高中数学高考专题07 圆锥曲线中的向量共线问题(解析版)

这是一份高中数学高考专题07 圆锥曲线中的向量共线问题(解析版)，共54页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
专题07 圆锥曲线中的向量共线问题
一、单选题
1．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】
由可得，设，，由，可得.
【详解】
由可得，设，，
由，可得，
所以且，
所以，解得，所以，
所以点M到y轴的距离为1.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.
2．抛物线的焦点为，准线为，点在上，线段与抛物线交于点，若，点到轴的距离为2，则的值是（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】
画出图形，通过向量关系，转化为：，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可．
【详解】
解：抛物线的焦点为，准线为，
点在上，线段与抛物线交于点，若，
过作于，则，
所以，设准线与轴交于，
则，因为点到轴的距离为2，
所以，解得，
故选：C．

【点睛】
本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
3．已知双曲线的标准方程为，过其右焦点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则AB的垂直平分线与x轴交点的横坐标是（ ）
A．20 B．10 C．12 D．18
【答案】A
【分析】
解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F的坐标,设出直线AB的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合及根与系数的关系,求出AB的中点坐标,进而可得AB的垂直平分线的方程,最后求其与x轴交点的横坐标即可；
解法二：设出A,B两点的坐标,结合,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解.
【详解】
解法―：由,得双曲线的右焦点,故由题意可设直线AB的方程为.联立方程,得,消去x得.设,.由及根与系数的关系,得,得,或,由对称性不妨设,则AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.
故选：A.
解法二：由,得双曲线的右焦点.不妨设点A在第一象限内,设,,因为,所以,得.又点A,B在双曲线上,所以,得,则,所以AB的中点坐标为,直线AB的斜率,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示. 试题综合考查直线与双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
4．已知抛物线，焦点为，圆，过的直线与交于、两点（点在第一象限），且，直线与圆相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点、，可得，且，由结合向量的坐标运算以及可求得点的坐标，进而可求得直线的方程，由直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数的值.
【详解】
抛物线的焦点为，设点、，则，且，
由得，，
由，即，即，可得，，
所以，点的坐标为，
直线的斜率为，则直线的方程为，即，
将圆的方程写为标准式得，则，可得.
由于直线与圆相切，则，解得，合乎题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.
5．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.
【详解】
设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：

因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
【点睛】
本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6．已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点，若，且直线QA的斜率为1，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可.
【详解】
解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，设，
由，所以，得，又，所以，
又A、F、B三点共线，可得，即，
可得，∴，，，
由QA斜率为1可得：，即，
则.
故选：C.
【点睛】
在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数；基础题.
二、解答题
7．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且⊥x轴．

（1）如图1，若OC∥AB，求e的值；
（2）如图2，连结并延长交椭圆于另一点D．若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据轴，设C，，再根据点C在椭圆上求得其坐标，然后再根据 OC∥AB ，由求解.
（2）设，，由（1），，然后用表示D的坐标，代入椭圆方程求解.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为2c．
∵ 轴
可设C，，
因为，
所以，
解得，
∴C
∵ OC∥AB ，
所以
∴ b=c
∴ .
（2）设，，由（1）知：，，
，，
∵
∴，
所以，，
∴
又∵D在椭圆上
∴，
化简得：
又∵，

∵ ， ，
则，
解得：
所以取值范围是．
【点睛】
方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：
①直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；
②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；
③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
8．已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点为中点，与曲线的另一个交点为，设，试求出的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由椭圆的离心率及经过的点列方程即可得解；
（2）设，由韦达定理得、，再由平面向量的数乘运算可得，代入椭圆方程运算即可得解.
【详解】
（1）由题意得，解得，的方程为；
（2）设，
将代入得，
所以，
所以，
由点为中点得，
由得，
所以，
因为在椭圆上，所以，
所以，
即，
又因为，
所以，化简得，解得（负值舍去）.
【点睛】
解决本题的关键是设出点的坐标，利用韦达定理及向量的数乘对条件合理转化，细心计算即可得解.
9．已知椭圆：的两个焦点为，，焦距为，直线：与椭圆相交于，两点，为弦的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于不同的两点，，，若（为坐标原点），求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）为弦的中点, 设，,代入椭圆方程利用点差法可求解.
（2）由，，三点共线，，根据三点共线性质可得：，则，将直线的方程和椭圆方程联立，利用韦达定理即可求得答案.
【详解】
（1）∵焦距为，则，设，，
∵为弦的中点，根据中点坐标公式可得：，，
又∵将，代入椭圆：
∴
∴将两式作差可得：，
所以，
所以………①.
∵………②
由①②得：
所以椭圆的标准方程为.
（2）∵，，三点共线，
∴根据三点共线性质可得：，则
设，，则，
∴.
将直线和椭圆联立方程消掉.
可得：.
………③，
根据韦达定理：，，
代入，可得：，，
∴，即.
∵，，
∴………④，
代入③式得，即，
∴，∴满足④式，
∴或.
【点睛】
本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.
10．如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.

