第2讲 整式与因式分解（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮
第二讲 整式及因式分解
考点一 整式及相关概念 2
考点二 幂的运算 4
考点三 平方差与完全平方公式 6
考点四 整体法--代数式求值 9
考点五 化简求值 12
考点六 因式分解 15














考点一 整式及相关概念

一．选择题（共4小题）
1．下列不是同类项的是（　　）
A．﹣ab3与b3a B．12与0
C．3x2y与﹣6xy2 D．2xyz与﹣zyx
【解答】解：A、﹣ab3 与 b3a，所含字母相同，且相同的字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意；
B、12与0，都是不含字母的单项式，是同类项，故本选项不合题意；
C、3x2y 与﹣6xy2，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合题意；
D、2xyz 与﹣zyx 所含字母相同，且相同的字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意；
故选：C．
2．多项式x2﹣2x2y2+3y2每项的系数和是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
【解答】解：多项式x2﹣2x2y2+3y2每项的系数分别是1，﹣2，+3，
1+（﹣2）+（+3）
＝1﹣2+3
＝2．
故选：B．
3．多项式﹣x3﹣4x2+x+1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3相加后不含二次项，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】解：﹣x3﹣4x2+x+1+3x3+2mx2﹣5x+3
＝2x3+（2m﹣4）x2﹣4x+4，
∵多项式﹣x3﹣4x2+x+1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3相加后不含二次项，
∴2m﹣4＝0，
解得：m＝2．
故选：A．
4．若（x+4）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m、n的值分别是（　　）
A．2，8 B．﹣2，﹣8 C．2，﹣8 D．﹣2，8
【解答】解：∵（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8，
∴x2+2x﹣8＝x2+mx+n，
∴m＝2，n＝﹣8．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
5．若单项式3xm﹣1y2与单项式x3yn+1是同类项，则m﹣n＝　3　．
【解答】解：∵单项式3xm﹣1y2与单项式x3yn+1是同类项，
∴m﹣1＝3，n+1＝2，
解得m＝4，n＝1，
∴m﹣n＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
6．如果单项式2xm﹣1y2与﹣3x2yn+1是同类项，那么m+n＝　4　．
【解答】解：根据题意得：m﹣1＝2，n+1＝2．
解得：m＝3，n＝1．
则m+n＝3+1＝4，
故答案是：4．
7．已知（x+1）（x﹣3）＝x2+px﹣3，则p的值为　﹣2　．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴p＝﹣2，
故答案为：﹣2．
8．若代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x﹣5y﹣1）的值与字母x的取值无关，则代数式a2b的值为　9　．
【解答】解：∵代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x﹣5y﹣1）的值与字母x的取值无关，
∴（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x﹣5y﹣1）
＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x+5y+1
＝（2﹣2b）x2+（a+3）x+4y+7，
∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得：b＝1，a＝﹣3，
∴a2b＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
9．已知A＝4x2﹣4xy+y2，B＝x2+xy﹣5y2，计算A﹣3B＝　x2﹣7xy+16y2　．
【解答】解：∵A＝4x2﹣4xy+y2，B＝x2+xy﹣5y2，
∴A﹣3B＝4x2﹣4xy+y2﹣3（x2+xy﹣5y2）
＝4x2﹣4xy+y2﹣3x2﹣3xy+15y2
＝x2﹣7xy+16y2．
故答案为：x2﹣7xy+16y2．
10．已知x﹣y＝5，a+b＝﹣3，则（y﹣b）﹣（x+a）的值为 　﹣2．　．
【解答】解：原式＝y﹣b﹣x﹣a
＝﹣（x﹣y）﹣（a+b）
当x﹣y＝5，a+b＝﹣3时，
原式＝﹣5+3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
11．有一道题目是一个多项式减去x2+14x﹣6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2﹣x+3，则原来的多项式是　x2﹣15x+9　．
【解答】解：2x2﹣x+3﹣（x2+14x﹣6）＝2x2﹣x+3﹣x2﹣14x+6＝x2﹣15x+9．
原来的多项式是x2﹣15x+9．
考点二 幂的运算

