第1讲 实数（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【中考数学讲通练透】二轮
第一讲 实数
一、13个必备知识点 2
考点一 实数的有关概念 3
考点二 实数的分类 8
考点三 无理数的估算 11
考点四 实数与数轴 14
考点五 实数的运算 19
考点六 实数大小的比较 22
考点七 实数非负性的运用 25
考点八 近似数与科学计数法 27















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一、13个必备知识点
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．（1）按照定义分类

（2）按照正负分类

注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
10．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.
考点一 实数的有关概念

此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.
1．一实验室检测A、B、C、D四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的零件是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵|+1.3|＝1.3，|+0.3|＝0.3，|﹣2.3|＝2.3，|﹣0.9|＝0.9，
又∵0.3＜0.9＜1.3＜2.3，
∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项B中的零件．
故选：B．
2．下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称
液态氧
液态氢
液态氮
液态氦
沸点/℃
﹣183
﹣253
﹣196
﹣268.9
则沸点最高的液体是（　　）
A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦
【解答】解：因为﹣268.9＜﹣253＜﹣196＜﹣183，
所以沸点最高的液体是液态氧．
故选：A．
3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入150元记作+150，则﹣30元表示（　　）
A．收入30元 B．收入60元 C．支出60元 D．支出30元
【解答】解：∵收入150元记作+150，
∴﹣30元表示支出30元，
故选：D．
4．在0，﹣2，5，﹣0.3，﹣这5个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣0.3 D．﹣
【解答】解：∵﹣2＜＜﹣0.3＜0＜5．
∴在0，﹣2，5，﹣0.3，﹣这5个数中，最小的数是﹣2．
故选：B．
5．若a与1互为相反数，那么a+1＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
【解答】解：∵a与1互为相反数，
∴a＝﹣1，
∴a+1＝﹣1+1＝0．
故选：B．
6．﹣（﹣6）的相反数是（　　）
A． B． C．﹣6 D．6
【解答】解：﹣（﹣6）＝6，
故﹣（﹣6）的相反数是﹣6．
故选：C．
7．下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（﹣）2 D．|﹣|与
【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；
B、是同一个数，故B错误；
C、是同一个数，故C错误；
D、是同一个数，故D错误；
故选：A．
8．如果是a的相反数，那么a的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：是a的相反数，那么a的值是1﹣，
故选：A．
9．已知a＝|﹣3|，则a﹣4＝（　　）
A．7 B．1 C．﹣1 D．﹣7
【解答】解：∵a＝|﹣3|＝3，
∴a﹣4＝3﹣4＝﹣1．
故选：C．
10．已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为|5x﹣2|＝2﹣5x，由负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得，
5x﹣2≤0，
即x≤，
故选：D．
11．如果|x﹣2|＝2﹣x，那么x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【解答】解：因为|x﹣2|＝2﹣x，由负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得，
x﹣2≤0，
即x≤2，
故选：A．
12．﹣|﹣2021|的相反数为（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，
∴﹣2021的相反数为2021．
故选：B．
13．若a2＝（﹣2）2，则a是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．4
【解答】解：∵（﹣2）2＝4，
∴a2＝4，
解得：a＝±2．
故选：C．
14．若a+1和﹣5是实数m的平方根，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4或﹣6
【解答】解：∵a+1和﹣5是m的平方根，
∴a+1＝﹣5或a+1+（﹣5）＝0，
∴a＝﹣6或4．
故选：D．
15．下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣2 B．＝3 C．±＝±4 D．＝2
【解答】解：A．负数没有算术平方根，故A选项不符合题意；
B.，故B选项符合题意；
C.，故C选项不符合题意；
D.，故D选项不符合题意．
故选：B．
16．下列计算正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．＝3
【解答】解：A.＝3，因此选项A不符合题意；
B.＝﹣2，因此选项B不符合题意；
C.＝＝3，因此选项C不符合题意；
D.＝3，因此选项D符合题意；
故选：D．
17．下列说法错误的是（　　）
A．中的a可以取正数、负数、零
B．是的一个平方根
C．的立方根为±2
D．表示2的算术平方根
【解答】解：A选项，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故该选项不符合题意；
B选项，的平方根有2个，﹣是的一个平方根，故该选项不符合题意；
C选项，＝8，8的立方根是2，故该选项符合题意；
D选项，表示2的算术平方根，故该选项不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共1小题）
18．若m+＝5，则＝　3　．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：m﹣5≥0，
∴m≥5，
根据条件得：＝5﹣m，
根据算术平方根的非负性得：5﹣m≥0，
∴m≤5，
∴m＝5，
∴＝＝＝3，
故答案为：3．
考点二 实数的分类

