第二章 匀变速直线运动-2 多过程和追及相遇问题 高三物理一轮复习

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc112351768" 「多过程问题」 PAGEREF _Tc112351768 \h 1
\l "_Tc112351769" 「基本追及相遇问题」 PAGEREF _Tc112351769 \h 5
\l "_Tc112351770" 「多次相遇问题」 PAGEREF _Tc112351770 \h 7
\l "_Tc112351771" 「追及相遇中的临界情况」 PAGEREF _Tc112351771 \h 8
「多过程问题」
1.如图所示，某同学在直线跑道上测试一辆长城汽车VV7S的加速和制动性能，汽车从t＝0时刻开始加速直到速度v＝108 km/h，立即紧急制动，t＝13.5 s时汽车停下。若知刹车位移为67.5 m，加速过程和减速过程均看成匀变速运动。关于此汽车加速和减速过程说法正确的是（ ）
A．汽车的刹车时间为10 s
B．汽车刹车的加速度大小为eq \f(10,3) m/s2
C．汽车加速过程、减速过程的时间之比为1∶2
D．汽车加速过程、减速过程的位移之比为2∶1
【答案】D
【解析】
v＝108 km/h＝30 m/s，汽车制动过程x减＝eq \f(v,2)t减，得t减＝4.5 s，故A错误；汽车刹车加速度的大小a减＝eq \f(v,t减)＝eq \f(20,3) m/s2，故B错误；加速时间为t加＝13.5 s－4.5 s＝9 s，所以t加∶t减＝2∶1，故C错误；加速位移为x加＝eq \f(v,2)t加，减速位移x减＝eq \f(v,2)t减，那么，加速位移与减速位移之比等于加速时间与减速时间之比，即x加∶x减＝2∶1，故D正确。
2.高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为（ ）
A．4.2 m B．6.0 m
C．7.8 m D.9.6 m
【答案】D
【解析】
汽车的运动过程分为两个阶段，在识别时间内和司机反应时间内汽车做匀速运动，然后减速刹车。在识别车载电子标签的0.3 s时间内汽车匀速运动距离x1＝vt1＝6×0.3 m＝1.8 m，在司机的反应时间0.7 s内汽车匀速运动距离x2＝vt2＝6×0.7 m＝4.2 m，刹车距离x3＝eq \f(v2,2a)＝3.6 m，该ETC通道的长度约为x＝x1＋x2＋x3＝9.6 m，所以选项D正确。
3.一汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机忽然发现前方有一警示牌，立即刹车。刹车后汽车立即做匀减速直线运动，直至停止。已知从刹车开始计时，汽车在0～2 s内的位移大小为48 m，4～6 s内的位移大小为3 m。用v0、a分别表示汽车匀速行驶时的速度大小及刹车后的加速度大小，则（ ）
A．a＝eq \f(45,8) m/s2，v0＝eq \f(237,8) m/s
B．a＝eq \f(32,3) m/s2，v0＝eq \f(104,3) m/s
C．a＝8 m/s2，v0＝32 m/s
D．a＝6 m/s2，v0＝30 m/s
【答案】D
【解析】
设汽车刹车的加速度大小为a，初速度为v0，则在
0～2 s内的位移为x1＝v0t2－eq \f(1,2)ateq \\al(2,2) ①
汽车在4 s时的速度为v＝v0－at4 ②
则4～6 s内的位移为x2＝vt－eq \f(1,2)at2
代入数据解得v0＝29.625 m/s，a＝5.625 m/s2；
但当t＝6 s时，可得速度为v6＝－4.125 m/s，这说明在
t＝6 s时汽车已停止运动，因此上面的计算不成立。
则4～6 s内的位移为0－v2＝－2ax2③
联立①②③式计算可得a＝6 m/s2，v0＝30 m/s，故D正确，A、B、C错误。
4.已知A、B、C为同一直线上的三点、AB间的距离为l1，BC间的距离为l2，一做匀加速直线运动的物体，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段时间为t，通过BC段的时间为2t。则物体加速度为（ ）
A.eq \f(l2－2l1,t2) B.eq \f(l2－2l1,2t2)
C.eq \f(l2－2l1,3t2) D.eq \f(l2－2l1,4t2)
【答案】C
【解析】
设通过A点的速度为v，则l1＝vt＋eq \f(1,2)at2，l1＋l2＝v·3t＋eq \f(1,2)a(3t)2，解得a＝eq \f(l2－2l1,3t2)，故选项C正确。
5.如图所示是某一次接力训练。已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程。设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，加速度大小为3 m/s2。乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。在某次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端x0＝14.0 m处向乙发出起跑口令。已知接力区的长度为L＝20 m。求：
（1）此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
（2）为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令；
（3）在（2）中，棒经过接力区的时间是多少？
【答案】（1）6 m；（2）16.7 m；（3）2 s
【解析】
（1）设乙加速到交接棒时运动时间为t，则在甲追乙过程中有：x0＋eq \f(1,2)at2＝vt
代入数据得：t1＝2 s
t2＝4.67 s(不符合乙加速最长时间tm＝eq \f(v,a)＝eq \f(10,3) s实际，舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x′＝eq \f(1,2)at2＝6 m
