高中数学高考全真模拟卷01 （解析版）

这是一份高中数学高考全真模拟卷01 （解析版），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年新高考数学一模模拟试卷（一）


一、单选题(共40分)
1．(本题5分)已知集合,集合,则( )
A． B． C． D．
2．(本题5分)若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．0 C．－ D．－1
3．(本题5分)(2x-1x)n的展开式中各项二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为
A．-120 B．120
C．-60 D．60
4．(本题5分)已知非零向量与满足||＝2||，且|2|=，则向量与的夹角是
A． B． C． D．
5．(本题5分)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)
A． B． C． D．
6．(本题5分)正四棱锥中，底面边长为2，高为2，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．(本题5分)若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
8．(本题5分)函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数（，且）是“半保值函数”，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．

二、多选题(共20分)
9．(本题5分)关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.
A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等
10．(本题5分)函数在一个周期内的图象如图所示,则( )

A．该函数的解析式为
B．该函数的对称中心为
C．该函数的单调递增区间是
D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到该函数图象
11．(本题5分)若随机变量，，其中，下列等式成立有( )
A． B．
C． D．
12．(本题5分)已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．当时，


三、填空题(共20分)
13．(本题5分)已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．(本题5分)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920”､清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”､“特斯拉全自动驾驶芯片”､寒武纪云端AI芯片“思元270”､赛灵思“Versal自适应计算加速平台”：现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为___．
15．(本题5分)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是________．
16．(本题5分)若实数满足，则的最大值为________.

四、解答题(共70分)
17．(本题10分)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．
在中，内角，，的对边分别为，，，且______．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本题12分)设数列的前n项和，且与的等差中项为1，
（1）求的通项公式
（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
19．(本题12分)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：
等级
水平一
水平二
水平三
水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2

（1）根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？

实践操作能力较弱
实践操作能力较强
合计
男生/名



女生/名



合计




（2）现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男生的人数为，求的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

参考公式：，其中．
20．(本题12分)如图，在直三棱柱中，点D在棱上，E，F分别是，BC的中点，，．

（1）证明：；
（2）当D为的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
21．(本题12分)已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点．

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是．请说明理由．
22．(本题12分)已知函数，，其中是自然对数的底数．
（1）若函数的极大值为，求实数的值；
（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

参考答案
1．C
【分析】
根据交集和补集定义,即可求得答案.
【详解】





故选:C.
【点睛】
本题主要考查了集合运算,解题关键是掌握集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
2．D
【分析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.
【详解】
设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，
∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算和纯虚数的概念.
3．D
【解析】
由题意可得2n=64，解得n=6，故展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r⋅(-1)r(x-12)r=C6r⋅26-r⋅(-1)r⋅x6-r-r2，
令6-r-r2=0，所以r=4，所以C64⋅26-4⋅(-1)4=60，所以展开式中的常数项为60．故选D．
4．B
【分析】
根据题意，对|2|=平方，结合||＝2||，求出向量、的夹角的余弦值，即得、的夹角．
【详解】
因为|2|=，所以，即，所以，因为||＝2||，所以，所以与的夹角为
故选B.
【点睛】
本题考查了利用平面向量的数量积求向量的模长与夹角的问题，是基础题目．
5．D
【详解】
应选D
分析：根据某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，可得经过y年，森林蓄积量，利用要增长到原来的x倍，需经过y年，可建立方程，从而可判断．
解答：解：设原来森林蓄积量为a
∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，
∴一年后，森林蓄积量为a（1+9.5%）
两年后，森林蓄积量为a（1+9.5%）2，
经过y年，森林蓄积量为a（1+9.5%）y，
∵要增长到原来的x倍，需经过y年，
∴a（1+9.5%）y=ax
∴1.095y=x
将x，y互换，可得反函数为y=，
∴函数为对数函数，且为增函数，故选D
点评：本题重点考查函数模型的构建，考查反函数，判断函数的类型是关键．
6．C
【分析】
根据正四棱锥的和球的几何性质可以判断出球心在正四棱锥的高线上（或延长线上），最后根据勾股定理解出球的半径，最后利用球的表面积公式进行求解即可.
【详解】
设是正四棱锥的高，是正四棱锥的外接球的球心，则在上（或的延长线上），则有，设球的半径为，因此，显然（或者），在正方形中，，由勾股定理可知：，因此该四棱锥的外接球的表面积为.
故选：C