（1）按照定义分类

（2）按照正负分类


一．选择题（共6小题）
1．在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（　　）
A．0.2 B． C．﹣1 D．
【解答】解：A、0.2属于有理数，故A不符合题意；
B、＝3，为有理数，故B不符合题意；
C、﹣1为有理数，故C不符合题意；
D、为开不尽方根，故D符合题意．
故选：D．
2．在实数，，，，3.14中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，是无理数，
故选：B．
3．下列数字中，有理数有（　　）个．
A．6 B．5 C．3 D．7
【解答】解：有理数有：﹣1，1.2，0，3.14，﹣，﹣，
故选：A．
4．在﹣125%；；25；0；﹣0.3；0.67；﹣4；中，非负数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：在﹣125%；；25；0；﹣0.3；0.67；﹣4；中，非负数有，25，0，0.67，共4个．
故选：C．
5．在﹣，，0，﹣1，0.4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
【解答】解：根据题意m＝8，n＝2，k＝3，
所以m﹣n﹣k＝8﹣2﹣3＝8﹣5＝3．
故选：A．
6．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、、b的形式，则a2017+b2017的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、、b的形式，
∴这两个三数组分别对应相等．
∴a+b、a中有一个是0，由于有意义，所以a≠0，
则a+b＝0，所以a、b互为相反数．
∴＝﹣1，b＝1，a＝﹣1．
∴a2017+b2017＝（﹣1）2017+12017
＝0．
故选：A．
二．填空题（共1小题）
7．以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有　②⑤③　．（只填序号）
【解答】解：②；③，⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，
故答案为：②⑤③．
三．解答题（共1小题）
8．如图，是一个数值转换器，原理如图所示．

（1）当输入的x值为16时，求输出的y值；
（2）是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝　25或36或49或64　．
【解答】解：（1）＝4，
＝2，
则y＝；
（2）x＝0或1时．始终输不出y值，若输入负数，始终输不出y值，
综上所述，x＝0或1或负数．
（3）答案不唯一．x＝[（）2]2＝25或x＝[（）2]2＝25或x＝[（）2]2＝49或x＝[（）2]2＝64．
故答案是：25或36或49或64．
考点三 无理数的估算

一．选择题（共6小题）
1．与﹣2最接近的整数是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵，
∴3＜＜4，
又∵3．52＝12.25，
∴＜3.5，
∴接近3，
∴接近1，
故选：B．
2．估计的值在两个相邻整数（　　）
A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间
【解答】解：∵，
∴，
故选：D．
3．如果5+，5﹣的小数部分分别为a，b，那么a+b的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【解答】解：∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴7＜+5＜8，
2＜5﹣＜3，
∴5+的小数部分a＝5+﹣7＝﹣2，5﹣的小数部分b＝5﹣﹣2＝3﹣，
∴a+b＝﹣2+3﹣＝1，
故选：C．
4．估算的值在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜1+＜5，
∴2＜＜2.5，
∴在 2 和 3 之间．
故选：C．
5．如图，估计的值所对应的点可能落在（　　）

A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴的值所对应的点可能落在点C处，
故选：C．
6．若的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为＜＜，即2＜＜3，
所以的整数部分是2，小数部分是（﹣2），
即a＝2，b＝﹣2，
所以2a+b＝4+﹣2＝2+，
故选：C．
二．填空题（共2小题）
7．a是的整数部分，b是的小数部分，则3a﹣b＝　12﹣　．
【解答】解：a是的整数部分，b是的小数部分，
a＝3，b＝﹣3，
3a﹣b＝12﹣．
故答案为：12﹣．
8．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值等于 　6﹣3　．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴原式＝＝＝6﹣3，
故答案为：6﹣3．
三．解答题（共2小题）
9．已知+|b+3|＝b+3，m为的整数部分，n为的小数部分，求2m﹣n的值．
【解答】解：由+|b+3|＝b+3，可得a+b＝21，
∵4＜＜5，m为的整数部分，n为的小数部分，
∴m＝4，n＝﹣4，
∴2m﹣n＝8﹣+4＝12﹣，
答：2m﹣n的值为12﹣．
10．阅读材料：因为4＜7＜9，所以＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分是为2；小数部分为﹣2，请根据上述信息解答下列问题：
已知实数8+的整数部分是a，小数部分是m；实数9﹣的整数部分b，小数部分是n，
（1）直接写出a、m、b、n的值；
a＝　11　，m＝　﹣3　，b＝　5　，n＝　4﹣　．
（2）求式子12m+12n++13的值的平方根．
【解答】解：（1）∵3＜＜4，
∴11＜8+＜12，
∴8+的整数部分为11，小数部分为﹣3，
∴a＝11，m＝﹣3；
∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴5＜9﹣＜6，
∴9﹣的整数部分为5，小数部分为4﹣，
∴b＝5，n＝4﹣；
故答案为：11，﹣3，5，4﹣．
（2）∵a＝11，m＝﹣3，b＝5，n＝4﹣，
∴a+b＝16，m+n＝1，
∴12m+12n++13＝12（m+n）++13＝12×1++13＝12+4+13＝29，
∴12m+12n++13的平方根为：±．
考点四 实数与数轴