（2）乙加速时间为：t乙＝eq \f(10,3) s
设甲在距离接力区前端为x′时对乙发出起跑口令，则在甲追乙过程中有：x′＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,乙)＝vt乙
代入数据得：x′≈16.7 m。
（3）棒在（2）过程以v＝10 m/s速度运动，所以有：t＝eq \f(L,v)＝2 s
6.为了最大限度地减少道路交通事故，某地开始了“集中整治酒后驾驶违法行为”专项行动。这是因为一般驾驶员酒后的反应时间比正常时慢了0.1～0.5 s，易发生交通事故。下图是《驾驶员守则》中的安全距离图示和部分安全距离表格。
请根据该图表回答下列问题(结果保留2位有效数字)：
（1）请根据表格中的数据计算驾驶员的反应时间；
（2）如果驾驶员的反应时间相同，请计算出表格中A的数据；
（3）假设在同样的路面上，一名饮了少量酒的驾驶员驾车以72 km/h速度行驶，在距离一学校门前52 m处发现有一队学生在斑马线上横过马路，他的反应时间比正常时慢了0.2 s，会发生交通事故吗？
【答案】（1）0.90 s；（2）20；（3）会 理由见解析
【解析】
（1）车速v1＝40 km/h＝eq \f(40,3.6) m/s
由于在反应时间内汽车仍匀速行驶，根据车速v和反应距离s，可计算驾驶员的反应时间Δt＝eq \f(s1,v1)＝eq \f(10,\f(40,3.6)) s＝0.90 s，即驾驶员的反应时间为0.90 s。
（2）如果驾驶员的反应时间相同，由eq \f(s1,v1)＝eq \f(s3,v3)可计算出表格中A的数据为s3＝eq \f(s1v3,v1)＝10×eq \f(80,40) m＝20 m，即表格中数据A表示20。
（3）车速v＝72 km/h＝20 m/s
反应时间Δt＝0.90 s＋0.2 s＝1.1 s
驾驶员的反应距离s＝vΔt＝20×1.1 m＝22 m
设刹车距离为x，由比例法eq \f(v2,x)＝eq \f(v\\al(2,1),x1)
即x＝eq \f(v2x1,v\\al(2,1))＝eq \f(722×10,402) m＝32.4 m
停车距离L＝s＋x＝54.4 m
由于停车距离L>52 m，故会发生交通事故。
「基本追及相遇问题」
7.一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
（2）若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
【答案】（1）5 m/s2；（2）1 m/s2
【解析】
（1）设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m
自行车的位移为x自＝v自(t＋t0)
汽车的位移为x汽＝v汽(t＋t0)－eq \f(1,2)at2
假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d
代入数据整理得eq \f(1,2)at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得
Δ＝102－20a≤0
解得a≥5 m/s2
所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5 m/s2。
（2）设自行车加速度为a′，同理可得
v汽(t＋t0)－eq \f(1,2)a汽t2＝v自(t＋t0)＋eq \f(1,2)a′t2＋d
整理得(eq \f(1,2)a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得
Δ＝102－20a′－80≤0，解得a′≥1 m/s2
所以，自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。
8.如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m。
（1）求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
（2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？
【答案】（1）12 m/s，3 m/s2；（2）x0＞36 m
【解析】
（1）在t1＝1 s时A车刚启动，两车间缩短的距离x1＝vBt1
代入数据解得B车的速度vB＝12 m/s
A车的加速度a＝eq \f(vB,t2－t1)将t2＝5 s和其余数据代入解得A车的加速度大小a＝3 m/s2
（2）两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)
解得x＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离x0应满足条件x0＞36 m。
9.一汽车停在小山坡底，突然司机发现山坡上距坡底240 m处的泥石流以8 m/s的初速度、0.4 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动，司机的反应时间为1 s，汽车启动后以恒定的加速度一直做匀加速直线运动，其过程简化为如图5所示，求：
（1）泥石流到达坡底的时间和速度大小；
（2）试通过计算说明：汽车的加速度至少多大才能脱离危险？(结果保留3位有效数字)
【答案】（1）20 s，16 m/s；（2）0.421 m/s2
【解析】
（1）设泥石流到达坡底的时间为t1，速度为v1，根据题意有s1＝v0t1＋eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)，v1＝v0＋a1t1，代入数据得t1＝20 s，v1＝16 m/s。
（2）泥石流在水平地面上做匀速直线运动，故汽车的速度加速至v1，且两者在水平地面的位移刚好相等就安全了，设汽车加速时间为t，故有v汽＝v1＝a′t，s汽＝eq \f(veq \\al(2,1),2a′)，s泥＝v1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－t1＋1))＝s汽，联立各式代入数据解得a′＝0.421 m/s2。
