坐标分别为、；
故点P坐标为：或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3.（广东省2019年中考数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.

（1）求点、、的坐标；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.
①求出一个满足以上条件的点的横坐标；
②直接回答这样的点共有几个？
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）①点P的横坐标为，，，②点P共有3个.
【解析】
【分析】
(1)令y=0，可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；
(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如图2，易得，由此可得，继而证明为等边三角形，推导可得，再由，，可得，问题得证；
(3)①设点的坐标为，分三种情况：点在点左侧，点在点右侧，点在之间，分别讨论即可得；
②由①的结果即可得.
【详解】(1)令，
解得或，
故，，
配方得，故；
(2)∵，CO⊥AF，
∴OF=OA=1，
如图，DD1⊥轴，∴DD1//CO，

∴
∴，
即，
∴，
∴CF==2，
∴，
即为等边三角形，
∴∠AFC=∠ACF=60°，
∵∠ECF=∠ACF，
∴，
∴，
∵CF：DF=OF：FD1=1：2，
∴DF=4，∴CD=6，
又∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(3)①设点的坐标为，
(ⅰ)当点在点左侧时，

因为与相似，
则1)，
即，
∴(舍)，x2=-11；
2)，
即，
∴(舍)，；
(ⅱ)当点在点右侧时，

因为与相似，
则3)，
即，
∴(舍)，(舍)；
4)，
即，
∴(舍)，(舍)；
(ⅲ)当点在之间时，

∵与相似，
则5)，
即，
∴(舍)，(舍)；
6)，
即，
∴(舍)，；
综上所述，点的横坐标为，，；
②由①可得这样的点P共有3个.
【点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.
4．（福建省2019年中考数学试题）已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.
(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；[来源:学。科。网Z。X。X。K]
(2)设A为抛物线上一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.

【答案】(1) y=a(x－2)2, c=4a;(2) ①顶点A(1,0)，y= x2－2x+1,②见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；
（2）①y＝kx＋1−k＝k（x−1）＋1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．
【详解】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x−2）2，则c＝4a；
(2) y=kx+1－k= k(x－1)+1过定点(1,1),
且当k＝0时，直线l变为y=1平行x轴,与y轴的交点为(0,1)
又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点
①c=1，顶点A(1,0)
抛物线的解析式: y= x2－2x+1.
②

x2－(2+k)x+k＝0,
x＝(2+k±)
xD＝xB＝(2+k－), yD=－1；
则D
yC＝(2+k2+k,
C，A(1,0)
∴直线AD表达式中的k值为：k AD==，
直线AC表达式中的k值为：k AC=
∴k AD= k AC, 点A、C、D三点共线.
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大．
5．（2019年辽宁省朝阳市中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的值为或；（3）存在，M的坐标为或或．
【解析】
【分析】
（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；
（2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得△BFG∽△BEH，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据EH与FG的关系列出关于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值；
（3）①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：点M在对称轴右侧时，BN为对角线与点M在对称轴左侧时，BM为对角线，利用平移的性质即可求出结果；②当EB为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线的性质和中点坐标公式求解即可.
【详解】解：（1）在中，当时，当时，
∴、，
∵抛物线的图象经过A、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，解得，，∴，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴△BFG∽△BEH，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，，
当时，，
∴，，
当点E的坐标为时，在Rt△EBH中，，，
∴，
∴；
同理，当点E的坐标为时，，
∴的值为或；
（3）∵点N在对称轴上，∴，
∵点E位于对称轴左侧，∴.
①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：
（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，
∵，，，，
∴，当时，，
∴；
（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵，，，，
∴，
当时，，
∴；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵，，，
∴，
∴，
当时，，
∴；
综上所述，M的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求解、锐角三角函数的知识、平行四边形的性质及其第四个顶点的确定问题，考查的知识点多、综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键；熟知函数图象上点的坐标特征、灵活应用相似三角形的性质和方程思想是解（2）题的关键；正确分类、不重不漏，灵活运用平行四边形的性质和平移的数学思想方法是解（3）题的关键.



