高中数学高考专题22 几何体的表面积与体积（解析版）

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【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷文理3】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去），故选C．
命题规律二研究几何体的表面积
【解决之道】根据几何体性质与题中条件即可计算出几何体的侧面积与底面积即可求出几何体的表面积
【三年高考】
1.．【2020年高考浙江卷14】已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为 ．
【答案】1
【思路导引】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径．
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，故答案为：．
2.【2018年高考全国I卷文数】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.
命题规律三研究简单几何体的体积
【解决之道】对柱锥台根据题中的条件计算出底面积和高，利用体积公式即可计算出体积或方程，及可求出结论,对不规则几何体常用割补法化为常见的特殊几何体的体积问题求解，对不易求解的椎体体积问题可以利用等体积转化转化为易求解几何体求解..
【三年高考】
1.【2020年高考江苏卷9】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 ．
【答案】
【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为，正六棱柱的体积为，内孔的体积为正六棱
柱的体积为，则，
∴．
2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
【答案】118.8
【解析】由题意得，，∵四棱锥O−EFGH的高为3cm， ∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．
3.【2019年高考天津卷文数】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
【答案】
【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.
4.【2019年高考江苏卷】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是 .
【答案】10
【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.
5．【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
【答案】
【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为.
6.【2018年高考天津卷文数】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．
【答案】
【解析】如图所示，连接，交于点，很明显在平面上的射影是点O，则是四棱锥A1–BB1D1D的高，且，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为：.
命题规律四 以几何体中空间角为条件研究几何体的体积
【解决之道】对此类问题，根据几何体的特征，列出基本量的方程（组），解出基本量，根据体积积公式即可求出几何体的体积..
【三年高考】
1.【2018年高考全国I卷文数】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）
A．8 B．
C． D．
【答案】C
【解析】在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
命题规律五 以几何体中空间角或某个截面为条件研究几何体的侧面积
【解决之道】对此类问题，根据几何体的特征，列出基本量的方程（组），解出基本量，根据侧面积公式即可求出侧面积..
【三年高考】
1.【2018年高考全国II卷文数】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【解析】如下图所示，，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.
2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
【答案】26，
【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与的延长线交于点，延长交正方体的棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，
，即该半正多面体的棱长为．
命题规律
内 容
典 型
１
以简单几何体为研究该简单几何体某个面的面积
2020年高考全国Ⅰ卷文3
２
研究几何体的表面积
2020年高考浙江卷14
３
研究几何体的体积
2020年高考江苏卷9
４
以几何体中空间角或为条件研究几何体的体积
2018年高考全国I卷文数
５
以几何体中空间角或某个截面为条件研究几何体的侧面积
2018年高考全国II卷文数