高中数学高考课后限时集训50 圆的方程 作业

圆的方程

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一、选择题

1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(　　)

A．x2＋(y－2)2＝1　　 B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1   D．x2＋(y－3)2＝1

A　[设圆心为(0，a)，

则＝1，

解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.]

2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)∪ B.

C．(－2,0)   D.

D　[方程化简为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.]

3．(2019·衡阳模拟)若实数x，y满足x2＋y2＝3，则的取值范围是(　　)

A．(－，)

B．(－∞，－)∪(，＋∞)

C．[－，]

D．(－∞，－]∪[，＋∞)

C　[的几何意义是点(x，y)与点(2,0)连线的斜率，设k＝，即kx－y－2k＝0，当直线kx－y－2k＝0与圆相切时，k取得最值，此时＝，解得k＝±，所以的取值范围是[－，]，故选C.]

4．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)

A．8x－6y－21＝0   B．8x＋6y－21＝0

C．6x＋8y－21＝0   D．6x－8y－21＝0

D　[由题意得，圆心C(3，－4)，半径r＝2，

∵|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，

∴|PO|2＋r2＝|PC|2，

∴x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0.

∴点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.]

5．(2019·泰安模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，则该圆的标准方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2

C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4

D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4

C　[设圆心坐标为(2，－a)(a＞0)，则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.]

二、填空题

6．(2019·黄冈模拟)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于直线y＝x对称，则k＝        .

－1　[圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0化为标准方程为

(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1，则圆心坐标为(－k2，－1)．

由题意知直线y＝x经过圆心，则有－k2＝－1，解得k＝±1，当k＝1时，k4－4k＋1＜0，不合题意；k＝－1时，k4－4k＋1＝6＞0，符合题意．故k＝－1.]

7．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是        ．

＋1　[将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1.]

8．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为        ．

(0，－1)　[圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，－1)．]

三、解答题

9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

[解]　(1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．

所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，

即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①

又直径|CD|＝4，

所以|PA|＝2.

所以(a＋1)2＋b2＝40.②

由①②解得或

所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，

所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

10．如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3.

(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；

(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．

[解]　(1)由已知可知A(－3,0)，B(3,0)，C(，3)，D(－，3)，设圆心E(0，b)．

由|EB|＝|EC|，

得(0－3)2＋(b－0)2＝(0－)2＋(b－3)2，

解得b＝1，r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10，

所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

(2)设P(x，y)，由已知得M(2x－5,2y－2)，

代入x2＋(y－1)2＝10，

得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，

化简得2＋2＝.

1．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为(　　)

A．(－2，－4)　　　 B.

C．(－2，－4)或   D．不确定

A　[∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.配方，得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时方程不表示圆．故选A.]

2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)

A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1   B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1   D．(x－2)2＋(y－2)2＝1

B　[圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C1为(－1,1)，半径为1.易知点C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0对称的点为C2，设C2(a，b)，则解得所以C2(2，－2)，所以圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径为1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B.]

3．已知圆心在直线y＝x上的圆与直线x＋y＝0及x＋y＋4＝0都相切，则圆的方程为        ．

(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　[由题意设圆心坐标为(a，a)，则有＝，解得a＝－1.

所以圆心坐标为(－1，－1)，半径r＝＝.

所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.]

4．如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，求点C的轨迹所包围的图形的面积．

[解]　设C(x，y)，则A(4－x，－y)．

由题意知|AB|＝2|AD|，

即|AB|2＝4|AD|2，

∴(－y－0)2＋(4－x＋1)2＝4[(－y－0)2＋(4－x－2)2]，

即y2＋(x－5)2＝4[y2＋(x－2)2]，

整理得(x－1)2＋y2＝4.

即点C的轨迹是以(1,0)为圆心，以2为半径的圆，其面积为4π.

1．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为        ．

(x－1)2＋y2＝2　[因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]

2．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．

[解]　(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，

∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．

(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，

∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0.

又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，

∴x2－3x＋y2＝0.

易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝mx，

当直线l与圆C1相切时，

圆心到直线l的距离d＝＝2，解得m＝±.

把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.

当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．

又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴＜x≤3.

∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，

其中＜x≤3，其轨迹为一段圆弧．