（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据得到，，可得；
（2）设，根据得到，，代入，解得，可得，从而可得椭圆方程.
【详解】
（1）若，则和为等腰直角三角形．所以有，即．所以，．
（2）由题知，，设，
由，得，所以 ，．
代入，得．
即，解得．所以，
所以椭圆方程为．
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.
11．已知椭圆：（），为坐标原点，长轴长为4，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的方程为：，点为椭圆在轴正半轴上的顶点，过点作，垂足为，点在椭圆上（不同于点）且满足：，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由长轴长为4求a，再由离心率求c，根据椭圆的性质求b，从而得到椭圆方程．
（2）椭圆的右顶点为．直线，直线的方程为，分别与椭圆方程联立，求出的纵坐标，利用向量关系，转化求解直线的斜率即可．
【详解】
（1）由椭圆的离心率，长轴长为4可知，，∴，
∴椭圆的方程为．
（2）椭圆的右顶点为．
由题可知，直线：，直线的方程为，
由，可知，
由，得，则，
∵，∴，则
∵，∴，解之，．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于综合题.
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.
（1）求的标准方程；
（2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，点坐标为或
【分析】
（1）（1）设直线方程为，分别与椭圆方程，圆联立解得交点坐标，再根据弦长分别为2和.求解.

（2）设：，，，，与抛物线方程联立，根据与相切，则，与椭圆方程联立，由结合韦达定理得到Q坐标代入椭圆方程求解.
【详解】
（1）设直线方程为，与椭圆方程联立解得，
所以，
直线方程为，与圆联立解得，
所以，
解得，
故：.
（2）由题知存在且斜率不为0，设：，，，，
联立，得，
因为与相切，故，
联立，得，
所以，，
，
又，
所以.
因为，
所以，
由韦达定理，代入计算得，
因为点在椭圆上，即，
代入得，即，，
解得或（舍），
所以，此时点坐标为或.
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆，直线与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
13．已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于,两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）依题意得到方程组，解得即可；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由，可得，从而求出参数的值，
【详解】
解：（1）设椭圆的半焦距为.
由题意可得
解得，.
故椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可得
当直线的斜率为0时，，或，，
此时，不符合题意.
当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为，，.
联立，整理得，
则，
因为，所以.从而，，
则，解得.
故直线的方程为.
【点睛】
本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.
14．已知过点的直线与抛物线相交于A，B两点.
（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；
（2）若点A，B在直线上的射影分别为，，线段的中点为Q，求证.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】
（1）由题意，设过点的直线的斜率为，则．然后由，根据定比分点的知识，可得，．将，代入最终可得到的值，则即可求出直线的方程；
（2）先联立直线与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有，．再根据题意写出，，，．再根据平行向量的坐标公式进行代入计算即可证明．
【详解】
（1）解：由题意，设过点的直线的斜率为，则．
设，，，．
，
根据定比分点的知识，有
，，
．
联立，
消去，整理得．
解得，，
，
整理，得，
解得．
直线的方程为．
（2）证明：根据（1），联立直线与抛物线方程，得
，
整理，得．
则，．
，，，．，．
，，，．



．
．
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了定比分点的应用，平行向量坐标公式的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．
15．已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求得焦点坐标，设，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；
（2）设，的坐标分别为，，，，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率．
【详解】
解：（1）时，椭圆，两个焦点，，，，
设，可得，即，
，，，，
，
因为，
所以的范围是；
（2）设，的坐标分别为，，，，可得，，
则，两式相减可得，
，即，
故，又设，，直线，
即直线的方程为，
从而，代入椭圆方程可得，，
由与，联立得，
若四边形为平行四边形，那么也是的中点，
所以，即，整理可得，
解得，经检验满足题意，
所以当时，四边形为平行四边形．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

16．设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．
（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（Ⅱ）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．
【答案】（Ⅰ），圆为：；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）依题意可得为正三角形，且，根据的面积，即可求出，从而得到圆的方程；
（Ⅱ）依题意可得直线的倾斜角为或，由对称性可知，设直线：，，，联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理，由，即可得到，解得即可；
【详解】
解：（Ⅰ）焦点到准线的距离为，
又∵，，∴为正三角形．
∴，，
∴，，
∴圆为：．
（Ⅱ）若、、共线，则，
∴，
∴直线的倾斜角为或，
由对称性可知，设直线：，，，，
联立，
∴，，或，
又，，，所以．
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，向量共线求出参数的值，属于中档题.
17．已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，.

