高中数学高考全真模拟卷01（文科）（解析版）

2021年文科数学一模模拟试卷（一）

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（   ）

A． B． C． D．

4．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（    ）

A． B．

C． D．

5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

A． B． C． D．

6．已知、是平面，、是直线，下列命题中不正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

①函数的图象关于点对称

②函数的图象关于直线对称

③函数在单调递减

④该图象向右平移个单位可得的图象

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④

9．执行如图所示的程序框图，那么输出的值是（   ）

A． B． C． D．

10．已知等比数列的前n项和为，则下列命题一定正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称曲线上一点，则的最小值是(    )

A．2 B． C． D．

12．已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．设实数、满足约束条件，则的最大值为_____.

14．设等差数列的前项和为，若，则________．

15．已知，且，则的最小值为________.

16．设、分别为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是________.

三、解答题

17．在①，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且______

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分）

18．中国探月工程自年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了名学生进行调查，调查结果如下面列联表.

（1）完成上面的列联表，并计算回答是否有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？

（2）现在从这名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取名学生，如果再从中随机选取人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的名学生中恰有名女生的概率.若将频率视为概率.

附：

，其中

19．如图，在三棱锥中．平面BCD，，，，E，F分别在AC，AD上，且．

（1）求证：平面平面ABC；

（2）若多面体EFBCD的体积等于，求EF的长．

20．已知抛物线，直线，设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.

（1）当点在轴上时，求线段的长；

（2）求证：直线恒过定点.

21．已知函数．

（1）若函数在内是单调函数，求实数的取值范围；

（2）已知、是函数的两个极值点，当时，均有成立，求实数的取值范围（为自然对数的底数）

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）由直线(为参数，)上的点向曲线引切线，求切线长的最小值.

23．已知函数．

（1）若，解不等式；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

1．B

【分析】

求出集合后，由交集定义计算．

【详解】

，，

∴．

故选：B．

2．A

【分析】

先利用除法化简计算，然后代入模长公式计算.

【详解】

变形得，

所以.

故选：A.

3．A

【分析】

根据函数的奇偶性，对称性判断函数的周期并求解.

【详解】

因为是定义在上的奇函数，

所以图象的对称中心为，且．

因为，

所以图象的对称轴方程为，

故的周期，

，，

从而，

故选：A．

4．B

【分析】

由题意2①；2.②

消去即得3，进而运算可得答案.

【详解】

由题意

所以2，①

同理得2

即2.②

①×2＋②得4+2，

即3，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的线性运算，利用向量的中点公式，并灵活消元是关键.

5．A

【分析】

阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.

【详解】

因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.

故选：A.

【点睛】

本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.

6．A

【分析】

根据已知条件判断直线、的位置关系，可判断A选项的正误；利用线面垂直的性质可判断BC选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，若，则直线与平面内的直线平行或异面，

由于，则直线、平行或异面，A选项错误；

对于B选项，若，，则，B选项正确；

对于C选项，若，，则，C选项正确；

对于D选项，若，，由面面垂直的判定定理可知，D选项正确.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．

7．A

【分析】

根据奇偶性，单调性，特殊值等，用排除法判断即可.

【详解】

设，

故为奇函数.

为奇函数.

故为偶函数，排除C、D

时，，，故.

故选：A

【点睛】

函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

8．A

【分析】

根据的图象及三角函数图像和性质，解得函数的解析式，得到，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.

【详解】

由函数的图象可得，周期

所以，

当时函数取得最大值，即，

所以，则，

又，得 ，

故函数，

对于①，当时，，正确；

对于②，当时，，正确；

对于③，令得，

所以函数的单调递减区间为，，所以不正确；

对于④，向右平移个单位，，所以不正确；

故选：A.

【点睛】

求三角函数单调区间的2种方法:

（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；

（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.

9．B

【解析】

分析：先根据循环语句得S变化规律（周期），再根据规律确定输出值.

