考向32椭圆（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向32 椭圆

1.（2022·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
2.（2022·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，设，则，则，
故，
又，则，所以，即，
所以椭圆的离心率.
3.（2022·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

4.（2022·新高考Ⅱ卷T16） 已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________．
【答案】
【解析】令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；

5.（2022·全国乙（理）T20（文）T）21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】（1） （2）
【解析】【小问1详解】
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，所以椭圆E的方程为：.
【小问2详解】
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

6.（2022·浙江卷T21）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．


（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）； （2）．
【解析】【小问1详解】
设是椭圆上任意一点,,则
，当且仅当时取等号，故的最大值是.
【小问2详解】
设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，
因为直线与直线交于,
则,同理可得,.则


，
当且仅当时取等号，故的最小值为.



1.求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．


1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔
2．焦点三角形
如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为.
(6)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行于对称轴)的中点，则有
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
设直线l与圆锥曲线C的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝.当直线l的斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|.



1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中；
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.


一、单选题
1．双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为(    )
A． B． C． D．
2．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的(    )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（    ）
A．1 B． C． D．
4．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ）
A．2 B． C．4 D．
5．已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（    ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（    ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（    ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
10．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（    ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
11．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（    ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
12．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ）
A． B． C．4 D．2

三、填空题
13．已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.
14．若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.
15．已知椭圆的上、下顶点分别为，，点是椭圆C上异于、的点，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆C的方程是________________．
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则___________.

一、单选题
1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近地点与地面的距离大约是，远地点与地面的距离大约是，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是（    ）

A． B． C． D．
3．（2021·湖南长沙·模拟预测）有两条互相垂直的直线和，有一条定长的线段，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点是上的一个确定点，即点到点和点的距离的比值是一个定值．那么，随着线段的运动，点的运动轨迹及焦距长为（    ）
A．椭圆，焦距长为 B．椭圆，焦距长为
C．双曲线，焦距长为 D．双曲线，焦距长为
4．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中.则、公共点的个数不可能为（    ）
A．0个 B．4个 C．8个 D．12个
5．（2022·湖南·模拟预测）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知，记该椭圆的离心率为e，则（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·模拟预测（文））对于曲线（且），以下说法正确的是（    ）
A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线
C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是
7．（2021·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦点为，.现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中（不共面），以下说法不正确的是（       ）

A．存在某个位置,使
B．存在某个位置,使二面角的平面角为
C．对任意位置，都有平面
D．异面直线与所成角的取值范围是
8．（2021·辽宁·模拟预测）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（    ）
A．的周长与点的位置无关
B．当时，的面积取到最大值
C．的外接圆半径最小为
D．的内切圆半径最大为
10．（2021·江苏南通·模拟预测）已知方程，则下列说法中正确的有（    ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（    ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
12．（2022·重庆八中模拟预测）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ）
A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆
B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆
C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线
D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值

三、填空题
13．（2021·安徽蚌埠·三模（理））“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为___________.(精确到0.1)
14．（2022·浙江·模拟预测）椭圆上三点A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B关于原点对称，C为椭圆右顶点．过A作x轴的垂线，交直线于D．当A在椭圆上运动时，总有，则该椭圆离心率e的最大值为_________．
15．（2020·四川·模拟预测（理））点在焦点为、的椭圆上，交轴于点，且△为正三角形，若，则椭圆的标准方程为________．

16．（2022·河南新乡·二模（文））已知圆与圆相交于A，B两点，若圆，的圆心为椭圆E的焦点，A，B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为______．

1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(　　)
A． B． C． D．

2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(　　)
A． B． C． D．
3.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为 (　　)
A． B． C． D．
4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
5．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 (　　)
A． B． C． D．
6．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
7．(2021年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
8．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E方程；
(2)证明：直线CD过定点．
9．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
10．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．


1．【答案】C
【解析】双曲线与椭圆焦点相同，则焦点坐标为，
椭圆的离心率为，∴双曲线的离心率为，
设双曲线实半轴长为，虚半轴长为，焦距为2c，则c=2，
，∴，∴所求双曲线方程为：．
2．【答案】C
【解析】方程表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解得0＜a＜，
故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充要条件．
3．【答案】A
【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
4．【答案】B
【解析】椭圆上的点P满足，当点P为的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为．
5．【答案】A
【解析】依题意，设，由椭圆定义得，
由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，
所以，即，
整理得，得，得，所以．
6．【答案】A
【解析】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
7．【答案】A
【解析】设椭圆的上焦点为，显然，
因为过原点的直线交于点，
所以有，因此四边形是平行四边形，
又因为，所以有，
因此三角形是以为斜边的直角三角形，
因为，所以，
因为是平行四边形，
所以，由椭圆的定义可知：，
8．【答案】A
【解析】根据题意可得如图椭圆，是直角三角形，，
不妨设，则，
因为，所以，
，所以离心率．