（1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程；
（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线.
【答案】（1）抛物线的方程为，焦点坐标为，准线方程为（2）证明见解析
【分析】
（1）根据抛物线通径的性质，得出，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；

（2）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，求出则，，通过直线相交分别求出和，从而求出和，通过化简求出，即可证出三点共线.
【详解】
解：（1），则，
故抛物线的方程为：，
其焦点坐标为，准线方程为：
（2）设直线，联立，
得，则，
设，，则，.
法1：直线，
由得，故点，
直线的斜率，
则直线的斜率，
直线，则点
直线的斜率.
直线的斜率，由得，
则，
所以三点共线.
法2：直线，
由得，故点，
由，得.
直线的斜率，
直线，得点，
由，得.
直线的斜率.
直线的斜率，由得，
由，得，
则有.所以三点共线.
法3：（1）∵，∴，∴，∴，，
∴抛物线的标准方程为：，
则焦点坐标为：，准线方程为：.
（2）设直线，联立得：，
，
设，，
∴直线，
当时，，∴，
∴，∴，
∴直线，
当时，，∴，
∴，，
∴


，
∴，
∴共线.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力.
18．已知抛物线上的焦点为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据焦点坐标求得，结合抛物线的开口方向求得抛物线的标准方程.
（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，进而求得直线的方程.
【详解】
（1）依题意，抛物线的焦点为，开口向上，，所以曲线的方程为：；
（2）设过的斜率为的直线方程为：，
联立，消去并化简得. 令、，
所以，，
由题可知：，即：，即得，
由，，得：，，
所求直线的方程为：.
【点睛】
本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
19．已知椭圆
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0
【分析】
（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；
（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．
【详解】
（1）由，得，进而，；
（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，
可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，
可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①
由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②
将②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，
消去y1，可得•＝，解得m2＝，所以，
故存在这样的直线l，且方程为7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
20．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为,到直线的距离为.
（1）求椭圆的焦距；
（2）如果，求椭圆的方程.
【答案】（1）4；（2）.
【分析】
（1）由题意可设直线的方程为，再利用点到直线的距离公式即可求解.
（2）由（1）可得，联立方程消，求出两交点的纵坐标，再由得出两交点纵坐标的关系即可求解.
【详解】
（1）由题意可得：直线的方程为，
到直线的距离为，
，解得，
椭圆的焦距.
（2）由（1）可得，
设，，，，
联立，整理可得
，
解得，，
因为，所以，
即，解得，
又，故，
故椭圆的方程为.
【点睛】
本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.
21．设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，直线的倾斜角为，且
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设直线方程为，联立，解得，根据，由求解.
（2）根据，结合（1）的数据代入求解.
【详解】
（1）设，由题意得，
直线方程为：，联立得，
解得，
因为，
所以，
即，
所以.
（2）因为，
所以，
又，则，
解得，
所以椭圆的方程是.
【点睛】
本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．如图，已知椭圆：，点，是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于、两点．

（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由椭圆的方程可得，的坐标，设直线，的方程分别为，，，，，，，，且，满足方程，进而求得的表达式，进而根据，求得的表达式，由在上知，进而求得的另一个表达式，两个表达式相等求得．
（Ⅱ）由题设可知和的值，设，，进而可表示出四边形的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值．
【详解】
（Ⅰ）椭圆：，，，
直线，的方程分别为，．
如图，设，，，，，，其中，
且，满足方程，
故．①
由，知，得，
由在上知，得，
所以，
化简得，
解得或．
（Ⅱ）由题设，，．
由（Ⅰ）知，，，，，
不妨设，，由①得，
根据与关于原点对称可知，
故四边形的面积为


，
当时，上式取等号．所以的最大值为．
【点评】
本题主要考查了直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．
23．已知点是抛物线的焦点，过的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.
（1）求此抛物线的方程；
（2）是抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，（，是切点），两切线分别交轴于，，直线交抛物线对称轴于点，求证四边形是平行四边形.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设过的弦所在直线方程为：，其与抛物线交于，证明，则可求解.
（2）设，，根据切线分别表示出直线、的方程，则、的坐标能表示出，联立直线、的方程，则的坐标可表示出，表示出直线的方程，则的坐标可表示出，最后说明即可.
【详解】
解：（1），
设过的弦所在直线方程为：，其与抛物线交于，
联立，即，，
所以，
不妨设，
，
，
∴此抛物线的方程为：；
（2）设，，，
∴直线的方程为：，
即：；令，所以，
同理，直线的方程为：；令，所以，
直线的方程为：，即：；
令，所以，
，所以，
，，所以，
∴四边形是平行四边形.
【点睛】
以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题.
24．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于点和，且恒.
（1）求的值；
（2）直线过与轴平行，直线过与垂直，若与交于点，且直线与轴交于点，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得， 建立关于的方程，从而得到答案；
（2）分别求出三点坐标用表示，由三点共线得到关于的方程，求得答案.
【详解】
（1）由条件得.

