2024年新高考数学培优专练07 圆锥曲线中的向量共线问题（原卷版+解析）

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1．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（ ）
A．B．C．D．1
2．抛物线的焦点为，准线为，点在上，线段与抛物线交于点，若，点到轴的距离为2，则的值是（ ）
A．B．4C．D．2
3．已知双曲线的标准方程为，过其右焦点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则AB的垂直平分线与x轴交点的横坐标是（ ）
A．20B．10C．12D．18
4．已知抛物线，焦点为，圆，过的直线与交于、两点（点在第一象限），且，直线与圆相切，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点，若，且直线QA的斜率为1，则（ ）
A．2B．4C．D．
二、解答题
7．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且⊥x轴．
（1）如图1，若OC∥AB，求e的值；
（2）如图2，连结并延长交椭圆于另一点D．若，求的取值范围．
8．已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点为中点，与曲线的另一个交点为，设，试求出的值.
9．已知椭圆：的两个焦点为，，焦距为，直线：与椭圆相交于，两点，为弦的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于不同的两点，，，若（为坐标原点），求的取值范围.
10．如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.
11．已知椭圆：（），为坐标原点，长轴长为4，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的方程为：，点为椭圆在轴正半轴上的顶点，过点作，垂足为，点在椭圆上（不同于点）且满足：，求直线的斜率．
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.
（1）求的标准方程；
（2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由.
13．已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于,两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程.
14．已知过点的直线与抛物线相交于A，B两点.
（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；
（2）若点A，B在直线上的射影分别为，，线段的中点为Q，求证.
15．已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．
16．设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．
（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（Ⅱ）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．
17．已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，.
（1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程；
（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线.
18．已知抛物线上的焦点为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.
19．已知椭圆
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
20．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为,到直线的距离为.
（1）求椭圆的焦距；
（2）如果，求椭圆的方程.
21．设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，直线的倾斜角为，且
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求椭圆的方程.
22．如图，已知椭圆：，点，是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于、两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
23．已知点是抛物线的焦点，过的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.
（1）求此抛物线的方程；
（2）是抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，（，是切点），两切线分别交轴于，，直线交抛物线对称轴于点，求证四边形是平行四边形.
24．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于点和，且恒.
（1）求的值；
（2）直线过与轴平行，直线过与垂直，若与交于点，且直线与轴交于点，求直线的斜率.
25．已知圆，直线与圆交于不同的两点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求直线的方程．
三、填空题
48．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为_______
49．已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角的正弦值为______.
50．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为________．
51．已知直线与抛物线相交于、两点，抛物线的准线与轴的交点为，且满足，则的值是______.
52．已知点，椭圆上两点A，B，存在异于P，A，B的点E，满足，则点B的横坐标的取值范围为________.
53．已知直线经过抛物线:的焦点，与交于，两点，其中点在第四象限，若，则直线的斜率为______.
四、双空题
54．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则______；过点作斜率为的直线交抛物线于两个不同点，．若，则实数的值为______．