【点睛】
本题考查了正四棱锥外接球表面积计算问题，考查了数学运算能力.
7．B
【分析】
由题意分析得出当时，有一个零点，当时，有两个零点，结合指数函数图象的变换以及二次函数图象的性质，列出不等式组，求解即可.
【详解】
由题意可知当时，有一个零点；当时，有两个零点
则，解得
故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数的范围，属于中档题.
8．B
【分析】
利用半保值函数的定义结合函数的单调性，用函数与轴交点的横坐标与方程的根的等价关系即可求出的取值范围.
【详解】
因为函数（，且）是“半保值函数”，且定义域是，
当时，在上单调递增，在单调递增，
所以为上递增函数，
当时，在上单调递减，在单调递减，
所以为上递增函数，
所以函数（，且）为上递增函数.
又因为函数（，且）是“半保值函数”，
所以与的图象有两个不同的交点，
即有两个不同的根，
所以，令 ，
则有两个不等的正根，
可得，且 ，
解得或，
故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了求函数的值域，难点在于构造函数，转化为两个函数有两个不同的交点，利用方程解决，属于较难题.
9．CD
【分析】
根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.
【详解】
双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；
双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；
双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确；
双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.
故选：CD．
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
10．ACD
【分析】
根据三角函数图像得出振幅,再求解函数的周期,再代入最高点求解函数解析式.再分别求解函数的对称中心与单调增区间,并根据三角函数图像伸缩与平移的方法判断即可.
【详解】
由图可知,函数的周期为,故.即,代入最高点有.因为.故.故A正确.
对B, 的对称中心：.故该函数的对称中心为.故B错误.
对C,单调递增区间为,解得.故C正确.
对D, 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到.故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查了根据三角函数图像求解解析式以及性质的问题,需要先根据周期,代入最值求解解析式,进而代入单调区间与对称中心求解即可.属于中档题.
11．AC
【分析】
根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，，由此可解决问题．
【详解】

随机变量服从标准正态分布，
正态曲线关于对称，
，，根据曲线的对称性可得：
A.，所以该命题正确；
B.，所以错误；
C.，所以该命题正确；
D.或，所以该命题错误．
故选：．
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．AD
【分析】
根据的单调性得到正确；不是单调递增得到错误；根据不是单调递减得到错误；根据条件得到单调递增，得到，代换得到答案.
【详解】
设，函数单调递增，则
即，正确；
设不是恒大于零，错误；
不是恒小于零，错误；
故，函数单调递增
故
即

即，正确.
故选
【点睛】
本题考查了函数的单调性判断不等式，意在考查学生对于函数单调性的综合应用.
13．C
【解析】
设准线与轴交于N，所以,直线的斜率，所以,在直角三角形中，，，根据抛物线定义知，,又, ,所以,因此是等边三角形，故，所以的面积为，故选C.
14．
【分析】
由题可知，15项“世界互联网领先科技成果”中，其中5项为芯片领域，10片为非芯片领域，设选出的3项中，其中1项“鲲鹏920”为事件，根据组合的运算，即可求出，设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件，得出，最后根据条件概率的计算，即可求出所求概率.
【详解】
解：根据题意，15项“世界互联网领先科技成果”中，
其中5项为芯片领域，10片为非芯片领域，其中“鲲鹏920”也属于芯片领域，
设选出的3项中，其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”为事件，
则共有种情况，即，
设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件，
则共有种情况，即，
所以在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为：
.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查条件概率的求法和组合数的运用和计算，理解条件概率的定义和计算公式是解题的关键，考查学生解题分析能力和计算能力.
15．
【分析】
首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】
由题意得：，
由圆知：圆心，半径
圆心到直线距离
到直线距离，即

