2022-2023学年贵州省贵阳市普通中学高一上学期期末监测数学试题含解析

2022-2023学年贵州省贵阳市普通中学高一上学期期末监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合的交集和补集运算法则计算即可.

【详解】因为，

所以或，

又，

所以.

故选：B.

2．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】设幂函数，将点代入求出的解析式，从而可求得.

【详解】设幂函数，

则，解得，

故，

所以.

故选：C.

3．下列函数中是同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.

【详解】对于，因为的定义域为，的定义域为，所以与不是同一函数，故A错误；

对于B，因为，显然与的对应法则不同，所以与不是同一函数，故B错误；

对于C，因为的定义域为，的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；

对于D，因为的定义域为，的定义域为，所以与的定义域与对应法则都相同，故它们是同一个函数，故D正确.

故选：D.

4．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据三角函数的定义求得，再利用三角函数的诱导公式即可得解.

【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，所以，

所以，

所以.

故选：A.

5．若，则（    ）

A．有最大值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】A

【分析】直接根据基本不等式求解即可．

【详解】解：∵，

又，，当且仅当即时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

故选：A．

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】因为，，

，

所以.

故选：C.

7．已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先由是奇函数求出的取值集合，再根据逻辑条件判断即可.

【详解】是奇函数等价于，

即，

故，

所以.

则“”是“是奇函数”的充分不必要条件.

故选：A.

8．某公司在30天内商品的销售价格（元）与时间（天）的关系满足下方图象所示的函数，商品的销售量（万件）与时间的关系是，则下列说法正确的是（    ）

①第15天日销售额最大       ②第20天日销售额最大

③最大日销售额为120万元    ④最大日销售额为125万元

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【分析】先由函数图象利用待定系数法求得销售价格P（元）关于时间t（天）的函数解析式，再求销售额关于t的函数解析式，从而结合二次函数性质求其最大值，由此得解.

【详解】由图象可得当时，可设，根据图象知过点，

所以，解得，所以，

当，可设，根据图象知过点，

所以，解得，所以，

综上可得，，

又，设第天的销售额为，

则，

化简可得，

当时，，所以，当且仅当时，等号成立；

当时，，所以，当且仅当时，等号成立；’

综上可得，第15日的销售额最大，最大值为125万元，故①④正确.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题中正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【分析】对于A，利用基本不等式即可判断；对于B，举反例排除即可；对于C，取特殊值即可判断；对于D，利用零点存在定理判断即可.

【详解】对于A，因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确；

对于B，当时，，故，不成立，故B错误；

对于C，取，则，，

此时，所以，，故C正确；

对于D，令，则，，

所以，则在上存在零点，显然，，

所以，，故D正确.

故选：ACD.

10．关于函数，下列命题正确的是（    ）

A．若，则一定是的整数倍

B．的图象关于点中心对称

C．的图象左移（）个单位后所得图象关于轴对称，则的最小值为

D．的图象每一点横坐标伸长为原来的两倍所得图象解析式为

【答案】BC

【分析】对于A，取特殊值排除即可；对于B，利用代入检验法进行判断即可；对于C，先由三角函数平移得到新的解析式，再根据三角函数的对称性得到，从而得以判断；对于D，利用三角函数伸缩变换得到新的解析式即可判断.

【详解】对于A，因为，

所以，

故，此时，并不是的整数倍，故A错误；

对于B，由选项A知，所以的图象关于点中心对称，故B正确；

对于C，因为的图象左移（）个单位后所得图像对应的解析式为，

又的图像关于轴对称，

所以，则，

又，则，即，

又，则，故，所以的最小值为，故C正确；

对于D，因为的图象每一点横坐标伸长为原来的两倍所得图象对应的解析式为，

所以并不是，故D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题的突破口是理解图象关于轴对称的三角函数是，从而利用诱导公式得到的图像关于轴对称时，有，从而得解.

三、填空题

11．函数定义域是___________.

【答案】

【分析】根据给定函数直接列出不等式求解即得.

【详解】函数有意义，则有，解得且，

所以函数定义域是.

故答案为：

12．计算______．

【答案】1

【分析】由对数的加减运算法则计算即可.

【详解】

故答案为：1.

13．已知为定义在上的奇函数，且时，，则______．

【答案】##-1.5

【分析】根据奇函数的定义结合已知函数解析式求解即可.

