高中数学高考专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入（解析版）

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专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入1．（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.2．（2021·浙江高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（    ）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3．（2021·全国高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.4．（2021·北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.5．（2021·全国高考真题）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.6．（2021·全国高考真题（理））设，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.7．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.【答案】5        【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.1．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知实数满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ）A． B． C． D．4【答案】A【分析】作出实数满足的约束条件表示的平面区域，再由目标函数的几何意义借助几何图形求解即得.【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影区域，它是斜向上的一个开放性区域，含边界，目标函数，即，表示斜率为-3，纵截距为z的平行直线系，作出直线l0：，平移直线l0使其过点A时的直线纵截距最小，z最小，由得，即点，于是得，所以目标函数的最小值为.故选：A2．（2021·重庆高三其他模拟）已知，，，则的最小值为（    ）A．9 B．5 C． D．【答案】C【详解】，所以.第7题解析：由题意知，在平面和平面上的投影分别为和，取中点，连，，∵，，∴，，故平面，所以点的轨迹即为平面与正方体表面的交线，取中点，连接，，则，∴，，，四点共面，∴点的轨迹即为等腰梯形，由正方体棱长为2得，，故轨迹长度为.3．（2021·全国高三三模）已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，且，所以，所以，所以，即当且仅当即，时等号成立，故的最小值．4．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（    ）（可能用到数值ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23）A．3.23 B．2.881 C．1.881 D．1.23【答案】B【分析】利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】依题意，令，则，，.故选：B5．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））若复数，则|z|=（    ）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】首先化简复数，再求复数的模.【详解】，所以.故选：D6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知复数满足，则（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】，利用复数的运算求出复数，从而求出.【详解】解：，所以.故选：D.7．（2021·广西师大附属外国语学校高三其他模拟（理））复数z的虚部为，模为2，则复数z2的对应点位于复平面内（    ）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第二或三象限【答案】D【分析】结合复数的概念及模长求出复数，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限.【详解】设，因为，所以，所以或，若，则，复数z2的对应点位于复平面内第二象限；若，则，复数z2的对应点位于复平面内第三象限；故选：D.8．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））复数满足等式，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先计算复数z，找到对应点，再判断象限.【详解】因为所以 故复数对应点为 ，在第二象限.故选：B9．（2021·全国高三其他模拟（理））若，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为7．故答案为：7．10．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】由已知构造运用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.【详解】，，且，当且仅当，且，即，时取等号，的最小值为.故答案为:.11．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为________．【答案】5        【分析】根据“冰雹猜想”进行计算，由此确定正确结论.【详解】时，各步的结果为，即次步骤后变成.时，各步的结果为，即次步骤后变成.时，各步的结果为，即次步骤后变成.其它正整数不符合题意，故若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为.故答案为：；.