9．【答案】ACD
【解析】由为3与5的等差中项，得，即，
由为4与16的等比中项，得，即，
则曲线的方程为或．
其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
10．【答案】BCD
【解析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则
当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；
当时，如图1，点在线段AB上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即
则椭圆的离心率，B正确；
当为椭圆短轴顶点时，面积的最大
若时，则，最大面积为，D正确；
当时，过点作圆的切线，切点为
若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支
若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支
则点的轨迹为双曲线
∴，渐近线方程为，C正确；

11．【答案】ABD
【解析】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
12．【答案】AC
【解析】由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.
当时，将代入可得，所以的面积为.
当时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得.
因为，
所以，此时的面积为
综上所述，的面积为4或.
13．【答案】12
【解析】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，
连接，

所以周长为
故的周长的最大值为12，
14．【答案】
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，即实数k的取值范围为.
15．【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可知、，设，则，
所以，
所以，
所以.
所以椭圆的方程可以为（只需满足即可）.
故答案为：（答案不唯一）.
16．【答案】
【解析】由，可得，
如图过点作轴的垂线，垂足为，所以，
因为，所以，所以，
可得点的坐标为，代入椭圆方程可得，
有，解得.


1．【答案】B
【解析】由题意，得，，则，
所以椭圆的离心率，解得m=8.
2．【答案】A
【解析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，其中，
根据题意有，，
所以，，
所以椭圆的离心率．
3．【答案】B
【解析】在两条互相垂直的直线和上建立平面直角坐标系，

当点在第一象限时，设与轴的夹角为，则的坐标为（，），
从而可知，点在椭圆上，点的轨迹是四分之一个椭圆，
当点在其它几个象限或坐标轴上时，点的坐标满足方程，
所以点的轨迹是一个椭圆，焦距长为．
4．【答案】D
【解析】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即，则当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，，
所以曲线是以、、、为顶点的矩形，
设曲线上的点为，满足，即，
所以是椭圆，
所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个，
5．【答案】C
【解析】根据角平分线定理，
结合及离心率有，化简得．
设又，
，
当时，恒成立，故在上单调递减，
所以．
6．【答案】D
【解析】当时，曲线为双曲线，，故焦点坐标为；
当时，曲线为椭圆，，焦点坐标为.
7．【答案】B
【解析】由
,所以为锐角
则为锐角三角形，故过作的垂线，垂足在线段上，
设,当平面时，则，又
所以平面,且平面，
所以，故A正确；

 如图，设为 的中点，由 ,
则
所以为二面角的平面角.
设, 则，
所以
当时，，所以
所以，所以不存在某个位置,使二面角的平面角为，，故B错；

由，分别为的中点，则，
由平面，平面，则平面，故C正确；

直线, 将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中
异面直线与所成角,即为以为轴，为母线的圆锥的母线与所成角.
以为轴，为母线的圆锥轴截面顶角为，故D正确.
8．【答案】C
【解析】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，
即．
9．【答案】ACD
【解析】由椭圆定义知，的周长为，故A正确；显然当位于短轴端点时的面积最大，由知此时，故B错误；由正弦定理知外接圆直径，由知最大为钝角，故时取最小值，故的最小值为，故C正确；设内切圆半径为，由知，越大则越大，，故，
10．【答案】BCD
【解析】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误.
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.
对于C，当时.，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.
对于D，当方程表示双曲线时，；当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.
11．【答案】AC
【解析】A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
12．【答案】BCD
【解析】对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；
对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；
对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；
对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；
当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确，
13．【答案】0.6.
【解析】设椭圆的方程为()，
由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，
根据题意可得近火点满足，，
解得，，
所以椭圆的离心率为，
14．【答案】
【解析】依题意可得，设，，，，
所以， 则，
又，①，②，
由得③，
将①②代入③式，消去，得，
因为，，则要求，即，
所以，即e的最大值为．
15．【答案】
【解析】由已知得，点在焦点为、的椭圆上，交轴于点，且△为正三角形，则,
即为△的中位线，,
又∵在等腰△中，,
∴,∴,
由椭圆的定义可知，即，
又∵，∴，
∴，则椭圆方程：．
16．【答案】
【解析】设椭圆E的方程为，
由题意可得： ,
又A在椭圆E上，可知，而，
所以，
故椭圆E的标准方程为,


1．【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故选D．

2．【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
3.【答案】B
【解析】如图，设，则，由，可得，，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．
在中，由余弦定理可得，
所以，即，即，又，所以椭圆方程为．

4．【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切
所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
5．【答案】 B
【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为
又椭圆的焦点坐标为
所以，且，故所求双曲线的方程为：，故选B．
6．【答案】A
【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.
7．【答案】C
【解析】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
8．【答案】（1）；（2）证明详见解析．
【解析】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：， ，
，，
椭圆方程为：
（2）证明：设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为．
同理可得：点的坐标为
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
故直线过定点
9．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得．
因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．
10．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，，
根据离心率，解得或(舍)，
的方程为：，即；
（2）不妨设,在x轴上方
点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，，，
又，，
，
根据三角形全等条件“”，可得：，
，，，
设点为，可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，解得：或，点为或，
①当点为时，故，
，，可得：点为，
画出图象，如图
,，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：；
②当点为时，故，
，，可得：点为，
画出图象，如图
,，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：，
综上所述，面积为：．