一．选择题（共3小题）
1．化简a2•a3的结果是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a8
【解答】解：原式＝a2+3＝a5，故B正确．
故选：B．
2．下列运算正确的是（　　）
A．（ab3）2＝a2b6 B．a6÷a3＝a2
C．a2•a3＝a6 D．a+a＝a2
【解答】解：A、（ab3）2＝a2b6，故本选项符合题意；
B、a6÷a3＝a3，故本选项不符合题意；
C、a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；
D、a+a＝2a，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a2b﹣2ba2＝a2b B．5a﹣4b＝ab
C．a2+a2＝a4 D．2（a﹣1）＝2a﹣1
【解答】解：A、3a2b﹣2ba2＝a2b，故原题计算正确；
B、5a和4b不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、2（a﹣1）＝2a﹣2，故原题计算错误；
故选：A．
二．填空题（共6小题）
4．已知am＝8，an＝5，则am+n＝　40　．
【解答】解：am+n＝5×8＝40．
故答案为：40．
5．若3x＝2，3y＝4，则3x+y＝　8　．
【解答】解：∵3x＝2，3y＝4，
∴3x+y＝3x•3y＝2×4＝8．
故答案为：8．
6．若5m＝3，5n＝4，则5m﹣n的值是 　　．
【解答】解：因为5m＝3，5n＝4，
所以5m﹣n＝5m÷5n＝3÷4＝，
故答案为：．
7．若xm＝5，xn＝4．则x2m﹣n＝　　．
【解答】解：x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝52÷4＝，
故答案为：．
8．已知：3m＝2，9n＝5，则33m﹣2n＝　　．
【解答】解：∵3m＝2，9n＝32n＝5，
∴33m﹣2n＝（3m）3÷32n
＝23÷5
＝．
故答案为：．
9．已知xa＝2，xb＝9，则x3a﹣2b＝　　．
【解答】解：∵xa＝2，xb＝9，
∴x3a﹣2b＝（xa）3÷（xb）2＝＝．
故答案为：
考点三 平方差与完全平方公式

一．选择题（共2小题）
1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A．（2x+y）（2y﹣x） B．（x+1）（﹣x﹣1）
C．（3x﹣y）（3x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y）
【解答】解：A、（2x+y）（2y﹣x），不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、（x+1）（﹣x﹣1），不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、（3x﹣y）（3x+y），能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
D、（x﹣y）（﹣x+y）不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．已知代数式x2﹣4x+7，则（　　）
A．有最小值7 B．有最大值3
C．有最小值3 D．无最大值和最小值
【解答】解：x2﹣4x+7
＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+3≥3，
∴代数式x2﹣4x+7有最小值3，
故选：C．
二．填空题（共11小题）
3．若x﹣y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于　50　．
【解答】解：因为x﹣y＝6，xy＝7，
所以x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝62+2×7＝50，
故答案为：50．
4．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是　±8　．
【解答】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，
∴x2+mx+16＝（x±4）2，
＝x2±8x+16．
∴m＝±8，
故答案为：±8．
5．如果25x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值为　±30　．
【解答】解：∵25x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
∴m＝±2×5×3＝±30．
故答案为：±30．
6．9x2+mx+16是一个完全平方式，那么m＝　24　或　﹣24　．
【解答】解：∵9x2+mx+16＝（3x）2+mx+42，
∴mx＝±2×3x×4，
解得m＝±24．
故答案为：24或﹣24．
7．如果x+y＝5，xy＝6，那么x2+y2＝　13　．
【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝6
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝25﹣12
＝13．
故答案为：13．
8．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝149，则ab＝　﹣31　．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝149②，
∴①﹣②得：4ab＝﹣124，
∴ab＝﹣31，
故答案为：﹣31．
9．若a+b＝4，ab＝3，则a2+b2＝　10　，（a﹣b）2＝　4　．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝42﹣4×3＝4
故答案为：10；4
10．已知a+b＝5，ab＝3．则（a﹣b）2的值为　13　．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．
故答案为：13．
11．已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是　2　．
【解答】解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，
即a2+2ab+b2＝9，
∵a2+b2＝5，
∴ab＝（9﹣5）÷2＝2．
故答案为：2．
12．代数式x2﹣2x+的最小值是　　．
【解答】解：因为x2﹣2x+＝（x﹣1）2+，
所以当x＝1时，代数式x2﹣2x+的最小值是，
故答案是：．
13．若a+b＝9，ab＝14，则a﹣b＝　±5　．
【解答】解：∵a+b＝9，ab＝14，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝92﹣4×14＝81﹣56＝25，
∴a﹣b＝±5．
故答案为：±5．
考点四 整体法--代数式求值