1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题；
2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）.
一．选择题（共3小题）
1．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，分别表示不同的四个数，若从这四点中选一点做原点，使得其余三点表示的数中有两个负数和一个正数，则这个点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：A．当A为原点，则剩余三个点表示的数均是正数，故A不合题意．
B．当B为原点，则A表示负数，C与D表示正数，故B不符合题意．
C．当C为原点，则A与B表示负数，D表示正数，故C符合题意．
D．当D为原点，A、B与C表示负数，故D不符合题意．
故选：C．
2．把有理数a、b在数轴上表示如图所示，那么则下列说法正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．a﹣b＜0 C．a＞﹣b D．﹣b＞a
【解答】解：从数轴可知：b＜﹣1，0＜a＜1．
∵b的绝对值大于a的绝对值，
∴a+b＜0，
故A不正确；
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
故B不正确；
∵b＜﹣1，
∴﹣b＞1，
∵0＜a＜1，
∴a＜﹣b，
故C不正确，D正确；
故选：D．
3．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（　　）

A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1
【解答】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长＝π，
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π+1；
故选：B．
二．填空题（共3小题）
4．如图，已知OA＝OB，数轴上点A对应的数是 　　．

【解答】解：由勾股定理得，
∴OB＝＝＝OA，
又∵点A在原点的左侧，
∴点A所表示的数为﹣，
故答案为：﹣．
5．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：
①（a﹣1）（b﹣1）＞0；②（a﹣1）（b+1）＞0；③（a+1）（b+1）＞0．
其中，正确式子的序号是　①②　．

【解答】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0．
∵b＜1，
∴b﹣1＜0．
∴（a﹣1）（b﹣1）＞0．
∴①正确，故①符合题意．
∵b＜﹣1，
∴b﹣（﹣1）＜0．即b+1＜0，
∴（a﹣1）（b+1）＞0．
∴②正确，故②符合题意．
∵a＞﹣1，
∴a﹣（﹣1）＞0．即a+1＞0
∴（a+1）（b+1）＜0．
∴③错误．故③不合题意．
6．如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2018的点与圆周上重合的点对应的字母是　 　．

【解答】解：由题意可得：﹣1与q对应，﹣2与p对应，﹣3与n对应，﹣4与m对应，
∵2018÷4＝504…2，
∴数轴上表示﹣2018的点与圆周上重合的点对应的字母是p．
故答案为：p．
三．解答题（共2小题）
7．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点　 　是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有　4　个，分别是　﹣2，﹣4，1，﹣7　；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
【解答】解：（1）∵BM＝0﹣（﹣3）＝3，BN＝6﹣0＝6，
∴BM＝BN，
∴点B是点M，N的“倍分点”；
（2）AM＝﹣1﹣（﹣3）＝2，设D点坐标为x，
①当DM＝AM时，DM＝1，
∴|x﹣（﹣3）|＝1，
解得：x＝﹣2或﹣4，
②当AM＝DM时，DM＝2AM＝4，
∴|x﹣（﹣3）|＝4，
解得：x＝1或﹣7，
综上所述，则点D对应的数有4个，分别是﹣2，﹣4，1，﹣7，
故答案为：4；﹣2，﹣4，1，﹣7；
（3）MN＝6﹣（﹣3）＝9，
当PN＝MN时，PN＝×9＝，
∵点P在点N的右侧，
∴此时点P表示的数为，
当MN＝PN时，PN＝2MN＝2×9＝18，
∵点P在点N的右侧，
∴此时点P表示的数为24，
综上所述，点P表示的数为或24．
8．如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示﹣1的点重合．
（1）圆的周长为多少？
（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？
（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示﹣2的点与点B重合，数轴上表示﹣3的点与点C重合…），那么数轴上表示﹣2018的点与圆周上哪个点重合？