【详解】因为为定义在上的奇函数，

所以.

故答案为：.

14．试写出一个同时满足下列三个条件的函数______．

①是奇函数；②的最小正周期为；③在上单调递减．

【答案】或其他合理答案

【分析】先由周期性确定其为三角函数以及求其频率，再由奇函数确定其为正弦函数，最后根据单调区间确定完整函数解析式即可.

【详解】因为的最小正周期为，

故可为三角函数，且.

又因为是奇函数，

故应为正弦函数.

再观察到在上单调递减，

故可确定为.

故答案为：或其他合理答案.

15．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______．

【答案】8

【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.

【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，

又，即，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为8.

故答案为：8.

四、解答题

16．已知，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算，再由商数关系计算；

（2）先由二倍角公式计算和，再代入和差角公式计算即可.

【详解】（1），，

（2）由（1）得，

所以，

，

所以

17．已知函数．

(1)当时，解关于的不等式；

(2)求实数的取值范围，使得在区间上是单调函数．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）带入数据得到，解不等式得到答案.

（2）函数对称轴为，根据单调性得到或，解得答案.

【详解】（1），，，即，，

解得，即

（2），函数对称轴为，

在区间上是单调函数，则或，解得或.

即.

18．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和最大值；

(2)若，求的单调递增区间．

【答案】(1)；

(2)和

【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解；

（2）先利用整体代换法求得在上的单调递增区间，从而求得在上的单调递增区间.

【详解】（1）因为

，

所以，

又，则，即，

所以.

（2）因为，

令，则，

又，与的交集为，

所以的单调递增区间为和.

19．已知函数．

(1)若方程有三个不等实根，求实数的取值范围；

(2)若，且对，总，使得，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用一元二次函数与对数函数的性质分析的图像，再将问题转化为的图像与的图像有三个交点，从而结合图像得解；

（2）先将问题转化为的值域是的值域的子集，再分别求得与的值域，从而利用数轴法即可得解.

【详解】（1）因为，

所以当时，开口向上，对称轴为，

则，，

当时，在上单调递增，且的图像由的图像向下平移两个单位而得，

又因为方程有三个不等实根，所以的图像与的图像有三个交点，

作出与的图像如下：

所以，即.

（2）因为对，总，使得，

所以的值域是的值域的子集，

因为在上单调递增，

所以当时，，

因为开口向上，对称轴为，

所以当时，，

又，，

所以，即，

所以，则，解得，

所以实数的取值范围为.

【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，函数，，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集．

20．阅读材料：碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘235、铯235、镭235等也都是放射性物质．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．一般会用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为碳14的“半衰期”．设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成一个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14含量为；死亡2年后，生物体内碳14含量为；……死亡5730年后，生物体内碳14含量为．根据已知条件，，则．由此可以得到如果是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14所剩的质量为，则．在实际问题中，形如（，，，）是刻画指数衰减或指数增长变化规律的非常有用的函数模型．这种模型刻画现实事物变化规律的关键词是“衰减率（增长率）为常数”，发现规律的方法是作除法运算．如果以连续的时间变化为序，从一般意义来考查表达式，可以发现，对于任意给定的时间间隔，，由此可知这一类运动变化现象有如下规律：对于相同的时间改变量，其函数值按确定的比例在增长（）或衰减（）．

结合阅读材料回答下列问题：

(1)一般地，如果某放射性物质的初始质量为，半衰期为，那么经过时间后，该物质所剩的质量为，试写出关于的函数关系式；

(2)考古学家在对考古活动时发现的某种生物标本进行研究，经探测发现该生物体的体内碳14含量是原来的62.5%，试推测该生物的死亡时间距今约多少年？（参考数据：）

(3)已知函数，，且，，，…，，，求函数，的一个解析式．

【答案】(1)，其中；

(2)3820

(3)

【分析】（1）由题意得到函数关系式；

（2）列出方程，利用对数运算法则求出该生物的死亡时间；

（3）推理出是以4为增长比例呈指数增长，结合，从而写出的解析式.

【详解】（1），其中；

（2）由题意得：，则，

两边取常用对数可得：，解得：（年），

故该生物的死亡时间距今约3820年；

（3）由题意得：，，……，，

故函数是以4为增长比例呈指数增长，

设函数，又，所以，所以.