一．选择题（共4小题）
1．已知a2﹣2a＝1，则3a2﹣6a﹣4的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a﹣4
＝3（a2﹣2a）﹣4
＝3×1﹣4
＝﹣1，
故选：A．
2．已知x2﹣3x﹣12＝0，则代数式﹣3x2+9x+5的值是（　　）
A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣41
【解答】解：∵x2﹣3x﹣12＝0，
∴x2﹣3x＝12．
原式＝﹣3（x2﹣3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣36+5＝﹣31．
故选：B．
3．已知整式2a﹣3b的值是﹣1，则整式1﹣4a+6b的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【解答】解：原式＝1﹣4a+6b＝1﹣2（2a﹣3b）＝1﹣2×（﹣1）＝1+2＝3．
故选：A．
4．设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【解答】解：∵a3+a2﹣a+2＝0，
（a3+1）+（a2﹣a+1）＝0，
（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）＝0
（a2﹣a+1）（a+1+1）＝0，
（a2﹣a+1）（a+2）＝0，
∴a+2＝0，或a2﹣a+1＝0，
（1）若a2﹣a+1＝0时，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∵a为实数，
∴此一元二次方程在实数范围内无解；
（2）若a+2＝0时，
变形得：a+1＝﹣1…①
将①代入下列代数式得：
（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013
＝（﹣1）2011+（﹣1）2012+（﹣1）2013
＝﹣1+1+（﹣1）
＝﹣1
故选：D．
二．填空题（共8小题）
5．若a＝，则2019﹣2a2+4a的值等于　2021　．
【解答】解：∵a＝，
∴2a＝a2+1，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴2019﹣2a2+4a＝2019﹣2（a2﹣2a）＝2019+2＝2021．
故答案为：2021．
6．已知2a﹣3b+1＝0，则代数式6a﹣9b+1＝　﹣2　．
【解答】解：∵2a﹣3b+1＝0，
∴2a﹣3b＝﹣1，
∴6a﹣9b+1＝3（2a﹣3b）+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
7．已知x＝1﹣2，则x2﹣2x+2021＝　2044　．
【解答】解：x2﹣2x+2021
＝x2﹣2x+1+2020
＝（x﹣1）2+2020，
当x＝1﹣2时，原式＝（1﹣2﹣1）2+2020＝24+2020＝2044，
故答案为：2044．
8．若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是　1　．
【解答】解：∵m2+2m＝1，
∴4m2+8m﹣3
＝4（m2+2m）﹣3
＝4×1﹣3
＝1．
故答案为：1．
9．若a+b＝﹣1，则3a2+6ab+3b2﹣5的值为　﹣2　．
【解答】解：∵a+b＝﹣1，
∴3a2+6ab+3b2﹣5
＝3（a+b）2﹣5
＝3×（﹣1）2﹣5
＝3﹣5
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2＝　6　．
【解答】解：原式＝xy（x﹣y），
当x﹣y＝2，xy＝3时，
则原式＝3×2＝6．
故答案为：6．
11．已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是　等腰　三角形．
【解答】解：由a2﹣b2＝c（a﹣b），
（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），
（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵三角形两边之和大于第三边，即a+b＞c，
∴a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
即△ABC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．


考点五 化简求值
一．解答题（共9小题）
1．计算：
（1）2b（4a﹣b2）；
（2）（﹣2a3）2+（﹣a2）3．
【解答】解：（1）2b（4a﹣b2）
＝8ab﹣2b3；

