考向04函数及其表示（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向04  函数及其表示1. 【2022年北京卷第11题】 函数的定义域是_________．【答案】【解析】因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：2. 【2022年浙江卷第14题】已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．【答案】    ①.     ②. 【解析】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.故答案为：，.1.求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域转移法若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域 2.求函数解析式的4种方法3.已知函数值或函数值的取值范围，求自变量的值或自变量的取值范围方法一：解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．方法二：如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．　1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．易错点1：函数定义域是研究函数的基本依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围．易错点2：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(　　)A．(2，＋∞)　　　　 B．(1，2)      C．(0，2)      D．[1，2]【答案】B【解析】选B.要使函数有意义，则解得1<x<2.所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．2．若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数的定义域为(　　)A．(0，3)     B．[1，3)∪(3，8]   C．[1，3)     D．[0，3)【答案】D【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以函数的定义域为[0，3)．3.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1]    B．(0，＋∞)   C．(－1，0)      D．(－∞，0)【答案】D【解析】方法一：①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当时，不等式组无解．③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．故选D.方法二：因为f(x)＝所以函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D.4.已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________________．【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)【解析】　(1)方法一(换元法)：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.因为＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．5．已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．【答案】f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．【解析】方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．答案：x2－5x＋9(x∈R)6．已知函数f(x)＝若＝－6，则实数a＝________，f(2)＝________．【答案】－5，－6.【解析】由题意得，f＝3×＋1＝3，所以＝f(3)＝9＋3a＝－6，所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6. 一、单选题1．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（       ）A．若函数的定义域为，则的定义域为B．若正三角形的边长为，则C．已知函数，则函数的零点为D．“”是“”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对于A选项，若函数的定义域为，对于函数，则有，解得，即函数的定义域为，A错；对于B选项，若正三角形的边长为，则，B错；对于C选项，已知函数，令，解得，所以，函数的零点为，C错；对于D选项，若，则、无意义，即“”“”；若，可取，，则，即“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，D对.故选：D.2．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（       ） ①   ②   ③   ④A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③①【答案】A【解析】，的定义域为，，的定义域为在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当时，则，令，则在上单调递增，在上单调递减，则①对应的为第三个函数故选：A．3．（2021·上海杨浦·一模）已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（       ）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①､②都正确 D．①､②都错误【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误；令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确；故选：B4．（2021·陕西宝鸡·三模（文））切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差对任意的，函数的最大值为E，即，把使E取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数，在这个前提下，b的值为（       ）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】当时，令，则，所以，而的最大值必然在端点处取得，故，当得时，的最大值为，此时使E取得最小值时，当得时，的最大值为，而，综上，.故选：C.二、多选题5．（2021·重庆·三模）是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（       ）A．的值域为B．当时，C．图象的对称轴为直线D．方程恰有5个实数解【答案】ABD【解析】根据周期性，画出的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；根据周期为，当时，，故B正确.故选：ABD.6．（2022·山东威海·三模）已知函数，则（       ）A．当时，函数的定义域为B．当时，函数的值域为C．当时，函数在上单调递减D．当时，关于x的方程有两个解【答案】BCD【解析】A. 当时，，由，解得或，所以函数的定义域为，故错误；B.当时，，定义域为R，当时，，当时，，所以函数的值域为，故正确；C.当时，，当时，，在上递减，当时，，在上递减，又，所以函数在上单调递减，故正确；D. 易知，，即为，设，则，即，若方程有两个解则，故正确.故选：BCD三、填空题7．（2021·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知，函数，若，则 ________.【答案】【解析】由已知可得，故.故答案为：.8．（2022·甘肃·二模（文））函数其中常数，且，若，则实数___________.【答案】【解析】由题意，，，即，因为，，所以，所以，故.故答案为：9．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））若函数同时满足：（i）为偶函数；（ii）对任意且，总有；（iii）定义域为，值域为，则称函数具有性质，现有个函数：①，②，③，④，其中具有性质的是___________（填上所有满足条件的序号）.【答案】① ③【解析】对于④，，，故函数为奇函数，不合题意；由（ii）可知在上单调递增，对于②，，在上是减函数，故不合题意；对于①，是偶函数，在上是增函数，定义域为，，，具有性质；对于③，该函数为偶函数，令，可得函数在上是增函数，，均满足题干中的三点要求，故具有性质； 故答案为：①③10．（2022·北京·一模）已知函数若，则不等式的解集为________.【答案】          【解析】当时，则不等式可转化为或解得或，所以，则不等式的解集为；  1．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学案）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝【答案】D【详解】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．2.(2014山东)函数的定义域为（  ）A．    B．   C．  D．【答案】C【解析】，解得．3.(2013广东)函数的定义域是（   ）A．   B．     C．     D．【答案】C【解析】由题知，∴，故选C，4．2015新课标2，理5）设函数,(     )A．3     B．6       C．9     D．12【答案】C   【解析】1.由已知得，又，所以，故，故选C．5.(2015新课标1，文10)已知函数，且，则A．       B．       C．         D．【答案】A【解析】∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，当时，，解得，∴=，故选A．6.(2014浙江)已知函数，且，则A．      B．      C．      D．【答案】C【解析】由已知得，解得，又，所以，故选C.7（2015新课标2，文13）已知函数的图象过点，则       ．【答案】-2【解析】由题意可知在函数图象上，即，∴．8．（2020北京11）函数的定义域是__________． 【答案】     【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．9.（2019江苏4）函数的定义域是     . 【答案】【解析】①根据题意，函数， 若为奇函数，则，即 ，所以对恒成立.又，所以. 
②函数，导数.
若是上的增函数，则的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以a≤0，即a的取值范围为.10.(2018江苏)函数的定义域为    ．【答案】【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是． 11.（2014卷1，文15）设函数则使得成立的的取值范围是________.【答案】.【解析】原不等式等价于或，解得，故的取值范围是.12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则满足的的取值范围是         ．【答案】【解析】法一：因为当时，；当时，；当时，由，可解得综上可知满足的的取值范围是．法二：，，即由图象变换可画出与的图象如下：由图可知，满足的解为．法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是．【考点】分段函数；分类讨论的思想【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．