【解答】解：（1）圆的周长＝2π•＝4个单位长度；

（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，点A需要滚动8个单位长度，此时与点A重合的点表示的数为：8﹣1＝7；

（3）由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
∵2018÷4＝504…2，
∴表示﹣2018的点是第505个循环组的第2个数B重合．
考点五 实数的运算
实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1.
一．选择题（共4小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A.＝9，故此选项不合题意；
B.＝﹣3，故此选项符合题意；
C.＝5，故此选项不合题意；
D.+＝2+3＝5，故此选项不合题意；
故选：B．
2．定义运算：a⊗b＝，例如：1⊗2＝，3⊗1＝，则4⊗2等于（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：4⊗2＝＝．
故选：A．
3．如果（2+）2＝a+b（a，b为有理数），那么a﹣b等于（　　）
A．10 B．3 C．8 D．2
【解答】解：∵（2+）2＝22+4+2＝6+4，
∴a＝6，b＝4，
∴a﹣b＝6﹣4＝2．
故选：D．
4．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，
∴ab＝1，c+d＝0，e＝±，f＝64，
∴
＝×1﹣0+2+4
＝+2+4
＝．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
5．计算：﹣（3﹣）0+|﹣|＝　3　．
【解答】解：原式＝4﹣1+
＝3．
故答案为：3．
6．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义运算△如下：a△b＝，如3△2＝，那么33△31的立方根是 　　．
【解答】解：∵a△b＝，
∴33△31＝＝＝4，
∴33△31的立方根是．
故答案为：．
7．计算：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1＝　3　．
【解答】解：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1
＝4+2﹣|1﹣|﹣3
＝4+2﹣（﹣1）﹣3
＝4+2﹣+1﹣3
＝3，
故答案为：3．
8．若实数x，y满足，则xy﹣3的值为 　　．
【解答】解：∵，
∴x﹣y＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝2，y＝2，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共2小题）
9．计算：（﹣2021）0+（﹣1）2021+（﹣）﹣1﹣|﹣2|．
【解答】解：原式＝1+（﹣1）+（﹣3）﹣2
＝﹣5．
10．计算：
（1）；
（2）；
（3）（2﹣）2﹣（）．
【解答】解：（1）
＝3+（﹣4）﹣×0.4
＝﹣1﹣1
＝﹣2．