（2）（﹣2a3）2+（﹣a2）3
＝4a6﹣a6
＝3a6．
2．计算：（a+3）（a﹣2）﹣a（a﹣1）．
【解答】解：原式＝a2+a﹣6﹣a2+a
＝2a﹣6．
3．计算：
（1）3（a+b）﹣（3a﹣2b）；
（2）xy2﹣[x+（6y+2xy2）﹣3x]．
【解答】解：（1）原式＝3a+3b﹣3a+2b
＝5b．
（2）原式＝xy2﹣（x+3y+xy2﹣3x）
＝xy2﹣（3y+xy2﹣2x）
＝xy2﹣3y﹣xy2+2x
＝2x﹣3y．
4．先化简，再求值：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y），其中+|y+2|＝0．
【解答】解：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y）
＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
∵+|y+2|＝0，
∴x﹣1＝0且y+2＝0，
解得：x＝1，y＝﹣2，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝9×1×（﹣2）＝﹣18．
5．先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣3．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y，
当x＝3，y＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣3）＝0．
6．（1）化简求值：已知（x﹣3）2+|x﹣2y+5|＝0，求代数式：﹣3x2y﹣2[3x2y﹣2（xy+x2y）]﹣3xy的值．
（2）关于x的代数式（3﹣ax）（x2+3x﹣1）的展开式中不含x2项，求a的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+|x﹣2y+5|＝0，
∴，
解得：，
﹣3x2y﹣2[3x2y﹣2（xy+x2y）]﹣3xy
＝﹣3x2y﹣2[3x2y﹣2xy﹣2x2y]﹣3xy
＝﹣3x2y﹣6x2y+4xy+4x2y﹣3xy
＝﹣5x2y+xy，
当x＝3，y＝4时，原式＝﹣5×32×4+3×4＝﹣168；

（2）（3﹣ax）（x2+3x﹣1）
＝3x2+9x﹣3﹣ax3﹣3ax2+ax
＝﹣ax3+（3﹣3a）x2+（9+a）x﹣3，
∵关于x的代数式（3﹣ax）（x2+3x﹣1）的展开式中不含x2项，
∴3﹣3a＝0，
解得：a＝1．
7．先化简，再求值：
（1）6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1；
（2）（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝．
【解答】解：（1）6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，
＝（﹣12x3y2+6x2y4）÷xy2
＝﹣12x2+6xy2，
当x＝2，y＝﹣1时，
原式＝﹣12×22+6×2×（﹣1）2
＝﹣36；

（2）（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y）
＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy
＝﹣x2﹣3xy，
当x＝﹣2，y＝时，
原式＝﹣（﹣2）2﹣3×（﹣2）×
＝﹣4+3
＝﹣1．
8．先化简，再求值：[（x+4y）（x﹣4y）﹣（x+2y）2﹣2（x+2y）（x﹣5y）]÷x，其中x，y满足（x+3）2+＝0．
【解答】解：原式＝[x2﹣16y2﹣（x2+4xy+4y2）﹣2（x2﹣5xy+2xy﹣10y2）]÷x
＝（x2﹣16y2﹣x2﹣4xy﹣4y2﹣2x2+10xy﹣4xy+20y2）÷x
＝（﹣2x2+2xy）÷x
＝﹣2x+2y，
∵（x+3）2+＝0，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴原式＝﹣2×（﹣3）+2×2＝6+4＝10．
9．先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）+4（xy﹣y2），其中x＝﹣2，y＝1．
【解答】解：原式＝4x2+y2﹣4xy﹣（x2﹣9y2）+4xy﹣4y2
＝4x2+y2﹣4xy﹣x2+9y2+4xy﹣4y2
＝3x2+6y2，
当x＝﹣2，y＝1时，
原式＝3×（﹣2）2+6×12
＝12+6
＝18．


考点六 因式分解
一．选择题（共3小题）
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 B．6xy＝2x2•3y3
C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1 D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
2．下列各等式从左到右的变形是因式分解，且分解正确的是（　　）
A．x2﹣x+＝（x﹣）2 B．a2+2ab+b2﹣1＝（a+b）2﹣1
C．（x+5）（x﹣1）＝x2﹣4x﹣5 D．ax2+bx+x＝x（ax+b）
3．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+2x﹣1 B．x2﹣x+ C．x2+xy+y2 D．9+x2﹣3x
二．填空题（共4小题）
4．分解因式：x3+2x2﹣3x＝　 　．
5．在实数范围内分解因式a4﹣64＝　 　．
6．已知x＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝　 　．
7．实数a，b满足a+b＝6，则＝　 　．
三．解答题（共2小题）
8．阅读例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2+4x+m＝（x+1）（x+n），则
x2+4x+m＝x2+（n+1）x+n，∴，解得．
∴另一个因式（x+3），m的值为3．
问题：已知二次三项式2x2+x+k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式及k的值．
9．仔细阅读下面例题解答问题
【例题】已知关于x的多项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），
则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴解得
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知关于x的多项式x2+7x+a有一个因式是（x﹣2），求另一个因式及a的值．
（2）已知关于x的多项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x+4），求k的值．