「多次相遇问题」
10.(多选)甲、乙两名运动员同时从泳池的两端出发，在泳池里训练，甲、乙的速度—时间图象分别如图(a)、(b)所示，不计转向的时间，两人的运动均可视为质点的直线运动．则（ ）
A．游泳池长25 m
B．经过1 min两人共相遇了3次
C．经过2 min两人共相遇了5次
D．两人一定不会在泳池的一端相遇
【答案】ABC
【解析】
根据v ­ t图线与坐标轴围成的面积表示位移，可知游泳池长度L＝1.25×20 m＝25 m或者L＝1.0×25 m＝25 m，选项A正确；甲、乙的位移—时间图象如图所示，根据位移—时间图线的交点表示相遇可知
在0～60 s内甲、乙相遇3次，在0～120 s内甲、乙相遇5次，所以选项B、C正确；由甲、乙的位移—时间图象可知，甲、乙在t＝100 s时在泳池的一端相遇，选项D错误．
11.汽车前方120 m处有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路的不同车道上做同方向的直线运动，求：
（1）经多长时间，两车第一次相遇？
（2）若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经过多长时间两车第二次相遇？
【答案】（1）10 s；（2）13.5 s
【解析】
（1）设经过t1汽车追上自行车，则有：v2t1＝v1t1＋x，解得t1＝10 s
故经过10 s两车第1次相遇．
（2）已知汽车加速度a＝－2 m/s2
设汽车从开始刹车到停下用时为t3，则t3＝eq \f(－v2,a)＝9 s，
从开始刹车到停下汽车的位移x汽＝eq \f(v2,2)t3＝81 m，所以自行车实际追上汽车的时间为t2＝eq \f(x汽,v1)＝13.5 s>9 s，说明自行车在追上汽车前，汽车已停下．故再经过13.5 s两车第二次相遇．
「追及相遇中的临界情况」
12.汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，汽车B以vB＝10 m/s的速度同向运动，B在A前方x0＝7 m处时汽车B开始匀减速刹车，直到静止后保持不动，B刹车的加速度大小a＝2 m/s2，从汽车B开始刹车时计时．求：
（1）A追上B前，A、B间的最远距离是多少；
（2）经过多长时间A恰好追上B.
【答案】（1）16 m （2）8 s
【解析】
运动过程如图所示
（1）当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，此时有
v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s
此过程中汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
汽车B的位移xB＝vBt－12at2＝21 m
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.
（2）汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝vBa＝5 s
运动的位移x′B＝vB22a＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移x′A＝vAt1＝20 m
此时两车相距Δx＝x′B＋x0－x′A＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝ΔxvA＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
13.国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
【答案】s＋eq \f(veq \\al(2,1),2a1)－eq \f(veq \\al(2,2),2a2)或s－eq \f(（v2－v1）2,2（a2－a1）)
【解析】
若a1≥a2
A车先停下来，B车后停，只有B车停下来时才是最近距离Δs＝s＋eq \f(veq \\al(2,1),2a1)－eq \f(veq \\al(2,2),2a2)
若a1≤a2
那么两车应该是速度相等时距离最近，当v1－a1t＝v2－a2t
t＝eq \f(v2－v1,a2－a1)
在时间t内，A的位移x1＝v1t－eq \f(1,2)a1t2
B的位移x2＝v2t－eq \f(1,2)a2t2
最近距离为Δs＝s＋x1－x2＝s－eq \f(（v2－v1）2,2（a2－a1）).
14.十一放假期间，全国高速公路对七座及以下小型客车免费放行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝9 m区间的速度不超过v0＝6 m/s.现在甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．
（1）甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章？
（2）若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后，开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区间不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？
【答案】（1）100 m；（2）66 m
【解析】
（1）对甲车，速度由20 m/s减至6 m/s过程中的位移x1＝v甲2-v022a甲＝91 m
则甲车司机需在离收费站窗口至少x2＝x0＋x1＝100 m处开始刹车．
（2）设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t，解得t＝8 s
相同速度v＝v甲－a甲t＝4 m/s