高中数学高考课后限时集训54 双曲线 作业

双曲线建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·北京高考)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　　)A.　　　　B．4　　　　C．2　　　　D.D　[由双曲线方程可得c2＝a2＋1，则e2＝＝＝1＋＝5，解得a2＝.又a＞0，所以a＝，故选D.]2．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±x   B．y＝±xC．y＝±x   D．y＝±xA　[因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.故选A]3．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　)A．1   B．13  C．17   D．1或13B　[由题意知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得＝，解得a＝3，所以c＝＝5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13.故选B.]4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)A.   B．2　　　  C.　　　   D．2D　[法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.法二：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.]5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1   B.－＝1C.－y2＝1   D．x2－＝1D　[不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.]二、填空题6．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝        .5　[∵双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]7．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是        ．y＝±x　[由双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3,4)，得9－＝1，解得b＝±，又b＞0，所以b＝，易知双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.]8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为        ．2　[双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝＝b.∴b＝c，∴a＝＝c，∴e＝＝2.]三、解答题9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9.双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3，∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为－＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.[解]　(1)∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－.∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)A．2sin 40°   B．2cos 40°C.   D.D　[由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)A.     B.  C．2   D．3A　[不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝.]3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝        .2　[由OA，OC所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2－y2＝a2.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c＝2，根据c2＝2a2可得a＝2.]4．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．[解]　(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，双曲线方程为－＝1(m＞0，n＞0)，则解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，所以cos∠F1PF2＝＝＝.1．如图，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|＝2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．y＝±x   B．y＝±xC．y＝±x   D．y＝±xB　[∵|NF1|＝2|MF1|，∴M为NF1的中点，又OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM，又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60°，∴双曲线C的渐近线的斜率k＝±tan 60°＝±，即双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选B.]2．双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点(2，1)．(1)求双曲线C的方程；(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于M，N，求|MN|的最小值．[解]　(1)由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2－4y2＝k(k≠0)，把(2，1)代入可得k＝4，所以双曲线C的方程为－y2＝1.(2)由题易知，P在右支上时|MN|取最小值．由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，根据双曲线方程可得·＝，设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2(k1，k2＞0)，则k1k2＝，PA1的方程为y＝k1(x＋2)，令x＝1，得M(1,3k1)，PA2的方程为y＝k2(x－2)，令x＝1，得N(1，－k2)，所以|MN|＝|3k1－(－k2)|＝3k1＋k2≥2＝，当且仅当3k1＝k2，即k1＝，k2＝时，等号成立．故|MN|的最小值为.