高中数学高考预测06 平面向量（原卷版）

预测06  平面向量

1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；

2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.

1、向量共线定理

如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.

2、平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.

向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.

（2）平面向量共线的坐标表示

两向量平行的充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.

3、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）

4、向量数量积运算，其中为向量的夹角

5、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，

其中：同向          ：反向           ： 

6、数量积运算法则：

（1）交换律：

（2）系数结合律：

（3）分配律：

7、平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；

(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝；

(4)cos θ＝；

(5)|a·b|≤|a||b|.

8、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

1、判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.

失误与防范

要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.

2、运用向量解决数量积的问题常用的方法有：1、基底法；2、向量法；

1、【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a，b满足，，，则

A．   B．  

C．   D．

2、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是

A．    B． 

C．      D．

3、【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为

A．   B． 

C．   D．

4、【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．−3   B．−2

C．2   D．3

5、【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则

A． B． 

C． D．

6、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设为单位向量，且，则______________.

7、【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.

8、【2020年高考天津】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

9、【2020年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

10、【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．

11、【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.

12、【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．

13、【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．

14、【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是___________；最大值是___________．

一、单选题

1、（2021·山东威海市·高三期末）已知向量满足，则（    ）

A． B． C． D．

2、（2020·河北邯郸市·高三期末）已知向量，若，则（    ）

A．1或4 B．1或 C．或4 D．或

3、（2020·湖北高三月考）已知向量满足， ， ，则（　　）

A． B． C． D．

4、（2020·湖北高三月考）已知向量满足， ， ，则（　　）

A． B． C． D．

5、（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（    ）

A． B．

C． D．

6、（2021·江苏徐州市·高三期末）如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则（    ）

A．1 B． C． D．

7、（2021·全国高三专题练习（理））已知向量，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

8、（2020·山东济南市·高三月考）已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9、（2021·江苏南通市·高三期末）如图，在梯形中，已知，，为的中点，，，则（    ）

A．1 B． C．3 D．

10、（2021·江苏苏州市·高三期末）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

11、（2020·山东济南市·高三月考）已知向量则（    ）

A． B．

C． D．

12、（2021·山东青岛市·高三期末）已知向量，，，设，所成的角为，则（    ）

A． B． C． D．

13、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影为

14、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（    ）

A．

B．

C．

D．

15、（2021·兴宁市第一中学高三期末）已知向量，，则下列命题正确的是（　　）

A．若，则

B．若 ，则

C．若取得最大值时，则

D．的最大值为

16、（2021·山东德州市·高三期末）已知向量，则（    ）

A． B．

C．向量在向量上的投影是 D．向量的单位向量是

17、（2021·湖北高三期末）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．过点的直线交于，若，，则

D．与共线

三、填空题

18、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知向量满足，，则__________．

19、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若则向量与向量夹角的大小是_______.

20、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________.

21、（2021·江苏常州市·高三期末）在四边形中，.若，则__________.

22、（2021·江苏南通市·高三期末）已知m，n均为正数，，，且，则的最小值为____________.

23、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________．