（2）
＝2﹣4×﹣（+3）
＝2﹣2﹣﹣3
＝﹣5．

（3）（2﹣）2﹣（）
＝﹣2×2×+﹣×+×
＝12﹣4+2﹣9+2
＝5﹣2．

考点六 实数大小的比较
比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有：
（1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b．
（2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
（3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
（4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
一．选择题（共7小题）
1．下列四个数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣π C．0 D．1
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
1＞0＞﹣1＞﹣2＞﹣π，
∴四个数中，比﹣2小的数是﹣π．
故选：B．
2．实数﹣2，﹣，﹣π，﹣1中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣π D．﹣1
【解答】解：∵﹣π＜﹣2＜﹣＜﹣1，
∴实数﹣2，﹣，﹣π，﹣1中，最小的数是﹣π．
故选：C．
3．下列大小关系正确的是（　　）
A．﹣2＞0 B．2﹣3＜0 C．＞1 D．8＜
【解答】解：∵＝2，22＝4，
又∵2＜4，
∴＜2．
∴﹣2＜0．
故A选项错误；
∵＝12，32＝9，
又∵12＞9，
∴2＞3．
∴2﹣3＞0．
故B选项错误；
∵＝5，32＝9，
∴＜3．
∴﹣1＜2，
∴＜1．
故C选项错误；
∵＝65，82＝64，
∴8＜．
故D选项正确．
综上，正确的选项为：D．
故选：D．
4．已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【解答】解：a≈0.7，b≈1.4，c＝0.5，
∴b＞a＞c，
故选：C．
5．若0＜x＜1，则，x2，的大小关系为（　　）
A．＞x2＞ B．＞＞x2 C．x2＞＞ D．＞＞x2
【解答】解：∵若0＜x＜1，可取x＝0.01，
代入上式得：＝＝0.1，x2＝0.012＝0.0001，＝＝10，
∴＞＞x2，
故选：D．
6．设a＝﹣+3×（﹣2），b＝﹣32，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【解答】解：∵a＝﹣+3×（﹣2）＝﹣﹣6，b＝﹣32＝﹣9，c＝＝﹣．
∵＜6+＜9，
∴c＞a＞b．
故选：C．
7．将，（﹣3）0，（﹣4）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵（﹣3）0＝1；（）﹣1＝4；
（﹣4）2＝16，1＜4＜16；
∴（﹣3）0＜（）﹣1＜（﹣4）2，
故选：A．
二．填空题（共1小题）
8．比较大小：　＞　，1﹣　＜　1﹣（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：＞，1﹣＜1﹣．
故答案为：＞，＜．
考点七 实数非负性的运用
直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
一．选择题（共5小题）
1．若+|2y+1|＝0，则x+y的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．
【解答】解：∵+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
∴x＝1，y＝﹣，
∴x+y＝1﹣＝，
故选：D．
2．已知+|b+2021|＝0．则的值为（　　）
A．0 B．2021 C．﹣1 D．1
【解答】解：∵，
∴当，则，|b+2021|＝0．
∴a＝2020，b＝﹣2021．
∴＝1．
故选：D．
3．若|x+y﹣5|+＝0，则x2+y2的值为（　　）
A．19 B．31 C．27 D．23
【解答】解：根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，
∴x+y＝5，xy＝3，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19．
故选：A．
4．若|a﹣|+＝0，则ab＝（　　）
A． B． C．4 D．9
【解答】解：由题意得，a﹣＝0，9a2﹣12ab+4b2＝0，
解得a＝，b＝，
所以，ab＝×＝．
故选：B．
5．若a，b，c为实数，且|a+1|++（c﹣1）2＝0，则（abc）2021的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【解答】解：∵a，b，c为实数，且|a+1|++（c﹣1）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，c＝1，
∴（abc）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故选：C．
二．填空题（共1小题）
6．已知，则x2﹣y2的值为　﹣6　．
【解答】解：∵，
∴，解得，
∴．
故答案为：﹣6
三．解答题（共1小题）
7．若+|b﹣12|+（c﹣13）2＝0，请判断以a、b、c为三边的△ABC的形状并说明理由．
【解答】解：以a、b、c为三边的△ABC是直角三角形，理由如下：
∵≥0，|b﹣12|≥0，（c﹣13）2≥0，
∴当时，则a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0．
∴a＝5，b＝12，b＝13．
∵52+122＝132，
∴a2+b2＝c2．
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．
考点八 近似数与科学计数法
用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值．
(1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等．
一．选择题（共2小题）
1．据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（　　）
A．亿位 B．千万位 C．万分位 D．万位
【解答】解：近似数“14.1178亿”精确到万位，
故选：D．
2．在学习强国平台中，5月16日发布的“第一观察﹣﹣天问落火”栏目的阅读量截止到5月17日中午，就已经达到了10895538人次，将10895538精确到万，得（　　）
A．1089 B．1090 C．1089万 D．1090万
【解答】解：10895538≈1090万，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
3．近似数5.50万精确到 　百　位，有 　3　个有效数字．
【解答】解：近似数5.50万精确到百位，有3个有效数字．
故答案为百，3．
4．据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为 　9.1×107　．
【解答】解：91000000＝9.1×107．
故答案为：9.1×107．
5．一个数用科学记数法表示为2.345×106，则这个数有 　7　个整数位．
【解答】解：2.345×106＝2345000，
用科学记数法表示为2.345×106，则这个数有7个整数位．
故答案为：7．
6．第六次全国人口普查公布的我国总人口数约为1370000000人，请用科学记数法表示我国第六次普查结果的总人口数 　1.37×109　．
【解答】解：1370000000＝1.37×109，
故答案为：1.37×109．
7．将306 070 000用科学记数法表示并保留4个有效数字为　3.061×108　．
【解答】解：306 070 000＝3.0607×108≈3.061×108．
故答案为：3.061×108．
8．某样本中，新冠病毒的直径约为0.00000012m，用科学记数法表示0.00000012是　1.2×10﹣7　．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故答案为：1.2×10﹣7．
9．清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为　8.4×10﹣6　．
【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6，
故答案为：8.4×10﹣6．
10．目前我国芯片已可采用14纳米工艺．已知14纳米为0.000000014米，数据0.000000014用科学记数法表示为　1.4×10﹣8　．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故答案是：1.4×10﹣8．