高中数学高考命题卷（01） 决胜2021新高考数学命题卷（新高考地区专用）（解析版）

决胜2021新高考数学测试数学 命题卷（01）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解不等式得，所以；解不等式得，所以，所以.故选：C.2．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“”模式，即语文､数学､英语必考，考生首先在物理､历史中选择1门，然后在政治､地理､化学､生物中选择2门.则某同学选到物理､地理两门功课的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知：所有基本事件的个数为：某同学选到物理､地理两门功课的基本事件个数为：所以所求概率为：故选：C3．已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为函数在区间上的最大值为，所以，解得，因为，所以，当，即时，，令，在同一坐标系中作出图象：令，因为，所以存在唯一，使得，当，即时，，即，解得 ，所以实数的取值个数最多为2.故选：B4．中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时比普通列车不仅速度更快而且噪声更小.声强（单位：）表示声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ）A．倍 B．6倍 C．倍 D．5倍【答案】C【解析】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，则由题意得，，解得，.因为，所以普通列车的声强是高速列车声强的倍.故选：C.5．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心．已知，则角A的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点D，则，，∴，又∵，当且仅当时等号成立，∴.故选：A.6．已知点在球O的表面上，平面，若与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】如图，因为平面，，所以为球的直径由得作，则即为与平面所成角所以，得设由等面积法得，解得所以，即，又平面过球心，所以P到平面距离即为半径的长所以P到平面距离的最大值为3.故选：B.7．设、分别是椭圆C：的左、右焦点，直线过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点坐标为，，，，所以有，解得，因为，所以直线的方程为，所以有点坐标为，所以有，，所以，所以，故选：A.8．设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意易知为定值，不妨设，则，又，故，解得：，即函数的解析式为，，由题意可知：对恒成立，即对恒成立，令，则，据此可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，结合恒成立的结论可知：的取值范围是.本题选择D选项.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设为复数，．下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；由可得，因为，所以，即，B正确；因为，，而，所以，所以，C正确；取，显然满足，但，D错误.故选：BC10．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（    ）A．甲、乙两组成绩的平均分相等 B．甲、乙两组成绩的中位数相等C．甲、乙两组成绩的极差相等 D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差【答案】BCD【解析】对于A选项，甲组成绩的平均数为，乙组成绩的平均分为，所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，A选项错误；对于B选项，甲、乙两组成绩的中位数都为，B选项正确；对于C选项，甲、乙两组成绩的极差都为，C选项正确；对于D选项，甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，D选项正确.故选：BCD.11．对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（　　）A．若a＞b，则B．若a＞b，则ac2≥bc2C．若a＞0＞b，则a2＜﹣abD．若c＞a＞b＞0，则【答案】BD【解析】A．根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则不成立，故A错误；B．∵a＞b，∴由不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，故B正确；C．由a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣1，则a2＜﹣ab不成立，故C错误；D．∵c＞a＞b＞0，∴（a﹣b）c＞0，∴ac﹣ab＞bc﹣ab，即a（c﹣b）＞b（c﹣a），∵c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴，故D正确．故选：BD．12．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点【答案】AC【解析】对于A：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．双曲线的方程为，故正确；对于B：由，，得，双曲线的离心率为，故错误；对于C：取，得，，曲线过定点，故正确；对于D：双曲线的渐近线，直线与双曲线的渐近线平行，直线与有1个公共点，故不正确．故选：． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一种药在病人血液中的量保持以上才有疗效；而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：，，精确到）【答案】【解析】设应在病人注射这种药经过小时后再向病人的血液补充这种药，则血液中的含药量与注射后的时间的关系式为：，依题意，可得， 整理可得，所以，即，由，所以.故在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.故答案为：14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.【答案】【解析】将三药分别记为，，，三方分别记为，，，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有(种)，两名患者可选择的药方共有(种)，所以. 故答案为：.15．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是______【答案】【解析】∵“局部奇函数”，∴存在实数满足，即，令，则，即在上有解，再令，则在上有解，函数的对称轴为，分类讨论：①当时，，∴，解得；②当时，，，解得.综合①②，可知.16．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，点是棱上一点，，若且满足平面，则______．【答案】【解析】如图，连接，交于点，连接，则，在线段取一点使得，则.连接，则，又因为平面，平面，所以平面.因为平面且满足，故平面平面.因为平面平面，平面平面，则.所以，即为所求.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列的前项和为．若为等差数列，，，求和的表达式；若数列满足，求．【答案】，；.【解析】解：设等差数列的通项为（为等差数列的公差），则，解得，所以，． ，①当时，，②由①②得，，，当时，，，所以当时，；当时，；当时，，所以.18．在①；②；③三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在，它的内角、、的对边分别为、、，且，，______________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析．【解析】选①，∵在，，∴由正弦定理得，即，又，∴，∴，解得，∴，，．选②，∵在，，∴由正弦定理得，即，∵，则，∴，，，∴，．选③，三边成等比数列，∵在，，∴由正弦定理得，又，∴，，即，这与三边成等比数列矛盾．无解．19．网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？ 网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁   年龄超过40岁   合计   （2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数的分布列.(附：)0.150.100.050.012.0722.7063.8416.635【答案】（1）列联表答案见解析，可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）分布列答案见解析.【解析】解：（1）由题意可得列联表如下： 网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁204565年龄超过40岁53035合计2575100根据列联表中的数据可得，所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40岁的市民人数的所有值为0，1，2，则，，∴的分布列为01220．如图，四棱锥的底面内接于半径为2的圆，为圆的直径，，，为上一点，且平面，.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）连接，∵，，，且，∴四边形是平行四边形.连接，∵圆的半径为2，∴，∴为等边三角形，∴在中，边上的高为.∵ ，∴为边上高，∴.∵ 平面，平面，∴，又，，平面，且，∴平面.∵平面，∴.
（2）由平面可知，为直线与平面所成的角，∴，∵ .又由（1）知，，，两两垂直，如图，可以以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，得，得，令，则.设平面的法向量为，则，得，令，则，，∴.∴.易知二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.21．已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为4.（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，若，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）显然直线的斜率不为0，故可设置的方程为，，所以，.所以.，所以当时，最小，所以，故所求抛物线的方程为.（2）直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，，.，所以，..因为，所以，所以，即解得或.若，则直线过点，不符合题意.则有，此时直线的方程为，所以直线过定点.又，所以，所以点在以为直径的圆上，所以.此时.22．已知函数，其中.（1）讨论函数在上的单调性；（2）若函数，则是否存在实数，使得函数在处取得极小值？若存在，求出值；若不存在，说明理由.【答案】（1）答案见详解；（2）存在，使得在处取得极小值【解析】（1）由，则，因为，则， 当时，，函数在上单调递增；当时，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递增，在上单调递减；当时，，函数在上单调递减；（2），，显然是函数的极小值点的必要条件为，即，此时，显然当时，，当时，，故，令，则，故是减函数，故当时，，即，令，则，当时，，故在上单调递增，故当时，，即，故当时，，因此，当时，是的极小值点，即充分性也成立，综上，存在，使得在处取得极小值.