1．（2019年四川省成都市中考一模数学试题）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，点为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点到直线的距离为时，求点的横坐标；
（3）当和的面积相等时，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）；（2）点的横坐标为或；（3）或或
【解析】
【分析】
（1）把，代入解析式即可求解； （2）过P作，轴交AB于D，构建直角三角形，利用三角函数建立与PD的关系即可求解； （3）△ACP和△ABC的面积相等，过作的平行线与抛物线的交点符合题意，再把向上平移两平行线间的距离得另两个交点也符合题意，联立两个解析式即可求解．
【详解】解：（1）把，代入得

解得：
所以，抛物线的解析式为：

（2）过点作于，过点作轴交直线于，
则，
，
，，
直线的解析式为：


又


设点，
，
，，
当时，解得：，
当，方程无解．
故点的横坐标为或
（3）如图，

过B作，则，
，，
所以设 为，把代入得，，
所以：
所以 解得：，
所以．
因为： ，所以，又，
所以，把向上平移4个单位长度得：，
所以 ，解得： ，
所以 ，
所以P的坐标为或或
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数及平移、勾股定理运用等知识点，数型结合是关键．
2．（2020年广东省初中学业水平考试数学模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图①，若点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
(3)若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2）1或2（3）存在；M1（2，2）M2（-2，）M3（4，）
【解析】
【分析】
（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式求出a、b即可得到解析式；
（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，用m表示出D、E的坐标，求出DE线段的表达式，再利用面积关系建立方程求解；
（3）根据平行四边形对角线互相平分，可知对角线上的两个点的中点相同，可用中点坐标公式建立方程求解，设N(1,n)，M(x,y)，分3种情况讨论即可.
【详解】（1）把A（-1，0），B（3，0）代入中，得：
解得：
∴抛物线解析式为
（2）过点D作y轴平行线交BC于点E
把代入中，得：，
∴C点坐标是（0，2），又B（3,0）
∴直线BC的解析式为
∵
∴

∴

由得：
∴
整理得：
解得 ，
∵0＜m＜3
∴m的值为1或2
（3）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
设N(1,n)，M(x,y)，
四边形CMNB是平行四边形时，CN、MB为对角线，
∴
∴x=−2，代入抛物线得
∴M（-2，）；
四边形CNBM时平行四边形时，CB、MN为对角线，
∴，
∴x=2，代入抛物线得
∴M(2,2)；
四边形CNMB时平行四边形时，CM、BN为对角线，
∴，
∴x=4，代入抛物线得
∴M（4，）；
综上所述：存在M1（2，2）M2（-2，）M3（4，）
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，包含待定系数法求解析式，面积问题和平行四边形存在性问题，属于中考常考类型题，需要掌握抛物线的图像与性质，特殊几何图形的性质，注意数形结合.
3．（2020年安徽省阜阳市太和县九年级第二次调研模拟预测试题）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线：()经过点和轴上的点，，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结，求；
（3）将抛物线向上平移得到抛物线，抛物线与轴分别交于点(点在点的左侧)，如果△MBF与相似，求所有符合条件的抛物线的表达式．

【答案】（1）；（2）；（3）抛物线为：或．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从而可以求得S△AOM；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．
【详解】解：（1）过作轴，垂足为，
∵，∴
∵
∴，．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴
∵抛物线：经过点，
∴可得：，
解得：
∴这条抛物线的表达式为；

（2）过作轴，垂足为，
∵=
∴顶点是，得
设直线AM为y=kx+b，
把，代入得，解得
∴直线为
令y=0，解得x=
∴直线与轴的交点为
∴
（3）∵、，
∴在中，，
∴．
∴．由抛物线的轴对称性得：，
∴．
∵，
∴
∴．
∴当△MBF与相似时，有：或
即或，
∴或．
∴或
设向上平移后的抛物线为：，
当时，，
∴抛物线为：
当时，，
∴抛物线为：．
综上：抛物线为：或．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．
4.（2019年重庆市中考数学模拟试卷5月份试题）如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y轴交于点D，连接BC、AC．
（1）求直线AD和BC的解折式；
（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG的周长最小时点F的坐标；
（3）如图3，将△DAC绕点D逆时针旋转角度α（0°＜α＜180°），记旋转中的三角形为△DA′C′，若直线A′C′分别与直线BC、y轴交于M、N，当△CMN是等腰三角形时，请直接写出CM的长度．

【答案】（1）y＝x+1，y＝x﹣3；（2）F（，）；（3），，或．
【解析】
【分析】
（1）令y=0，得x1=-1，x2=4，A（-1，0），B（4，0），令x=0，得C（0，-3），令x=，得y=，M（，），待定系数法可求直线AD、BC的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的动点，△FBC面积最大值可以转化为求二次函数最大值问题，设点F横坐标为t，则可以将△FBC面积表示成t的二次函数，再应用配方法将二次函数化成顶点式，就可以求出△FBC面积最大时，F的坐标；四边形BEFG周长的最大值实际上就是求EF+BG的最大值，通过轴对称求线段和的最小值方法求解；
（3）△CMN是等腰三角形，必须分三种不同情况讨论：①CM=CN，②CM=MN，③CN=MN．
【详解】解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝，得y＝＝，
∴M（，），
设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1．
设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；