详解：因为所以,

所以当时

选B.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

10．B

【分析】

根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案.

【详解】

当时，，故，，

当时，，分以下几种情况，

当时，，此时；

当时，，此时，

当时，，此时；

当时，，此时；

故当时，与可正可负，故排除A、C.

当时， ，故， ；

当时，，由于与同号，故，

所以符号随正负变化，故D不正确，B正确；

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.

11．D

【分析】

利用点关于直线对称得到曲线方程，设，计算，根据二次函数性质得到答案.

【详解】

设圆心关于直线对称的点为，则，解得，

曲线为，设，

故，

当时，有最小值为，故的最小值为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆关于直线对称，抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，应用能力.

12．A

【分析】

作出函数的图象，如图，作直线，由此可得，，，的关系及范围，而不等式可转化为，令，求出范围，并把变成的函数，由导数求出它的范围，从而得的范围．

【详解】

作出函数的图象，如图，作直线，它与图象的四个交点的横坐标依次为，，，，

因为函数的图象关于对称，所以，

，即，且，

显然，不等式变形为，

，

，

所以，

由勾形函数性质知在时是增函数，所以，

令，则，，，

当时，，单调递减，所以，

所以，即的最小值是．

故选：A．

【点睛】

关键点点睛：本题考查方程的根函数零点问题，解题方法是数形结合思想，作出函数图象，及相应直线，通过两者交点观察出方程根的性质，范围，不等式就可参数分离变形为，再利用刚才的关系范围求出不等式右边的式子的取值范围即可得．

13．

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，即点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.

求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：

（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；

（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；

（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

14．

【分析】

利用等差数列的形式，条形变形得到，再利用等差数列的前项和，计算求值.

【详解】

原式，

即，得，

.

故答案为：

15．.

【分析】

由，得到，化简得，结合基本不等式，即可求解.

【详解】

由，且，则，

所以

，

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16．

【分析】

本题首先可根据题意绘出椭圆和双曲线图像，然后设、，结合椭圆定义和双曲线定义得出、，再然后根据得出，进而得出，最后根据即可求出离心率的取值范围.

【详解】

如图，绘出椭圆和双曲线图像：

设，，

由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，

解得，，

因为，所以，

即，由离心率的公式可得，

因为，所以，

即，解得，

因为，所以，，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查离心率的相关计算，主要考查椭圆定义和双曲线定义的应用，椭圆中有，双曲线中有，离心率计算公式为，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.

17．（1）答案见解析；（2）.

【分析】

（1）选①或选②，由正弦定理化边为角后利用三角函数恒等变换求得角，选③用正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得角；

（2）用正弦定理把用角表示，由锐角三角形求出的范围，结合正切函数性质可得结论．

【详解】

解：（1）若选①：，且，

所以，所以．

又，所以，所以，所以．

若选②：由正弦定理得，因为，

所以，即．

由，，所以，所以.

若选③：由正弦定理得，即，

由余弦定理得，

又，所以.

（2）因为是锐角三角形，，

所以，且，得

由正弦定理得，

所以

因为，所以，所以，

所以，即得取值范围是．

【点睛】

关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角函数的性质．在同时出现边角关系时常常利用正弦定理进行边角转化，化边为角或化角为边，需根据已知等式进行判断，目的是变形后易于求解．

18．（1）表格见解析，有；（2）.

【分析】

（1）根据题中信息可完善列联表，计算出的观测值，利用临界值表可得出结论；

（2）由题意可知，分层抽样的方法选取名学生，那么男生、女生分别选取人、人，将三位男生分别记为、、，将两位女生分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

（1）列联表如下表所示：

，

所以有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”；

（2）由于男生、女生各、人，

采取分层抽样的方法选取名学生，那么男生、女生分别选取人、人．

设从名学生中随机选取人其中恰有名女生的事件记为，

将三位男生分别记为、、，将两位女生分别记为、，

则从这名学生中随机选取人的所有的基本事件有：

、、、、、、、、、，共个，

其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共个

所以，即事件发生的概率是．

【点睛】

方法点睛：古典概型概率的求法有如下几种：

（1）列举法；

（2）列表法；

（3）树状图法；

（4）排列组合数的应用.