故答案为：
【点睛】
本题考查圆上的点到直线距离的范围的应用，关键是明确圆上的点到直线的距离的取值范围为，其中为圆心到直线距离，为圆的半径.
16．
【分析】
已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】
由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）若选择方案①，利用正弦定理边角互化，再结合三角函数恒等变换，求角；若选②利用二倍角公式，结合正弦定理和余弦定理，求角；若选择③利用正弦定理边角互化，再结合三角函数恒等变换，求角；
【详解】
（1）方案一：若选①．
由已知及正弦定理得，，
所以，
所以，
又，所以，
所以，所以．
方案二：若选②．
由已知及倍角公式得，
所以，
所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以．
方案三：若选③．
由已知及正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以．
（2）由余弦定理，，，得，
即．
因为，所以，
所以．
【点睛】
方法点睛：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征均不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
18．（1），（2）
【分析】
（1）由与的等差中项为1，可得，先求出，然后当时，得到，从而得数列是等比数列，进而可求出其通项；
（2）先求出，由可得，然后由，解得，只需求出的最小值即可.
【详解】
解：（1）因为与的等差中项为1，
所以，
当时，，得 ，
当时，由，得，
两式相减得，，即，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以 ，
（2）由（1）可知，，
所以 ，
因为不等式对任意的恒成立，
所以，得，
令，则在上单调递增，
所以，所以
所以的取值范围为
【点睛】
此题考查了等差中项、等比数列、由递推式求通项等知识，考查了不等式恒成立问题，考查了数学转化思想和计算能力，属于中档题.
19．（1）表格见解析，有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关；（2）分布列见解析，1.6.
【分析】
（1）根据题中信息填写列联表，再计算，即可作出判断；
（2）先得出的取值，并求出相应的概率，从而得出分布列，最后计算期望即可.
【详解】
（1）

实践操作能力较弱
实践操作能力较强
合计
男生/名
12
18
30
女生/名
14
6
20
合计
26
24
50

所以．
所以有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．
（2）的取值为0，1，2，3，4．
，，，
，．
所以的分布列为

0
1
2
3
4







所以．
【点睛】
本题主要考查了独立性检验的实际应用以及离散型随机变量数学期望的计算，属于中档题.
20．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由已知知，利用线面垂直判定定理知平面，进而，分别以AC，，AB所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求得，即可证得垂直;
（2）利用空间向量求得平面DEF的法向量，又知平面ABC的法向量为，利用空间向量夹角公式，即可求得结果.
【详解】
（1）证明：在直三棱柱中，有，
又，，平面，
又平面，．
，，
如图，分别以AC，，AB所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，．
设，则，，
，．
（2）当D为的中点时，，，，
设平面DEF的法向量为，则，即
令得，，
易知平面ABC的法向量为，
所以，
即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
【点睛】
方法点睛：本题考查线线垂直，及面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
21．（1）；（2）直线过定点.
【分析】
（1）将点代入椭圆方程根据离心率公式，，即可得出椭圆的方程；
（2）设出直线的方程及的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，由判别式大于0得出取值范围，由韦达定理得出，由点斜式写出直线方程，将代入直线方程，化简即可得出结论.
【详解】
（1）∵，
∴，∴
将代入椭圆
∴，∴．
（2）显然斜率存在，设为

，∴
设，，
∴，
∵
∴时

∴直线过定点．
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的方程以及直线过定点问题，属于较难题.
22．（1）1；（2）.
【分析】
（1）利用导数确定函数的单调性，再由极大值确定实数的值；
（2）将整理为，构造函数，根据的单调性，分别讨论和两种情况，对任意恒成立，即，再次构造函数，，利用导数得出，从而得出实数的取值范围．
【详解】
（1）因为，则，因为，所以，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，的极大值，解得；
（2）由题意可知，对任意恒成立
整理得对任意恒成立，设
由（1）可知，在上单调递增，且当时，
当时，，若，则
若，因为，且在上单调递增，所以
综上可知，对任意恒成立，即
设，，则，所以单调递增，
所以，即的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查了由函数的极值求参数的范围以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.