易知不垂直于轴，可设：.
由得，
所以，所以.
（2）由（1）知抛物线方程为，.
设，由题易知且.
因为，所以，
所以的斜率为，直线的斜率为.
直线：，直线：，所以.
由，，三点共线得，
解得.
所以直线的斜率为.
【点睛】
本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系.属于中档题.
25．已知圆，直线与圆交于不同的两点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】
试题分析：（Ⅰ）由直线与圆有两个不同交点得，圆心到直线距离小于半径，或利用直线方程与圆方程联立方程组有两个不同的解列判别式恒大于零，列出关于的限制条件，解出的取值范围；（Ⅱ）由得为的中点，设，则，代入圆方程得，，解方程组可得或，因此可出求直线的方程
试题解析：（Ⅰ）将直线的方程代入圆的方程后，整理得，依题意，直线与圆交于不同的两点．又∵，∴只需，解得的取值范围为．
（Ⅱ）由已知为的中点，设，，则
，①
，②
解①②可得或，
∴直线的方程为
考点：直线与圆位置关系

三、填空题
26．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为_______
【答案】
【分析】
先求出、、，再求出和，最后建立方程求即可.
【详解】
解：由题意联立方程组，解得或
因为P在x轴上方，所以、,
因为抛物线C的方程为，所以，
所以，
因为，所以，
解得：，
故答案为：
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题
27．已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为______.
【答案】
【分析】
求出，设过点的直线方程为，将直线与抛物线联立，利用韦达定理可得，，根据向量可得，从而求出直线的倾斜角，即求.
【详解】
因为点在抛物线：上，
所以，得，所以，
设过点的直线方程为：，
所以 ，所以，
设，，
所以，，
又因为，所以，
所以，因为直线的斜率，
由，所以或，所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题.
28．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为________．
【答案】
【分析】
根据轴，可求得A点坐标，又，得，则可求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得，即可得答案.
【详解】
设，
因为轴，
所以，代入椭圆方程得，设，
因为，得，
所以，
解得，即，
又B在椭圆上，将代入椭圆方程得：，
又，解得，
所以椭圆方程为：
故答案为： .
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，将，转化为，可大大简化计算，考查分析理解，求值计算的能力，属基础题.
29．已知直线与抛物线相交于、两点，抛物线的准线与轴的交点为，且满足，则的值是______.
【答案】
【分析】
设点、，设，可得出直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由可知点为线段的中点，可得，结合韦达定理可求得正数的值，即可得出的值.
【详解】
设点、，设，则直线的方程为，则点，
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，
，，解得.
由韦达定理得，，
，则，，即，
，，，解得，
所以，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用抛物线中向量共线求参数，考查韦达定理设而不求思想的应用，属于中等题.
30．已知点，椭圆上两点A，B，存在异于P，A，B的点E，满足，则点B的横坐标的取值范围为________.
【答案】
【分析】
由题意结合平面向量的线性运算法则可得，设，，由平面向量基本定理可得，代入椭圆方程可得，进而可得，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】
由可得即，
∴.
设，，则，，
∴即，
又点A，B均在椭圆上，
则即，解得，
而，
又，∴，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了椭圆性质的应用及向量的线性运算，考查了运算求解能力及转化与化归思想，属于中档题.
31．已知直线经过抛物线:的焦点，与交于，两点，其中点在第四象限，若，则直线的斜率为______.
【答案】
【分析】
根据题中所给条件，设出直线方程为，联立直线方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果．
【详解】
依题意，抛物线的焦点
设直线的方程为
由得，设，
，，
，且，
即
，，
解得或
或
又，所以，，得
解得：，结合图象得.

故答案为：
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力.

四、双空题
32．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则______；过点作斜率为的直线交抛物线于两个不同点，．若，则实数的值为______．
【答案】4
【分析】
（1）解方程，即得的值；
（2）由题可知，设，，直线的方程为，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，由可得，即可求出的值.
【详解】
由题得抛物线的焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为，
则，解得．
由题可知，设，，
直线的方程为，
与联立，消去可得，
则，．
由可得，即，即，
因此，，整理得，即．
所以实数的值为．
故答案为： 4；.
【点睛】
本题主要考查抛物线和双曲线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.