专题70 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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【知识精讲】
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
【精典例题】
10．如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为______．
【答案】
【分析】如图所示，延长PB到D使得PB=DB，先证明△APD是等边三角形，从而推出ABP=90°，∠BAP=30°，以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，解直角三角形得到，从而证明△AMB∽△AOP，得到，则，则点B在以M为圆心，以为半径的圆上，当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB，
∵，
∴，
又∵∠APB=60°，
∴△APD是等边三角形，
∵B为PD的中点，
∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，
∴∠BAP=30°，
以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，
∴，
同理可得，
∵∠OAM=30°=∠PAB，
∴∠BAM=∠PAO，
又∵，
∴△AMB∽△AOP，
∴，
∵点P到点O的距离为2，即OP=2，
∴，
∴点B在以M为圆心，以为半径的圆上，
连接CM交圆M（半径为）于，
∴当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值，
∵AC=2AO=8，
∴AO=4，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴BC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点B在以M为圆心，半径为的圆上运动．
22．如图，在矩形ABCD中，，，连接BD，将绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为，旋转角为a（，且）．
(1)在旋转过程中，当落在线段BC上时，求的长；
(2)连接、，当时，求；
(3)在旋转过程中，若的重心为G，则CG的最小值=______．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）当落在线段BC上时，如图，由题意可得，，在中，由勾股定理可求得：，继而求得的长；
（2）由题意可得当时，点B，，D三点共线，如图，过点作，在中，由勾股定理得：，易证，由相似三角形的性质可得，继而可求得，，然后即可求得的值；
（3）如图，分别取的中点H，N，分别连接HD，HN，CG，过点G作GM//HN，可得，HN是的中位线，继而可得，由点G是的重心和相似三角形的判定和性质，可求得，，即可确定点G的运动轨迹是以M为圆心，以为半径的圆，然后根据CG的最小值即可求得答案.
（1）
解：当落在线段BC上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
由旋转的性质可得：，
在中，由勾股定理得：，
∴.
（2）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴当时，点B，，D三点共线，
如图，过点作，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：如图，分别取的中点H，N，分别连接HD，HN，CG，
过点G作GM//HN，
∴，HN是的中位线，
∴，
∵点G是的重心，
∴，
∵GM//HN，
∴，
∴，
∴，，
∴点G的运动轨迹是以M为圆心，以为半径的圆，
当点C、G、M三点共线时，CG的值最小，
在中，由勾股定理得：，
∴CG的最小值为.
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形中位线的判定与性质、三角形重心的性质以及瓜豆模型求最值等，熟练掌握相关判定和性质定理以及解题方法是解题的关键.
23．在菱形中，，是对角线上的一点，连接．
（1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长．
（2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）通过菱形性质证明，在中，利用勾股定理求出AE的长度，再中，可以得到，在等腰中，利用角度推导出，代入数值求解即可．
（2）判断出点Ｈ的运动轨迹，从而知道点Ｎ的运动轨迹，根据三角形三边关系，即可得到AN的最大值．
【详解】（1）解：过点F作于点M，如下图：
∵四边形ABCD是菱形,且
∴
∵为菱形对角线
∴,
又∵在的中垂线上
∴
∴
∴,
在中，
∴
设：，则
∵
即：
解得：
∴
∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
（2）连接AC,延长AE交BC于点M，则有,点H的运动轨迹是以点B为圆心，BH为半径的圆，因为点C为固定点，点Ｎ为CH的中点，所以点N的运动轨迹是以点M为圆心，NM为半径的圆，如下图：
此时：在在，,当 A、M、N三点共线时，AN最大
则：在中，
∵
∴
∴
又∵M点是BC的中点，N是CH的中点
∴
∴
【点睛】本题看考查勾股定理，等腰三角形性质．瓜豆模型等相关知识点，根据题意列出相关等量关系是解题重点．
动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:
动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。
当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形