高中数学高考预测07 数列（原卷版）

预测07    数   列

数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．

等差数列

1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示

2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：

（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式

（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差

（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数

3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项

（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即

（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项

（3）如果为等差数列，则

4、等差数列通项公式与函数的关系：

，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：

（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可

（2）由通项公式可得：

作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式

② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。

（3）当时，

    因为  

  而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系

当时

，即偶数项和与中间两项和的联系

6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析

等比数列

1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比

注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列

2、等比数列通项公式：，也可以为：

3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项

（1）若为的等比中项，则有

（2）若为等比数列，则，均为的等比中项

（3）若为等比数列，则有

4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为

当时，则为常数列，所以

当时，则

可变形为：，设，可得：

5、由等比数列生成的新等比数列

（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列

（2）已知等比数列，则有

① 数列（为常数）为等比数列

② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列

③ 数列为等比数列

④ 数列为等比数列

6、等比数列的判定：（假设不是常数列）

（1）定义法（递推公式）：

（2）通项公式：（指数类函数）

（3）前项和公式：

数列的求和的方法

（1）等差数列求和公式：

（2）等比数列求和公式：

（3）错位相减法：

通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和

（4）裂项相消：

的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多

（5）分组求和    如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和

（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可

（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和

（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，

1、对于选择题中的选项，可以运用代入法进行排除。

2、对于解答题若涉及到求和问题一定眼验证，确保答案的正确。

1、【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则

A．  B． 

C．  D．

2、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16  B．8 

C．4  D．2

3、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16  B．8 

C．4  D．2

4、【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是

A．    B． 

C．   D．

5、【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列

A．有最大项，有最小项   B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

6、【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则

A． 当 B． 当

C． 当 D． 当

7、【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

8、【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．

9、【2020年高考江苏】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是   ▲    ．

10、【2020年高考山东】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

11、【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=___________．

12、【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．

13、【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．

14、【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是___________．

15、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

16、【2020年高考全国III卷理数】设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

17、【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

18、【2020年高考天津】已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

19、【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．

（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．

一、单选题

1、（2021·山东青岛市·高三期末）《莱茵德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（    ）

A． B． C． D．

2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　）

A．2 B． C．3 D．4

3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知数列满足且，则（    ）

A．-3 B．3 C． D．

4、（2021·山东泰安市·高三期末）在公差不为0的等差数列中，，，，，成公比为4的等比数列，则（    ）

A．84 B．86 C．88 D．96

5、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（    ）

A．1022 B．1023 C．2046 D．2047

6、（2021·江苏常州市·高三期末）已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为（    ）

A． B． C． D．

7、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（    ）（取，）

A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元

8、（2021·湖北高三期末）设等比数列的前n项和为，首项，且，已知，若存在正整数，使得、、成等差数列，则的最小值为（    ）

A．16 B．12 C．8 D．6

二、多选题

9、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）

A． B． C． D．

10、（2021·河北张家口市·高三期末）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，，则

11、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）等差数列的前项和为，若，公差，则（    ）

A．若，则 B．若，则是中最大的项

C．若，则 D．若，则

12、（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是(    )

A．S2019<S2020 B．

C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值

13、（2020·河北邯郸市·高三期末）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则数列的前项和为

C．若，则是等比数列

D．若，则

三、填空题

14、（2020·山东省招远第一中学高三月考）设等比数列满足，，则______.

15、（2021·江苏苏州市·高三期末）已知数列的前项和，则数列的前10项和为______．

16、（2021·河北张家口市·高三期末）若数列满足：，，则________________.

17、（2020·山东青岛·高三开学考试）把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______.

四、解答题

18、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.

(1)求;

(2)设，求的前项和.

19、（2021·山东泰安市·高三期末）已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．

20、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．

(1)求的通项公式；

(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．

21、（2021·湖北高三期末）已知数列满足，且.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）记，是数列前项的和，求证：.

22、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列的前项和是.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，设的前项和是，求使得的最小正整数．

23、（2021·山东青岛市·高三期末）在①，②，这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.

已知正项数列的前项和为，          ．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，且，求数列的前项和.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.