（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，

设E（t，），H（t，），
∴HE＝＝
∴＝＝＝
∵＜0，
∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），
作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，

∴B1（﹣1，5），
∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，
∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，
∴B2（﹣5，1），
当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，
解得，
∴直线B2E解析式为y＝，
联立方程组，
解得．
∴F（，）．
（3）如图，分三种情况：

在中，令，则



,
设AC边上的高为h，根据等面积法得，

且OB⊥OC，

①CM＝MN时，如图，过点M作MG⊥OC，过点D作DP⊥MN于点P


∴设，则，
由勾股定理得，，

∴△MGN∽△DPN
，即
解得，，（舍去）

②当时，如图，过点M作MG⊥OC，过点D作DP⊥MN于点P


设，则




∵△DPN∽△MGN

，解得：（舍去），，
；
③当时，如图，作，，[来源:学#科#网]


设，则




∵△DPN∽△CQN
，即，解得，（舍去），
；
④当时，过M作，过点D作DP⊥MN于点P


设，则




在中，

解得，（舍去）
.
综上，CM的长为，，或.
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最大值问题，利用轴对称求线段和的最小值问题，图形旋转问题，以及等腰三角形分类讨论问题．
5．（2020年四川省凉山州中考数学模拟试题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(﹣1，0)，C(0，3)两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，点D与点C关于抛物线对称轴对称，作直线AD．点P在抛物线上，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，交直线AD于点Q，过点P作PG⊥AD，垂足为点G，连接AP．设点P的横坐标为m，PQ的长度为d．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标及直线AD的解析式；
(3)当点P在直线AD上方时，求d关于m的函数关系式，并求出d的最大值；
(4)当点P在直线AD上方时，若PQ将△APG分成面积相等的两部分，直接写出m的值．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点D的坐标为(2，3)，直线AD的解析式为y＝x+1；（3）d关于m函数关系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值为；（4）m的值为0
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）将y＝﹣x2+2x+3配方得抛物线的对称轴，根据轴对称的性质可得点D的坐标，再根据待定系数法可求直线AD的解析式；
（3）根据两点间距离公式可得d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，依此可求d的最大值；
（4）可设直线PG的解析式为y＝﹣x+p，根据中点坐标公式可得G的坐标，再根据待定系数法可求m的值．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵将y＝﹣x2+2x+3配方，得y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1．
∴点D的坐标为（2，3）．
设直线AD的解析式为y＝kx+n，
由题意，得，
解得．
∴直线AD的解析式为y＝x+1．
（3）∵点P的横坐标为m，
∴点P，Q的纵坐标分别为﹣m2+2m+3，m+1，
∴d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝，
∴d关于m函数关系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值为．
（4）设直线PG的解析式为y＝﹣x+p，
∵PQ将△APG分成面积相等的两部分，
∴G的坐标为（2m+1，2m+2），
∴，
解得m1＝0，m2＝﹣1（不合题意舍去）．
故m的值为0．
【点睛】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法可求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，两点间的距离公式，中点坐标公式，以及方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
6．（安徽省首年地区2019-2020学中考第一次模拟预测数学试题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．

（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是_____．
（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝_____，对应的碟宽AB是_____．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．
【答案】（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，（2）2，4；（3）①y＝x2﹣3；②在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．
【解析】
【分析】
（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；
（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；
（3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；
②根据y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．
【详解】（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，
如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，
∴MN⊥AB，MN＝AB，
故答案为MN⊥AB，MN＝AB；

（2）∵抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），
∴m＝m2，
解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），
当m＝2则，2＝x2，
解得：x＝±2，
则AB＝2+2＝4；
故答案为2，4；
（3）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，
∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），
得，9a﹣4a﹣＝0，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣3；
②由①知，如图2，y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．

【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．
7.（黑龙江齐齐哈尔市2019届九年级中考一模考试数学试题）综合与探究
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点.