19．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由，得到平面ABC，

由得到平面ABC可得答案；

（2）由已知得到三棱锥的体积，由三棱锥与三棱锥是同高的三棱锥，体积比等于它们底面积的比可得答案.

【详解】

（1）∵平面BCD，平面BCD，

∴，∵，，

且平面ABC，∴平面ABC，

∵，∴平面ABC，

∵平面BEF，∴平面平面ABC．

（2）由题意知三棱锥的体积为

，

∵多面体EFBCD的体积等于，

∴三棱锥的体积等于，

∵三棱锥与三棱锥是同高的三棱锥，体积比等于它们底面积的比，

∴，

∵，∴，

∴．

【点睛】

本题考查了由线面垂直证面面垂直及棱锥的体积问题，求棱锥的体积有时可以利用等体积转化使运算量减少，考查了学生的空间想象力和转化能力.

20．（1）4（2）直线过定点(1，2)．

【解析】

分析：（1）设切点坐标，求导，利用导数的几何意义分别写出过两点的切线方程，再利用点是两切线交点进行求解；（2）由（1）写出直线的斜率，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，再利用直线的点斜式方程进行证明．

详解：（1）设，，

的导数为，

以为切点的切线方程为，即，

同理以为切点的切线方程为，

∵在切线方程上，

∴，，

∴，轴，

∴

（2）证明：设，

由（1）得∴，

由已知直线的斜率必存在，设的方程为，

由得，

∴，，

∴，

由在直线上可得，

则方程为，即，

∴直线过定点(1,2)．

点睛：本题考查导数的几何意义、直线和抛物线的位置关系、直线恒过定点等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）求得，对函数在区间上为增函数与减函数进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；

（2）由题意可知，、是方程的两个正根，由化简得出，令令，可得，利用参变量分离法得出，设，利用导数分析函数的单调性，求出的值域，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

（1）函数的定义域为，且.

设.

（i）若函数在内单调递增，则对任意的，.

二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①若，则函数在上单调递增，所以，解得，此时；

②若，由题意可得，解得，此时，.

所以，当时，函数在上为增函数.

（ii）若函数在内单调递减，则对任意的，，

若，则对任意的，，不合乎题意；

若，解不等式，即，解得，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）由题意可知，、是方程的两个正根，则，解得.

由韦达定理可得.

，

由，可得，

即，即，

即，

令，可得，可得，

令，其中，，

所以，函数在区间上单调递减，当时，.

所以，，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；

（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；

（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；

（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；

（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.

22．（1）；（2）最小值为.

【分析】

(1)用可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)把直线l上的任意点P，计算过 P作切线的切线长，利用二次函数求最值容易求出.

【详解】

解：（1）由，

可得

∵，，

∴曲线的直角坐标方程为.

（2）∵直线的参数方程为：(为参数，)，

∴直线上的点向圆引切线长是

.

∴当时，切线长的最小值为.

【点睛】

(1)参数方程与普通方程的互化通常用；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用；

(2)利用直线的参数方程的几何意义可以简化一些原来解析几何中运算量较大的题目的运算量，用来求最值，这体现参数方程的优点．

23．（1）；（2）.

【分析】

（1）当时，得到函数，分类讨论，即可求得不等式的解集；

（2）把不等式恒成立，转化为在上恒成立，进而得到，且，即可求解.

【详解】

（1）当时，函数，即

由，即或或，解得．

即不等式的解集为．

（2）当时，不等式恒成立，

即恒成立，即在上恒成立，

所以，解得，

所以，且，

当时，；当时，，

所以．

即实数的取值范围为．