（1）求抛物线解析式：
（2）抛物线对称轴上存在一点，连接、，当值最大时，求点H坐标：
（3）若抛物线上存在一点，，当时，求点坐标：
（4）若点M是平分线上的一点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点坐标.
【答案】（1）；（2）点；（3）；（4），
【解析】
【分析】
（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出a、b的值即可得答案；（2）连接AC，延长AC交抛物线对称轴与H，由A、C两点坐标可得直线AC的解析式，根据抛物线解析式可得对称轴方程，根据A、C、H三点在一条直线时，的值最大，即可得答案；（3）由C点坐标可得△ABC和△ABP的高为4，可得P点纵坐标n=±4，把n=±4代入抛物线解析式求出m的值，根据mn>0即可得P点坐标；（4）设∠BAC的角平分线与y轴交于E点，过点E作EF⊥AC，根据角平分线的性质可证明△AFE≌△AOE，可得出AF的长，利用勾股定理可求出OE的长，可得E点坐标，进而利用待定系数法可求出直线AE的解析式，分两种情况：①当∠ABM1=90°时，M1N1=AB，AN1=BM，M1B⊥x轴，可得点M1的横坐标，代入AE的解析式可得点M1的纵坐标，即可得出BM的长，进而可得N1点坐标；②当∠AM2B=90°时，可知∠N2BA=∠BAE，过N2作N2G⊥x轴，根据点E坐标可得∠BAE的正弦值和余弦值，即可求出BN2的长，利用∠N2BA的正弦和余弦可求出N2G和BG的长，进而可得OG的长，即可得N2坐标；综上即可得答案.
【详解】（1）∵A（-3，0），B（4，0），点A、B在抛物线上，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-4.
（2）连接AC，延长AC交抛物线对称轴与H，
∵抛物线解析式为y=x2-x-4，与轴交于点C
∴C（0，-4），对称轴为直线x=-=，
∵≤AC，
∴A、C、H在一条直线上时取最小值，
设直线AC的解析式为y=kx+b,
∴，
解得：，[来源:Z*xx*k.Com]
∴直线AC的解析式为y=x-4，
当x=时，y=，
∴H点坐标为（，）.

（3）∵S△ABC=S△ABP，
∴ABOC=AB，
∴=4，
当n=4时，4=m2-m-4，
解得m=，
∵mn>0，
∴m=，
∴P点坐标为（，4）
当n=-4时，-4=m2-m-4，
解得：m=1或m=0，
∵mn>0，
∴m=1或m=0均不符合题意，
综上：P点坐标为（，4）.
（4）设∠BAC的角平分线交y轴于E，过E作EF⊥AC于F，
∵A（-3，0），B（4，0），C（0，-4），
∴AB=7，AC=5，OA=3，OC=4，
∵AE为∠BAC的角平分线，
∴OE=EF，
又∵AE=AE，
△AOE≌△FAE，
∴AF=OA=3，
∴FC=5-3=2，
∴EF2+FC2=CE2，即OE2+22=(4-OE)2，
解得：OE=，
∵点E在y轴负半轴，
∴E点坐标为（0，-），
设直线AE的解析式为y=kx+b，
∴
解得：
∴直线AE的解析式为y=，
①当∠ABM1=90°时，
∵ANMB是矩形，
∴M1N1=AB=7，AN1=BM，M1B⊥x轴，AN1⊥x轴，
∴x=4时，y=，
∴点N1坐标为（-3，）.
②当∠AM2B=90°时，过N2作N2G⊥x轴，
∵AM2BN2是矩形，
∴∠N2BA=∠BAE，
∵OA=3，OE=，
∴AE=，
∴sin∠BAE==，cos∠BAE==，
∴sin∠N2BA =，cos∠N2BA=
∴BN2=ABcos∠N2BA=，
∴N2G=BN2sin∠N2BA=，BG=BN2cos∠N2BA=，
∴OB-BG=-，
∴点N2坐标为（-，）.

综上所述：点N的坐标为N1（-3，），N2（-，）.
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，矩形的性质，三角函数的应用，综合性较强，注意分类思想的运用是解题关键.
8.（河南省濮阳市县区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．

【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)点或．
【解析】
【分析】
（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，
，，，
过点A作AH⊥BC与点H，

，解得：，
则，则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：(舍去负值)，
故点
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点；
综上，点或．
9.（湖北省襄阳阳光学校2019-2020学年九年级下册网络教学中考模拟数学试题）如图，已知直线y＝kx﹣6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

【解析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC＝∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y＝﹣x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．
【详解】解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，
∴y＝2x﹣6，
令y＝0，解得：x＝3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），
∴P（，）．
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴＝，即＝，∴DQ1＝，
∴OQ1＝，即Q1（0，）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴＝，即＝，
∴OQ2＝，即Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴＝，即＝，
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．